2021-2022学年北京双榆树中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年北京双榆树中学高三数学理月考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.有一条长度为1的线段EF其端点E、F在边长为3的正方形ABCD的四边滑动，

当F绕着正方形的四边滑动一周时・，EF的中点M所形成的轨迹长度最接近于

(***)笫10题图

A.8B.10C.

11D.12

参考答案：

C

2.设f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=l对称，且当0<xWl时，f(x)

=log：ix.记f(x)在［-10,10］上零点的个数为m,方程f(x)=-1在［-10,10］上的实

数根和为n,则有()

A.m=20,n=10B.m=10,n=20C.m=21,n=10D.m=ll,n=21

参考答案：

C

【考点】57：函数与方程的综合运用.

【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解

函数的零点个数.

【解答】解：•••函数y=f(x)的图象关于直线x=l对称，

Af(2-x)=f(x),又y=f(x)为奇函数，

.\f(x+2)=f(-x)=-f(x)，

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4,

又定义在R上的奇函数，故f(0)=0,

当OVxWl时,f(x)=logsx.可得x=l,f(1)=0,

f(x)在［-10,10］上图象如图：

可得m=21,方程f(x)=-1在［-10,10］上的实数根分别关于x=-7；-3,1,5,9对

称，实数根的和为n,

n=-14-6+2+10+18=10.

故选：C.

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合

思想以及转化思想的应用.

3.定义在R上的偶函数人R满足了("0=/"，且八。在卜3,-2］上单调递减，

冬力是锐角三角形的两内角，那

么

(

)

A./(ana)>/(sin^)B/(co$a)</(co$^)

C./(ana)>/(»sj5)D/(ana)〈人8$向

参考答案:

4.已知曲线3的切线方程为y=-1+6,则人的值是

_2£22

A.3B.3c.3D.3

参考答案：

B

略

5.有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边

任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出

1尻历IT,则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）

3_a32L12+3-

A.1B.京C.IFD.-32~

参考答案：

B

【考点】几何概型.

【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度

和60表示，即可求得.

【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传1只历「，那么当构成如

图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，

所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，

H-160-8.

1-3;

6.已知】为虚数单位，则复数3+;的虚部是

A.一1B.1C.xD.r

参考答案：

A

1—3/Q-30(3-/)-10/ij—3i

原式=377.京而ViS---,则复数ITT的虚部是-i.选A.

Wc=k

7.已知a=2U,U7,2则a,瓦c的大小关系

为)

A.X«cB.cCKac.c^a^bD.KKC

参考答案：

B

又.产=3j"”】,

...c〈AKa.故选B.

8.双曲线5d二】的焦点坐标为（

)

A.(3,0)和(-3,0)B.(2,

0)和(-1,0)

C.(0,3)和(0,-3)D.(0,1)

和(0,-D

参考答案:

A

|a'4//+〃9"-3,焦点在上柏上，选人

22

XV]

—=1

9.已知点A(-3,0),B(0,2)在椭圆m"nz上，则椭圆的标准方程为()

2222x2222

A_r__+匚=11XV,

+=11c.T+y=1D.--d---二1

A.32B.9454

参考答案:

B

【考点】椭圆的简单性质.

9一，

【分析】根据题意，将点的坐标代入椭圆方程可得In",解得胡值，将其值代入

椭圆方程即可得答案.

22

xJ]

~+-=1

【解答】解：根据题意，点A(-3,0),B(0,2)在椭圆mn上，

则有IM,解得/=9,n2=4,

即椭圆的标准方程为9+4=1；

故选：B.

10.已知点P在以44为左右焦点的椭圆aV上，椭圆内一点。在

愿的延长线上,满足Q耳_L0P,若smW2-后，则该椭圆离心率取值范围是

()

囹

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.己知直线［:F与圆。：一+尸=4相交于4B两点，则|用=▲.

参考答案：

2M

12.若函数在［-1,2］上的最大值为4,最小值为加，且函数

8(*)-G-4m)^x在［0.+均上是增函数,则a=

参考答案：

4

略

13.某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为

80分，标准差为4,第二组的平均分为9()分，标准差为6,则此班40名学生的数

学期中考试成绩平均分一方差为

参考答案：

85,51

成绩平均分85,方差为51

14.执行右下程序框图，其输出结果为

参考答案:

29

24

15.已知函数I4-”，若方程了（幻=“同恰有4个不等根，则实数4的取值范

围为______________________

参考答案：

1<a<2

略

16•.函数/（力="一，与*（x）=/-xT的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的

取值范围为.

参考答案：

a<l

【分析】

函数〃力=1-不与g（x）=J-xT的图象上存在关于X轴的对称点，转化为

/（万）=1-『与*（力=_金.<+］的图象有交点，等价于的图象有

交点，利用导数的几何意义，结合函数图象即可得结果.

