2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

第第页2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中属于最简二次根式的是()

A.B.C.D.

2.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是()

A.B.C.且D.且

3.已知四边形是平行四边形，再从，，，四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()

A.选B.选C.选D.选

4.如图所示，给出下列条件：；；；其中能够判定∽的个数为()

A.B.C.D.

5.设，则可以表示为()

A.B.C.D.

6.已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为()

A.B.C.D.或

7.如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.如图所示，点、、分别位于的三边上，且，如果的面积为，的面积为，那么四边形的面积是()

A.B.C.D.

9.如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值()

A.B.C.D.

10.如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，下列结论：

；；≌；若，则，其中结论正确的有()

A.个B.个C.个D.个

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.已知，则______．

12.设、是方程的两个根，且，则______．

13.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则______度．

14.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了______人．

15.如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点连接，，，与交于点，则下列结论：

四边形是菱形；

；

：：；

：：．

其中正确的结论有填写所有正确结论的序号

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16.小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，点、、在同一直线上已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高结果精确到

四、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算

18.本小题分

解方程：

；

．

19.本小题分

如图，矩形的对角线、相交于点，点、在上，．

求证：四边形是平行四边形；

若，，求的长．

20.本小题分

已知关于的方程．

若该方程的一个根是，求的值及该方程的另一个根；

求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

21.本小题分

用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过米围栏宽忽略不计

若生态园的面积为平方米，求生态园垂直于墙的边长；

生态园的面积能否达到平方米？请说明理由．

22.本小题分

已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．

求证：∽；

如果，求证：．

23.本小题分

操作与证明：如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连接取中点，的中点，连接、．

连接，求证：是等腰三角形；

猜想与发现：

在的条件下，请判断、的数量关系和位置关系，得出结论．

结论：、的数量关系是______；

结论：、的位置关系是______；

拓展与探究：

如图，将图中的直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，则中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、被开方数能开方，不是最简二次根式，故A错误；

B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故B错误；

C、被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，故C错误；

D、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D是最简二次根式；

故选：．

判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

被开方数不含分母；

被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，

，

解得，，

二次项系数，

且．

故选：．

一元二次方程有实数根，则根的判别式，且二次项系数不为零．

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了正方形的判定方法：

先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．

还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．

根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．

【解答】

解：、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，

所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，

所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；

C、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，

所以不能得出平行四边形是正方形，错误，故本选项符合题意．

故选D．

4.【答案】

【解析】解：，再加上为公共角，可以根据两角分别相等的两个三角形相似来判定；

，再加上为公共角，可以根据两角分别相等的两个三角形相似来判定；

中不是已知的比例线段的夹角，不正确；

可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；

能够判定∽的有，共个．

故选：．

由图可知与中为公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可解答．

此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．

5.【答案】

【解析】解：

故选：．

首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．

本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．

6.【答案】

【解析】解：把代入方程得，解得，

方程化为，解得，，

因为，

所以三角形三边为、、，

所以的周长为．

故选：．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．

先利用一元二次方程解的定义把代入方程得，则方程化为，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．

7.【答案】

【解析】解：连接，

，点为的中点，

，

又，

，

由折叠知，对应点的连线必垂直于对称轴，

，

则，

，

，

．

故选：．

连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．

本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：，，

，，，

，

∽．

，

而，，

：：，

设，则，．

则：：：，

设；

，

∽，

，

即，

解得：，

即四边形的面积为．

故选：．

根据已知条件证明∽相似三角形面积比等于相似比的平方可得：：，设，则，再证明∽，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．

考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理、解答．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．

证明：：，进而证明：：；证明∽，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．

【解答】

解：：：，

：：；

：：；

，

∽，∽

，

：，

故选D．

10.【答案】

【解析】解：四边形为正方形，，

，，，

为等腰直角三角形，

，

，，

，故正确；

为等腰直角三角形，为的中点，

，，

在和中，，

≌，

，

，故正确；

为等腰直角三角形，为的中点，

，，

在和中，，

≌，故正确；

，

，

为等腰直角三角形，为的中点，

，，

，

在和中，，

≌，

，，，

为等腰直角三角形，

过点作垂直于于点，如图所示：

设，则，，，

则，，

，故正确；

故选：．

根据题意可知，则，即可求解；

由证明≌，得到，从而；

同证明≌即可；

若，则，可以证明≌，则且，则，为等腰直角三角形，过点作垂直于于点，设，则，，，则，．

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．

先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，代入代数式进行计算即可．

【解答】

解：，

，

解得，

，

原式．

故答案为．

12.【答案】

【解析】解：、是方程的两个根，

，．

，

，

解得．

故答案为：．

由根与系数的关系可得，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

13.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

首先证明是等腰直角三角形，求出，即可．

本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．

14.【答案】

【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了人．

依题意，得，

即，

解方程，得，舍去．

答：每轮传染中平均每人传染了人．

设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为，根据这个等量关系列出方程．

共有人患了流感，是指患流感的人和被传染流感的人的总和，和细胞分裂问题有区别．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

根据平行四边形的性质、菱形的判定方法、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识一一判断即可．

【解答】

解：四边形是平行四边形，

，，

垂直平分，

，，

，

，

，，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，故正确，

，，

，

，故正确，

，

，，

，故错误，

与面积比是：，

设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，

四边形的面积为，的面积为，

：：故正确，

故答案为．

16.【答案】解：过点作，分别交、于点、，

，，，

四边形是矩形，

，，，

，

，

由题意，知，

，解得，，

．

楼高约为米．

【解析】此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．

17.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】直接利用平方差公式计算得出答案；

首先化简二次根式进而计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

18.【答案】解：；

，，，

，

，

该方程的解为：，．

．

方程右边提公因式得，

移项得，

，

或，

解得，．

【解析】利用求根公式，根据公式法步骤求解即可．

可先将方程右边因式分解，再利用因式分解法求解方程即可．

本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键在于根据所给的方程选择合适的方法求解即可．

19.【答案】解：在矩形中，

，

，

，

四边形是平行四边形．

由可知：，

，

，

，

．

【解析】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于基础题型．

根据平行四边形的判定即可求出答案．

根据矩形的性质以及含度角的直角三角形的性质即可求出答案．

20.【答案】解：将代入方程，

得，

，

设另外一个根为，

由根与系数的关系可知：，

，即另一个根为；

由题意可知：，

不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【解析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及判别式，属于基础题．

将代入方程，可求出的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根；

根据判别式即可求出答案．

21.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，

依题意，得，

整理，得，

解得，．

由于，所以不合题意