一元二次不等式的解法6种常见考法归类（原卷版）

2.2.3一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意aa<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab>0当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0))；ab<0当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b<0.))（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A、B均为含x的多项式（1）（2）（3）（4）10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．(3)求：解不等式．(4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一解不含参数的一元二次不等式考点二含参数的一元二次不等式的解法考点三利用不等式的解集求参数考点四简单的分式不等式的解法考点五一元二次不等式的恒成立有解问题考点六一元二次不等式的实际应用考点一解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式的解集为（

）A．或B． C．D．或2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式：（1）；

（2）；

（3）4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式的解集为A． B． C． D．6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为的是（

）A． B．C． D．考点二含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若，解不等式．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x的不等式:.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知，，求关于的不等式的解集.考点三利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（

）A．-10 B．-6 C．0 D．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数.(1)若关于的不等式的解集是，求的值.(2)若，求关于的不等式的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式的解集为，则.20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2考点四简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集为．24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式的解集是．25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则．26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式：(1)；(2)；(3).考点五一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围;(2)解关于的不等式.28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．31．（2023·高一课时练习）已知函数，，.(1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围．考点六一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（）A． B．C． D．33．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（

）.A． B．C． D．34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元