复数的三角形式

复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值（1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4。（2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6。想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6。复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。下列各式是否为复数的三角形式：（1）isinθ+cosθ（2）2(cos(π/4)+isin(π/4))（3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。例2：把下列复数转化为三角形式（1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。（2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2。（3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6。总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。例3.求复数$Z=1+\cos\theta+i\sin\theta$$(\pi<\theta<2\pi)$的模与辐角主值。分析：式子中有多个$1$，只有将$1$消去，才能更接近三角形式，因此可以利用三角公式消去$1$。解：$Z=1+\cos\theta+i\sin\theta=1+(2\cos^2\frac{\theta}{2}-1)+2i\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})$$=2\cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\theta}{2}}$。因为$\pi<\theta<2\pi$，所以$180^\circ<\frac{\theta}{2}<360^\circ$，$\cos\frac{\theta}{2}<0$。所以$Z$的三角形式为$Z=-2\cos\frac{\theta}{2}(\cos(\pi-\frac{\theta}{2})+i\sin(\pi-\frac{\theta}{2}))$，所以$r=-2\cos\frac{\theta}{2}$，$ArgZ=\pi-\frac{\theta}{2}+2k\pi$，其中$k\in\mathbb{Z}$。例4.将$Z=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos^2\theta-3\sin^2\theta}$$(\pi<\theta<3\pi)$化为三角形式，并求其辐角主值。因为三角形式中只有正余弦，所以首先想到“化切为弦”。下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化。$\because\pi<\theta<3\pi$，$\therefore180^\circ<\theta<540^\circ$，$\cos\theta<0$。所以$Z=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos^2\theta-3\sin^2\theta}=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta(\cos\theta-3\sin\theta)}=\frac{1}{\cos\theta-3\sin\theta}(\cos\theta+i\sin\theta)$。因为$\pi<\theta<3\pi$，所以$180^\circ<\theta<540^\circ$，$\frac{\pi}{2}<\frac{\theta}{2}<\frac{3\pi}{2}$，$\cos\theta<0$，$\sin\theta<0$。所以$Z=\frac{1}{\sqrt{10}\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}(\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})+i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}))$，所以$r=\frac{1}{\sqrt{10}\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}$，$ArgZ=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}+2k\pi$，其中$k\in\mathbb{Z}$。例5.若$Z\in\mathbb{C}$，$|Z-2|\leq1$，求$|Z|$的最大、最小值和$ArgZ$范围。$\because\pi<\theta<3\pi$，$\therefore180^\circ<\theta<540^\circ$，$\cos\theta<0$，$\sin\theta<0$。解法一：数形结合。由$|Z-2|\leq1$，知$Z$的轨迹为复平面上以$(2,0)$为圆心，$1$为半径的圆面（包括圆周），$|Z|$表示圆面上任一点到原点的距离。显然$1\leq|Z|\leq3$，所以$|Z|_{\max}=3$，$|Z|_{\min}=1$。另设圆的两条切线为$OA$，$OB$，$A$，$B$为切点，由$|CA|=1$，$|OC|=2$知$\angleAOC=\angleBOC=\frac{\pi}{2}$，所以$argZ\in[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})$。解法二：用代数形式求解$|Z|$的最大、最小值。设$Z=x+yi$，则由$|Z-2|\leq1$得$(x-2)^2+y^2\leq1$，所以$|Z|^2=x^2+y^2\leq(x-2)^2+y^2+1\leq4$，所以$1\leq|Z|\leq3$。例6.求$-3-4i$的平方根。解法一：利用复数代数形式。设$-3-4i$的平方根为$x+yi$$(x,y\in\mathbb{R})$，则有$(x+yi)^2=-3-4i$，即$x^2-y^2+2xyi=-3-4i$，由复数相等条件，得$\begin{cases}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{cases}$解得$x=\pm1$，$y=\mp2$，所以$-3-4i$的平方根是$\pm(1-2i)$。解法二：利用复数的三角形式。cos(θ/2)+isin(θ/2)，∴|w|=1，且argw<π/2，又∵z=cosθ+isinθ=2cos(θ/2)sin(θ/2)i，∴|z|=2|sin(θ/2)|，且argz=π/2，∴|z/w|=2|sin(θ/2)|/1=2|sin(θ/2)|，又∵|z/w|=1，∴2|sin(θ/2)|=1，∴|sin(θ/2)|=1/2，∴θ/2=kπ±π/6，其中k∈Z，∴0<θ<π，∴θ=kπ±π/3，其中k=1,2。tg2θ(sin4θ+icos4θ)因为|w|=|tg2θ|，根据0<θ<π，当tg2θ=±tanθ时，w=tan2θ±i，且|w|=|tan2θ|=tan2θ。当tg2θ=tanθ时，得θ=0或θ=π，此时w=tan0=0或w=tanπ不存在，不符合题意。当tg2θ=-cotθ时，得θ=π/2或θ=3π/2，此时w=-1±i，符合题意。综上所述，θ=0，π/2，π，3π/2。例10：三角级数求和将cosnα+isinnα表示为复数z，那么z=cosα+isinnα，z²=cos2α+isin2α，以此类推，z^n=cosnα+isinnα。则z+z²+...+z^n=cosα+cos2α+...+cosnα+isinα+isin2α+...+isinnα=(cosα+cos2α+...+cosnα)+i(sinα+sin2α+...+sinnα)令k=cosα+cos2α+...+cosnα，m=sinα+sin2α+...+sinnα，则所求和为k+mi。又因为cosα+isinα=e^(iα)，所以z=e^(iα)，即z=(cosα+isinα)=e^(iα)。因此，z+z²+...+z^n=(1-z^(n+1))/(1-z)。又因为z=cosα+isinα=cosα+(sinα)i，所以z-1=(cosα-1)+(sinα)i。所以，|z-1|^2=(cosα-1)^2+sin^2α=2-2cosα，即|z-1|=sqrt(2-2cosα)。当α=π/6时，z=cos(π/6)+isin(π/6)=sqrt(3)/2+i/2，所以|z-1|=sqrt(2-sqrt(3))。把下面的文章中的格式错误删除，并删除明显有问题的段落，然后稍微改写每段话。首先，我们来看一下这个式子：z-1=πz2z3。这个式子可以用来计算复数z的值。在这个式子中，z2和z3是已知的复数，π是一个常数。接下来，我们需要将这个式子化简一下。首先，我们将z2z3移到等式右边，得到z-1/π=z2z3。然后，我们将等式两边乘以