函数值域求法十一种

函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

例2.求函数的值域。

解：∵

故函数的值域是：

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

3.判别式法

例4.求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：

∴

解得：

故所求函数的值域为

例8.求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

6.函数单调性法

例9.求函数的值域。

解：令

则在[2，10]上都是增函数

所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例10.求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数的值域。

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

当时，

故函数的值域为

例12.求函数的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

例13.求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有

当时，

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例14.求函数，的值域。

解：

令，则

由

且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

例15.求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵

当时，

当时，

故所求函数的值域为：

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16.求函数的值域。

解：原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

例17.求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，

故所求函数的值域为

例18.求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9.不等式法

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例20.求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

10.一一映射法

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21.求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

11.多种方法综合运用

例22.求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例23.求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先