结构动力学第九章随机振动数学描述

第九章随机振动数学描述§9-1引言前面介绍的都是确定性振动问题。对于确定性系统，若激励是随机的，则响应也是随机的，这种问题是随机振动问题。随机激励，如：路面对车辆，风对塔架，河流对船舶随机振动的特点是：①规律事先不知道②试验条件相同，但各次测量波形不重复③不能用周期函数或其组合来描述应该指出：①一个确定性振动，不论波形怎样复杂，也不是随机振动②随机振动≠复杂振动，如初相位随机变化的简谐振动x=X0sin(ωt+φ)(φ在0～2π之间随机取值)，波形十分简单，但仍属于随机振动**常见的几种随机激励：1)固体接触面凹凸不平，如：路面，滚珠轴承，齿轮金属切削加工，……2)流体对固体表面的作用，如：船，堤坝，海洋平台，高层建筑，……**常见的几种随机激励：3)火箭燃烧放热不均匀，如：火箭发动机，化工储液罐，……4)地震或地面突变，如：地震，火炮发射，采掘机抖动，……**随机振动的利与害〔利用〕1)诊断与检验：心电图、脑电波分析，轴承、齿轮和发动机的故障诊断2)找振源、确定传递通道3)……〔危害〕对于确定性振动，只要使系统固有频率远离激励频率，就可避免共振发生但是，对于随机振动，由于激励频率是一连续分布的形式，要避免共振是困难的，只能作某些要求，如：避免在加速度0.1g以上条件下工作，或在振幅大于某个值的条件下工作等等**研究方法输入输出系统激励响应系统：机械产品，结构物，装置，零部件等，M,C,K表示激励：系统受到的随时间变化的扰动(位移、速度、力等)**研究课题有：①环境调查②响应预估③系统识别响应：系统激励作用产生的运动(位移、速度、加速度、应力等)采用概率统计的方法研究，应用傅立叶分析，把时域信号转换到频域中去考虑§9-2集合平均定常过程无限个、无限长样本{xk(t)}，随机变量{xk(t1)}无限个、无限长样本{xk(t)}，随机变量{xk(t1)}，则集合平均(t1时刻)自相关函数§9将-3时间窄平均尿各匆态历出经过音程通常枯不可橡能取梦无限谜个样枝本，贴而是暂大量完的样宿本函乌数作抄为随米机过澡程的借一个半近似承。能否劫用一策个样垄本来耳描述府该随话机过巾程？若时窝间平第均：等统痕计特磁性对树各样梁本是蛇相同魂的(与k无关)，则喂该过术程称婆为各户态历烧经过扫程，至此时邮可用怎一个拆样本范的时州间平魔均来村讨论饶。注意骨：各态迟历经障过程抓一定闸是平撞稳的坛，但绒平稳赤过程挤不一谦定是印各态央历经筒的。革而要蛇证明除一个公过程表是各迷态历巴经的叨却很拨难，洁通常壮假设侨过程吹是各竞态历弹经的仙，除抛非有败证据息证明组不是莫。主要娘讨论鲜各态硬历经窝过程锣和平糕稳过拐程。§9敲-4概率矮分布渣概侨率密龄度函虚数出联合否概率搞分布研究忌随机延变量搬，不恳仅要冤知道泪它可象能取锣得一廉些什境么值该，更胳重要尺的是始要知抗道它恒取得恳这些林值的丛概率蕉，这副就是赞随机饥变量洗的概滴率分顾布问俊题。关于役概率樱分布己函数聋、概沈率密历度函邻数、乓联合贴概率坦分布继及正鉴态分这布过星程等事内容险请看枕相关切书籍蒜。注意编：对各弱态历差经过莫程，趟我们皂可从颗单个橡样本货函数鸟去求比概率欣分布众函数棒及概杂率密还度函测数等样。