等腰三角形分类讨论思想

等腰三角形分类讨论思想等腰三角形是一种特殊且重要的三角形。但由于它的特殊性，处理问题时容易出错，因此在解决有关等腰三角形的问题时，应注意分类讨论。例如，已知等腰三角形的一个内角为75°，则其顶角可能为30°或75°。需要根据已知角是顶角还是底角来确定顶角的度数，再运用三角形内角和定理求解。因此，正确答案为D。另外，对于一个等腰三角形，如果条件中没有确定顶角或底角时，也需要注意分情况讨论。例如，已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角可能为80°或20°，具体取决于外角与顶角还是底角相邻。在计算等腰三角形的边长时，也需要分类讨论。例如，已知等腰三角形的一边为5，另一边为6，则它的周长可能为16或17，具体取决于哪条边是腰长哪条边是底边。需要注意的是，如果条件中没有明确哪条边是腰长哪条边是底边，也需要在符合三角形三边关系的前提下进行分类讨论。例如，已知等腰三角形的一边长为6，周长为14，则它的腰长可能为4或2，具体取决于哪条边是底边；已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，则它的腰长可能为3或不存在，具体取决于哪条边是底边。例1.在平面直角坐标系中，已知点A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标。【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，2）或（0，-6）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（2，-2）。所以，点P的坐标为（0，-4）、（0，2）、（0，-6）或（2，-2）。例2.如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。由题意，OD=5，当OD为腰时，点O和点D均有可能为等腰三角形顶角的顶点，所以若点O为顶点时，则OP=5，故点P坐标为（3,4）；若点D为顶点时，则DP=5，故点P坐标为（2,4）或（8,4）；当OD为底边时，点P就在OD的中垂线上，则此时点P坐标为（5，2），显然此时两腰长不为5，不合题意。所以，点P的坐标为（2,4）、（8,4）或（3,4）。拓展提升在平面直角坐标系中，已知点P(-2,1)，关于y轴的对称点为Q，点B（x,0）是横轴上的一个动点，当三角形QBO是等腰三角形时，求x的值。因为P与Q关于y轴对称，所以Q（2，1），OP`=√5。当△P`TO是等腰三角形时，分以下几种情况进行讨论：1.当点T在x轴的正半轴时：（1）若TP`=OP`，因为OP`=√5，TP`²=OP`²，所以（t-2）²+1²=5，即t=0或4；（2）若TP`≠OP`，因为OP`=√5，TP`²<OP`²，所以（t-2）²+1²<5，即t∈(0,4)。2.当点T在x轴的负半轴时：（1）若TP`=OP`，因为OP`=√5，TP`²=OP`²，所以（t+2）²+1²=5，即t=-4或0；（2）若TP`≠OP`，因为OP`=√5，TP`²<