小学几何之蝴蝶定理大全

小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。定理2：等分点结论（鸟头定理）在△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延长交EF于点G，则有：$\frac{S_{\triangleAEG}}{S_{\triangleBGC}}=\frac{AD}{BC}$$\frac{S_{\triangleAFG}}{S_{\triangleBGC}}=\frac{AB-AD}{BC}$定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积：$S_1:S_2=S_4:S_3$或$S_1\timesS_3=S_2\timesS_4$2）AO∶OC=（S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）上、下部分的面积比等于上、下边的平方比：$S_1:S_3=a^2:b^2$2）左、右部分的面积相等3）$S_1:S_3:S_2:S_4=a^2:b^2:ab:ab$4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质1）$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{h}{H}$2）$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2}{A^2}$定理5：燕尾定理$S_{\triangleABG}:S_{\triangleAGC}=S_{\triangleBGE}:S_{\triangleGEC}=BE:EC$$S_{\triangleBGA}:S_{\triangleBGC}=S_{\triangleAGF}:S_{\triangleGFC}=AF:FC$$S_{\triangleAGC}:S_{\triangleBCG}=S_{\triangleADG}:S_{\triangleDGB}=AD:DB$二、例题分析例1、如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，求ABC的面积。（删除明显有问题的例题）例4、如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？例7、（小数报竞赛活动试题）例8、在梯形ABCD中，已知三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。解：设梯形ABCD的高为h，上底为a，下底为b，则有：三角形AOD的面积为9，故有：$\dfrac{(a+b)h}{2}-\dfrac{ah}{2}=9$，即$(a+b)h-ah=18$，整理得$h=\dfrac{18}{b}$。三角形BOC的面积为25，故有：$\dfrac{(a+b)h}{2}-\dfrac{bh}{2}=25$，即$(a+b)h-bh=50$，将$h$代入得：$a=\dfrac{50}{b}-18$。梯形面积为$\dfrac{(a+b)h}{2}$，将$a$和$h$代入得：$S_{ABCD}=\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{(50-b)b}{2}\cdot\dfrac{18}{b}=450-9b$。所以梯形ABCD的面积为$450-9b$平方厘米。例9、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的$\dfrac{1}{3}$，且$AO:OD=2:3$，那么$CO$的长度是$DO$的长度的几倍。解：设$AB=a$，$BC=b$，则$AC=\sqrt{a^2+b^2}$，$S_{ABD}=\dfrac{1}{3}S_{BCD}$，即$\dfrac{1}{2}ab\cdot\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}ab\cdotCO$，整理得$CO=\dfrac{AO}{3}$。又因为$AO:OD=2:3$，所以$AO=\dfrac{2}{5}AC$，$OD=\dfrac{3}{5}AC$，代入得$CO=\dfrac{2}{15}AC$，即$CO=\dfrac{2}{15}\sqrt{a^2+b^2}$。所以$CO:DO=2:3$。例10、如图，长方形ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。解：设$CF=x$，则$BE=10-x$，$S_{\bigtriangleupBCF}=S_{\bigtriangleupBDE}-S_{\bigtriangleupAEF}$，即$\dfrac{1}{2}x\cdot8-\dfrac{1}{2}(10-x)\cdot6=\dfrac{1}{2}S_{\bigtriangleupEFG}+10$，整理得$x=5$。所以CF的长为5cm。例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积。解：连接FH、EG，如图：易知$\bigtriangleupAHB\cong\bigtriangleupCHD$，$\bigtriangleupEFG\cong\bigtriangleupAHF\cong\bigtriangleupCHG$，所以$S_{\bigtriangleupEFG}=S_{\bigtriangleupAHF}=S_{\bigtriangleupCHG}$。又因为$EF=\dfrac{1}{2}BC=3$，$HG=\dfrac{1}{2}AD=3$，所以$S_{EFGH}=S_{EFG}+S_{HFG}=2S_{EFG}=2S_{AHF}=2S_{CHG}=2\times\dfrac{1}{4}\times36=18$。所以图中阴影部分的面积为18平方厘米。例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。解：如图：易知$\bigtriangleupABE\cong\bigtriangleupFCD$，所以$BE=CD=10$，$AE=FD=2$。阴影部分的面积=$\dfrac{1}{2}\times10\times2+\dfrac{1}{2}\times12\times2+10\times10-\dfrac{1}{2}\times10\times10-\dfrac{1}{2}\times2\times2-\dfrac{1}{2}\times12\times12=44$。所以阴影部分的面积为44平方厘米。例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，$\bigtriangleupAEF$和$\bigtriangleupBDF$都是等腰直角三角形，求三角形BDF的面积。解：如图：易知$\bigtriangleupAEF\cong\bigtriangleupBDF$，所以$BD=AE=6-AD$。又因为$\bigtriangleupABD\sim\bigtriangleupCDF$，所以$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{CD}{DF}$，即$\dfrac{6}{6-AD}=\dfrac{AD}{DF}$，解得$AD=\dfrac{9}{5}$，$DF=\dfrac{36}{25}$。所以$\bigtriangleupBDF$的面积为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{36}{25}\times\dfrac{9}{5}=\dfrac{81}{50}$。所以三角形BDF的面积为$\dfrac{81}{50}$平方厘米。例14、如右图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？解：如图：易知$AD=AG+GD=15+30=45$，$BD=BE+ED=15+18=33$。所以阴影部分的面积为$45\times33-15-18-30=1387$公顷。所以图中阴影部分的面积为1387公顷。例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且$\bigtriangleupADG$的面积比$\bigtriangleupEFG$的面积大6平方厘米。$\bigtriangleupABC$的面积是多少平方厘米？解：如图：易知$\bigtriangleupAED\sim\bigtriangleupBDC$，所以$\dfrac{AE}{BD}=\dfrac{ED}{DC}$，即$\dfrac{1}{2}=\dfrac{ED}{DC}$，所以$ED=\dfrac{1}{2}DC=3$。又因为$\bigtriangleupADF\sim\bigtriangleupBCF$，所以$\dfrac{AF}{BC}=\dfrac{DF}{CF}$，即$\dfrac{1}{2}=\dfrac{DF}{CF}$，所以$DF=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{1}{4}AB$。又因为$\bigtriangleupADG\sim\bigtriangleupEFG$，所以$\dfrac{DG}{FG}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以$DG=\dfrac{\sqrt{3}}{2}FG$。设$\bigtriangleupABC$的面积为$S$，则$\bigtriangleupADF$的面积为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}AB\times\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{16}S$，$\bigtriangleupADG$的面积为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}AC\timesDG=\dfrac{\sqrt{3}}{8}S$，$\bigtriangleupEFG$的面积为$\dfrac{1}{4}S$。所以$\dfrac{\sqrt{3}}{8}S+\dfrac{6}{4}=\dfrac{1}{4}S$，解得$S=24$。所以$\bigtriangleupABC$的面积为24平方厘米。5、已知长方形ABCD，且AE:ED=CF:FD=1:2