§9侄-5随机汗变量踩的概没率特赔征及有其代筑数运江算概率浅密度恐函数婶可以交描述艘随机形变量酿的特器征，泛但在造实际蹈问题汇中，头有时氧候并害不需甲要知臭道随炼机变情量的哗全部军统计谅信息端，或棉者不雷容易炊得到怪概率棍密度岔函数投。此仪时，错寻求值随机华变量锦的某芦些既使重要高又有抖代表删性和倾确定映性的剂信息丝式来代贡替随略机变碑量的输全部从统计秒信息皮是重爆要的贺。①数呜学期店望(又称径集合撞平均凳、均志值、厘一次歉矩)②均方轻值(二次歉矩)③方而差(二次全中心勾矩)④相关穿矩(协方妥差)随机絮变量X(雷t1)与Y(搬t2)的协浅方差摧定义笔为：而称为互协方差系数或互相关系数若X(赞t)与Y(症t)互相份独立先，则ρxy＝0但反铅过来抓若ρxy＝0，则X(裁t)与Y(必t)不一趟定互衔相独哨立！特别盆地，若用X(锡t)代替Y(的t)，则岩协方干差：对各永态历视经过迅程，卵上述跪统计孩特性五均可呜从一脸个样花本信跳息得悄到。(1气)自相戴关函体数§9遍-6自相狡关函饱数及舰其特热性对平责稳过晒程，娱有对各裕态历告经过宰程，原有一般缩慧情况句下Rx驱(τ)与τ的关泰系曲夜线如园下图常见绳信号应类型表的自扑相关周函数箭如右舟图(2黄)自相男关函津数的俩性质(a股)平稳填过程x(慌t)的Rx芒(τ)是实猪偶函效数，借即(b)(c)(d坛)自相胜关函魂数是播有界驳的，翻且满领足(e冬)当|τ|相当凑大时抛，有(2汽)自相异关函圈数的览性质(f厌)若随探机信傍号x(院t)由噪扶音信除号n(飞t)和与迈之不秩相关烦的信愧号λ(t构)组成喝，则讲有自相蚊关函何数Rx孕(τ)表达泡了数若据信饱号波兴形在积时间浊坐标蚂移动τ前后宾之间滋的相载似程穗度，须由于精各种据信号贡的Rx爆(τ)的最供大值扩都不翅一样窃，且智具有链量纲纵，故扇定义涂相关吓系数哲：ρx(τ)无量幕纲，轻且最产大值扔为1，当ρx(τ)＝±1时，耕波形牌完全相似(完全化相同孔或完互全相常反)，ρx(τ)＝0时，扭波形趣完全难不相阳似。[注]：关巾于(*智)式，妈谷口妄修等希人的《振动任工程程大全》是在μx＝0的条宿件下漂定义畜的，英而D.蹦E.纽兰《随机泊振动翁概论》则把虑相关警函数淋定义准为：由回归方程而来。而(*疼)式可祸改写为：当μx＝0时，婆两者耍一致押。[例]已知践：随舱机相临位正成弦波(视为贴各态纵历经异过程)x(倡t)=As雨in(ωot+θ)如图(a狗)所示寄，其循中ωo为常米数，θ为随谨机变艘量，袄求自危相关挥函数Rx刑(τ)。解：x(震t)为各翠态历粱经过亮程，组故可炮由一本个样疾本函佩数求Rx板(τ)～τ曲线芝如图(b那)所示[讨论]①数据榴信号奏是周壳期函让数时第，自爪相关副函数哭也是差周期面函数册，且斜两者奏周期傅相同惑。②由麻自相纸关函批数的扛幅值A2/2可求已得周角期信巡寿号的恳幅值窝，即景保留衫了幅小值信志息。③若信级号是判由随插机相武位正男弦波轨和均栏值为衰零的讨且不埋相关黑的噪钳音信该号n(血t)组成嘱，则哥由自丽相关薯函数革性质(f矮)可知凉：实际攀上，亚当τ大到竿一定钱程度括时，Rn(τ)＝0，这星时便碍可从Rx汇n(τ)中观洗察出声数据射信号倚有无巡寿周期专分量潜。即诉通过筐自相仓关分明析，踏能检惊测出歉隐藏基在随澡机振纸动中旅的周扎期分涌量，仗同时沙能求封出该剥周期悲分量砖的振会幅A和圆祝频率ωo。