【详解】

g(x)=Er-l关于X轴对称的函数为M力=-金1+1,

因为函数/(m二。一一,与弁(工)='一"一1的图象上存在关于*轴的对称点,

所以与M力=-7+<+1的图象有交点，

方程有解，即+=x+l有解，

a=0时符合题意，

C/=一("】)

4,0时转化为'有解,

即«的图象有交点,

，=7任稗是过定点(-L0)的直线

其斜率为Q,

设‘a''相切时，切点的坐标为),

«-1

JW-F1a

/=」Li

则Ia,解得a・l,切线斜率为a一，

—>1y=/J=—(k♦])

由图可知，当a,即且a/0时，a'的图象有交点，

此时，〃x)=*-/与MM=-》+x+l的图象有交点，函数/任)=**一/与

x(x}=^-x-的图象上存在关于X轴的对称点,

综上可得，实数a的取值范围为故答案为"41.

【点睛】本题主要考查函数图象的应用，考查了导数的几何意义、函数与方程思想、转化

思想的应用，属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，

还可以使解决问题的难度大大降低，本题将存在对称点问题转化为函数交点问题是解题的

关键.

17.设等差数列｛a„｝前n项和为S“，若S"-i=—1,S.=0,S”+i=2,贝i]m=.

参考答案：

3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.命题p：“Vxe口Z.x'-aNO”,命题q:，，3x()eK.x；+2-°=0”，若

“P且q”为假命题，求实数a的取值范围。

参考答案：

解.若P是真命题.则gxV.'K[l,2],.".a<l;

若q为真命题则方程N+2a升2。=0有实根.

/=4a"4(2-a)之0,即,0工1或如-2,p真q也真时「.碎-2,或a=l

若，且g”为假命题，即ae(-2,1)U(1,+w)

略

19,已知函数/(x)满足/"'"""不不""其中

(1)对于函数/。)，当xe(-L1)时，求实数掰的集合；

(2)当xe(-B,2)时，/5)-4的值恒为负数，求a的取值范围.

参考答案：

令：…垃wR、,则/

.，（力=若⑷5）

LJS）=-T-：（尸■力=一/⑶

因为a-1

所以/5）是R上的奇函数；

a人

-T——>0*,

当a>l时，aJ-\,a”是增函数，是增函数

所以"x）是R上的增函数；

当0<a<l时，"是减函数，一尸是减函数

所以"x）是R上的增函数；

综上所述，a>0且arlfi寸，/（x）是R上的增函数。

（1）由/（1_加）+/（1一冽2）<0有

1-W<W2-1

<-1<1-m<1

-1〈廿—I<1

解得we（1.也）

（2）因为/（X）是R上的增函数，所以/（x）-4也是R上的增函数

由x<2.得，（x）〈/⑵所以」（x）-4〈/⑵-4

要使/(x)-4的值恒为负数，只需/(2)-4g°,

即J-l

解得2-6Sa02+后

又awl,所以a的取值范围是2一招MaMl或i〈ag2+招

20.已知函数/“)=1nx

(1)若直线y=X+僧与函数了“)的图象相切，求实数m的值;

_2

⑵证明曲线尸=/“〉与曲线”-"一；有唯一的公共点；

侬-73)b-a

(3)设0<a<6,比较-一与的大小，并说明理由。

参考答案：

解：⑴x

3=L

设切点为(0Jo),贝ijxo./=1,M)=lnxo=lnl=0,

代入＞=丁+加，得冽=-i...........2分

1111-(x——)一一

A(x)=f(x)-(x--)=lnx-x--¥(x)=-—l--y=----------<0

(2)令xx,贝ijxrx

应x)在(0,m)内单调递减，.............4分

又如)=lnl-l+l=0

所以x=l是函数'Mx)的惟一的零点。所以点Q°)是两曲线惟一的公共点。....6分

b

ln6-lna_b-a1

26+a

(3)

x-1

->1^(x)=-lnx-(X>1)

又因为°<a<瓦所以。构造函数2x+18分

1x+l-(x-l)12(x-1)2

2x(x+1)22x(x+1)a2x(x+1)J

在。，*。)内单调递增....io分

1,x-1

yKc-In彳>

又当x=1时，/。)=。x>i时，a”即2x+i

1b

-In->T——

1n6-1nab・a/(b)-/(a)-a

2。二】----->----

则有成立。即2b^a即2b+a12分

略

21.如图，正三角形为8c的边长为2,D,E,P分别在三边兑3,和04上，且

0为四的中点，&DF=页,4BDE=8,(0,<^<90，).

tan=—力

(1)当2时，求®的大小；

(2)求ADEF的面积5的最小值及使得S取最小值时的®值。

DB

参考答案:

6-班

(1)6=60'；(2)当6=45♦时，S取最小值2

=丝sin6。：_4

分析：在ASDE中，由正弦定理得曲(120,-6)2皿60，+勾….2分

Dp=吗sin60：_/

在AADF中，由正弦定理得$m(3CT+8)2$in(3Cf+9)......4分

jjsin(60,+&]5

由'血"”“一~T,得皿30+62,整理得taa8=4,….5分

所以e=60♦.…6分

(2)

$1DR33

28sm(60+6)sin(30+0)2(&cos.+sin