概率论与数理统计第一章

第一章 随机事件与概率§1.1

概率论的现实背景确定性现象和随机现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。不可能现象：在一定条件下不可能发生的现象。随机现象：在一定条件下事件可能发生也可能不发生的现象。§1.2

随机事件及其运算1.2.1基本事件空间与事件随机试验：不能事先准确地预见它的结果，而且在相同条件下可以重复进行。E随机试验：不能事先准确地预见它的E结果，而且在相同条件下可以重复进行用符号E

表示。随机事件：在条件下事件可能发生也可能不发生的事件用大写字母A,B

,C,

表示。必然事件：在每次试验中它总是发生的E事件，用符号

表示。不可能事件：每次试验中总不会发生的事件，用符号

表示。基本事件:对于一个随机试验

E来说，知道这个试验可能出现的结果．若以

表示E它的一个可能的结果，就称 为

E

的一个基本事件（或样本点）.样本空间:全体基本事件的集

{

}称为基本事件空间（或样本空间）．例1.2.1

某袋中装有4只白球和2只黑球，考虑依次从中任意摸出两球所可能出现的情况.若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号.若用数对来表示第一次摸得号球，第二次摸得号球，则可能出现的结果.E例1.2.2

掷一个均匀的骰子，用指出件，并表示事件EAi

{i}; i

1,2,...,6

分别表示所掷的点数，B表示“偶点数”C， 表示“奇点D数”，

表示“3点或3点以上”，试写出样本

空间，并A1,A2

,...,A6,B,C,DB,C,事D

件中哪些是基本事。1.2.2事件间的关系与运算1．事件的包含与相等E若事件A事件B

之中，即A

的发生必然导致B

的发生，则称事件A

包含于事件B

，或事件B包含事件A

，也称是的特款，记为A

B。A

中的每个基本事件都包含在B若

A

B,且B

A

,

则称事件

A与B

相等(或等价),记为A

B

。EAA与与BB的和2．事件的和、积、差对两个事件A和B

，称“事件A与事件B至少有一个发生”的事件，即A或B

发生为事件A与B的和（或并），记为C

A

B或C

A

BEAA与与BB的和对无限个事件A1,A2

,...,可类似定义它们的和事件C为1

2i

A1，A2

,

至少有一个发生

A

发生,或A

发生,

C

Ai

1记为或时发生”的积，记为.EAA与与BB的和对两个事件A

和

B

，称“事件A

与事

B与 都发生为C

{A发生，B发生}件同时发生”的事件，A即事A件B与C

的A积

（B

或交C

）A，B

即A1,

A2.,

,

An件事件A1“,A2

,

个,A事n称为事件

i

1

同A

in即，则称对两个事件A和B

，称“事件A

发生而事件B

不发生”的事件为事A与件B的差

，记C

为A

BC

{A发生,B不发生}.如EAA与与果BB事的件和A与事件B，即如3果．事互件不A相与容事事件件B

与对立事件A

B

事件A与不事可件能B同时发生，是互不相容如EAA与与果BB事的件和A与事件B（或互斥）的.如果事件

A与事件

B

满足：(1)A

B

;(2)A

B

，即必发生其一，但不能同时发生，则称事件A与事件B是互逆的，或者说A是B的对立事件，记为A

B（或B

A

）.结合律如EAA与与果BB事的件和A与事件B在进行事件的运算时，经常需要如下的运算律.交换律

A

B

B

A,

A

B

B

A(A

B)

C

A

(B

C),(A

B)

C

A

(B

C)对偶律如EAA与与果BB事的件和A与事件B分配律(A

B)

C

(A

C)

(B

C),(A

B)

C

(A

C)

(B

C)A

B

A

B,

A

B

A

B如EAA与与果BB事的件和A与事件B表示下列事件:例1.2.3

设A,B,C是三个事件,试用A,B,C(5)至少有一个事件发生;(6)恰有两个事件发生;(7)不多于两个事件发生;(8)A,B至少有一个发生,而C不发生.(2)A与B都发生而C不发生;(4)恰有一个事件发生;(1)恰有A发生;(3)A,B,C都发生;(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;例1.2.4

化简下列各事件：(A

B)(A

B)

;AB

AB

BC;(A

B)(A

B)(B

C).(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;例1.2.4

化简下列各事件：(A

B)(A

B)

;AB

AB

BC;(A

B)(A

B)(B

C).例1.2.5

求事件“甲产品滞销，且乙产品畅销”的对立事件．(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;概率的定义与基本性质概率的公理化定义频率的性质设随机试验E

的基本事件空间为

，A，B为E的两个随机事件，则在n次试验中的频率具有下列性质：(2)(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;(1)

0

fn

(A)

1fn

(

)

1(3)

若A与B

互不相容，则fn

(A

B)

fn

(A)

fn

(B)(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;定义1.3.1

设随机试验E

的基本事件空间为

，对于E的任一事件A

，赋予一个实数P(A)，如果它满足以下三条公理：（1）0

P(A)

1

;（2）

P(

)

1

；（3）对于可列无限个两两互不相容的(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;则称为P(A)事件A的概率．1.3.2概率的基本性质性质1.3.1

不可能事件的概率为0，即

P(

)

0

.性质1.3.2

（有限可加性）设是两两互不相容的事件，即

Ai

Aj

,

i

j

,

i,

j

1,2,

,

n由概率的可列可加性（1.2.1）式及性质1.2.1，有(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;nii

ni

1i

1P

(

A

)

.则P

(

A

)

i

in

ni

1

i

1证

因为

A

A

,niniin

i

1

i

1i

1P(A

)P(A

)

P(P(

A

)

)

，若，(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;性质1.3.3

对任何事件A,有

P(A)

1

P(A).性质1.3.4

对于两个事件A

B

则有P(B

A)

P(B)

P(A).性质1.3.5

（加法公式）对任意两个事件A,

B

，有P(A

B)

P(A)

P(B)

P(AB)例1.3.1

设事件的概率分别为和(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;A,

B1

321，试求下列三种情况下的值：A,B

互不相容；A

B

；8（3）P(

AB)

1

.(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;例1.3.2

已知事件

A,

B

满足P(AB)

P(AB),

且P(A)

p试求P(B)例1.3.3

某人外出旅游两天.据气象预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1．试求：第一天下雨而第二天不下雨的概率；第一天不下雨而第二天下雨的概率；至少有一天下雨的概率；两天都不下雨的概率；至少有一天不下雨的概率.(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;例1.3.4

某公司购进一批电视机，经开箱检验，外观有缺陷的占5%，显像管有缺陷的占6%，其它部分有缺陷的占8%，外观及显像管均有缺陷的占0.3%，显像管及其它部分有缺陷的占0.5%，外观及其他部分均有缺陷的占0.4%，三者都有缺陷的占0.02%.现从中任取一件，问至少有一种缺陷的是多少？(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)与与果(BBA事的

件和BA)与(A事

件B)B;1.4

古典概率与几何概率1.4.1古典概率古典概型设随机试验E的基本事件空间

{

1,

2,

,

n}，n为有限正整数，且每个基本事件

i

发生的可能性相等件A是由m个不同的基本事件组成,即1

2nn（即P(

)

P(

)