(3僻)自相曾关函盟数与探自协负方差舌函数晕之间问的关壁系协方广差函号数自协浮方差恭函数对平稳过程，有[例]某汽最车前贫桥、武车身爱测量哈的加楚速度忘波形外如图浴左，今自相恩关函你数如针图右顶。车子基振动隙很大弊，试亚分析捞。前桥诵的自利相关闷函数民两个畏峰值割的时含间间丑隔为0.器1s，频扰率为车身汽自相迟关函岸数两降个峰卸值的赌时间勇间隔吃为0.遍11艰s，频许率为f1与f2都与域发动武机频夸率相阻差很聪大，云故判妹断不董是由璃发动选机引渠起经过词计算江，前去桥二常自由孕度耦捷合自柳振频脚率接锦近于f1与f2改进信的前免桥成惕为二培个单茎自由荣度系吹统，立左右板轮相异互影功响小(1鸭)互相重关函替数两个岂随机匀过程X(均t)和Y(骗t)在时诞刻t1=t，t2=t键+τ的互识相关菠函数吸定义融为§9主-7互相难关函常数及男其特盯性对平榆稳过危程，组有：对各摔态历馒经过诊程，始有：右图斗为典检型Rxy(τ)与τ的关炒系曲榨线(2以)互相竟关函争数的佩主要奖性质(a祖)一般活情况像下，Rxy(τ)与Ryx(τ)是不督相同马的，葛且都城不是τ的实偶枪函数河，但象有(b剂)互相屠关函辣数Rxy(τ)是有烦界的敞，且尸有(c锦)对大谅多数丑随机美过程蚕，当|τ|相当趟大时套，可恋认为x与y互不讽相关饭，有(d斜)互相拣关函争数的禽最大苏值一光般不剖在τ＝0处(2瓣)互相利关函筛数的克主要满性质(e嚼)互相医关函骗数Rxy(τ)与Rx(0)和Ry(0)有如卡下不陕等式(3酬)应用(a特)确定胜输油删管裂比纹的倚位置设声骂音在劝管道亿中传炊播速精度为V(裂纹K漏油础时发柿出的修声音)，则能有由互超相关轨函数Rx1折x2(τ)找出τm即可惯，而太传感宝器之仪间距诸离是推已知册的(V如何渔确定梦？)(3颤)应用(b奋)汽车雀操纵绝灵敏概度在方逝向盘芹和轮皇子上睛安装台传感驾器，润记录φ(t圣)和θ(t恳)，求役互相兄关Rφθ(τ)，则τm越小导越灵部敏(3蹈)应用(c社)找振比源，递确定昨传递悄通道机器1对地闹面测今点y振动纸影响炸的程枣度为机器2对地坚面测昂点y振动帖影响拣的程础度为(3珍)应用(d田)测定饭材料侦的隔荒声性贝能室内A处放椒置有哭噪声佛声源窑，a和b分别侮为噪罩声接驴收器轮信号x(尺t)和y(煌t)，先放在不茎安装亿隔声杆板的屋情况描下，锄作x(甘t)和y(灶t)的互警相关缎分析莫，然韵后安竿装隔燃声板旨，作覆同样斥分析奴，如套图右托。后者裳的互肃相关肿数值首远远程低于阵前者旺，此吩值越俯小表较明材旬料的气隔声为效果瞒越好。时域秃分析获不容泰易看傍出：①频率灾成分②何纹种频棚率成仇分占猪优③隆各种菊频率还的振退动能滨量是授多少§9缩慧-8频谱隐分析塞与谱拥密度(1良)自功麦率谱裂密度(自谱习密度)随机逼过程惰样本键函数x(探t)是无腰限持页续，世故不亭满足则绝对脚可积淘条件易：所以x(搏t)不能片进行猫傅里妙叶变栽换以开得到占频率毙信息喷，此逼时可不考虑绝用Rx桥(τ)作傅屑里叶事变换设μx＝0(可移絮轴得治到)，且凯设x(挎t)中没苍有周短期分款量(若x(高t)中有育周期驰分量椅，则Rx井(τ)也为伪周期椅函数挠，不病满足秘绝对原可积坐条件飞，不闹能进顶行傅嘉里叶铅变换桥，尽币管其洗傅氏录变换壳存在谈，为滋脉冲δ函数)Rx此(τ)的傅膛里叶欲变换兼及其指逆变厨换为月：这一练对傅桥氏变椒换称宗为维纤纳—辛钦企公式凶，记鬼为：(2劣)自谱Sx(ω)的主欲要性欠质(b年)Sx(ω)是ω的实卖的非其负偶阿函数(a)从性支质(a昏)可知Sx(ω)的单罗位是厚：均漂方值近单位/频率司单位积，故孝又称Sx(ω)为均戚方谱炮密度胜。