基本立体图形及几何体的表面积与体积(原卷版)

8.1基本立体图形及几何体的表面积与体积思维导图知识点总结1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相且多边形互相且侧棱相交于，但不一定相等延长线交于侧面形状梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，于底面相交于延长线交于轴截面等腰梯形圆面侧面展开图扇环2.直观图的斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴、y′轴所在平面.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝4.简单几何体的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝球S＝V＝[常用结论]1.正方体与球的内切、外接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.2.长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).3.正四面体的外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).4.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.典型例题分析考向一基本立体图形和直观图角度1结构特征例1给出下列四个命题，正确的是()A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱感悟提升空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.角度2直观图例2如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2)＋eq\r(2)感悟提升1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.角度3展开图例3(1)(2023·福州检测)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为________.(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.感悟提升几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.考向二面积与体积角度1侧面积与表面积例4(2023·长沙质检)如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4cm2，9cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为eq\f(19,3)cm3，则该容器模型的表面积为________.角度2体积例5(1)(2023·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为()A.0.25cm3 B.0.65cm3C.0.15cm3 D.0.45cm3(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(eq\r(7)≈2.65)()×109m3×109m3×109m3×109m3(3)(2023·潍坊模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()立方丈立方丈立方丈立方丈(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.感悟提升1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.2.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.基础题型训练一、单选题1．半径为1的球的表面积为（

）A． B． C． D．2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（

）A． B． C． D．3．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（

）A．AB B．AD C．BC D．AC4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（

）A． B．C． D．5．若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为60°，则该圆锥的侧面积为（

）A．3π B．3π C．6π D．6π6．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为（

）A． B． C． D．2二、多选题7．下列关于圆柱的说法中正确的是（

）A．圆柱的所有母线长都相等B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱8．下列命题正确的是（

）A．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形三、填空题9．半径为的球的表面积为___________.10．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．11．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为__________.12．往一球型容器注入cm3的水，测得水面圆的直径为cm，水深为cm，若以cm3/s的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为cm时，则需经过______s.四、解答题13．作出圆锥的直观图.14．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是与.如图所示，俯视图是一个边长为的正方形.（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积.15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，求的取值范围．

16．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？提升题型训练一、单选题1．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（

）A．3 B． C．6 D．2．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．3．如图，一个水平放置的面积是的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中，则等腰梯形面积为（

）A． B． C． D．4．在三棱锥中，，二面角为直二面角，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（

）A． B． C． D．6．棱长为2的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)A．4 B． C． D．8二、多选题7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（

）A．半径是3 B．体积为C．表面积为 D．表面积为8．我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（

）A．正方体的棱切球的半径为B．正四面体的棱切球的表面积为C．等长正六棱柱的棱切球的体积为D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为三、填空题9．已知正方形的面积为4，其直观图是四边形，则四边形的面积是____________．10．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m．11．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______12．在直三棱柱中，，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是______．四、解答题13．把