为什么Sx(ω)称为功率谱密度？主要是根据功率或能量的概念而来，如都代表能量而x(把t)的平未均功衫率为槐：故Sx(ω)描述刷了x(咽t)的平务均功仙率在疏频域针中的剃分布灾情况锁，是例频率谷尺度音上每宅单位盲间隔馅的功闷率或荐能量高。[例](纽兰P4导4)：已个知某圈平稳予随机即过程x(台t)的均骂方谱良密度渴如图(a宇)，求巨自相索关函众数和导均方快值。解:夕(1尚)求Rx下(τ)波形稀如图(b姻)解:归(2宵)求均方考值若(ω2-ω1)较小俗，说郑明谱附密度瓶仅在停很窄秧的频签带内抢分布好，这仓种随挪机过伏程称质为窄失带随垄机过脉程，火相应古的有免宽带煌随机界过程丑。[例](纽兰P4魂5～47假)：白际噪声悦的自虫相关秆函数在前喇面的梁例子串中，表如果(ω1,ω2)是一悲个宽证广的亭频带食，则灭称为牌宽带申随机数过程脉，其任时间炉历程稍是由信各种傅频率赌的信扭号叠番加而留得，情若ω1＝0,ω2＝∞，炉则这犯个谱狭称为击白噪询声谱碰，即这是窄根据从白色思光的既谱密幻玉度近片似为朴一个获常数蜜而类狱比的吹。实际践上，兔有即白浊噪声例的自行相关致函数企为δ函数朋。上述污结果宗也可杂由前宰面的柱结果格中令ω1＝0,ω2→∞得到言：当ω2→辜∞时，失除τ＝0处的蹄高峰换外，己其余罚为零兽，而重此峰驼为无萍穷大朵，宽滑度为卖零，塘面积挎为S0，如妹图所披示。由于热白噪丢声的灵均方搅值为无奇穷大怀，即因此嚼白噪唉声仅蓬仅是胆理论知上的坑概念叶。但狂是若疫一个甩宽度雕噪声弓谱的所带宽鲁已大桂大超洗过所强有感今兴趣指的频箭率时乔，那弦么这洞种谱咳就可谁视为睬白谱趋。[例]已知按某随淹机过恩程的列自功打率谱借密度挖函数运为：解：求：白自相贴关函严数及角均方荐值。此式转用了施留数糟定理目在定像积分机上的俗应用(3当)互功丢率谱剂密度(互谱获密度)与自蝴谱密司度函咱数一份样，食两个胞随机四过程静的互驼谱密幅度定侦义为工这两讽个随便机过妙程的倦互相转关函惕数的绞傅立陕叶变封换，之即上述装傅里愉叶变骡换存屯在的急条件兴是互炎相关千函数惩绝对假可积柿，即(4披)过程折导数烫的谱休密度有时续候在掌测量袋位移袍，了涂解位咸移的也谱密勉度时件，用福位移仁计不软很方百便，脆往往回采用音加速嫁度计本。这浴就涉预及到谣加速内度随孤机过秘程的脏谱密区度与喝位移光的谱杠密度哀之间丸的关绳系问荣题。设随梯机过毛程x(检t)是平雷稳的味，有另外即有：另方面：所以：这是趟一个滩很重蜂要的控关系左，由悟此式爷可以泻从已湿知的Sx(ω)求出子速度按的均称方值期等统山计特讨征。(5冻)谱密捷度单虑位的挂说明Sx(ω)对ω的正脱负值蝇都有伤意义没，所扩以称火为双舞边谱罩密度笼。但凯这只磨是从悦理论异上来臣说的纺，而亲实际赏测量滩时，逝只是阴对正振的频韵率而写言。若奖考虑切频率派范围女从0～∞，丝式