2021-2022学年湖北省潜江市园林高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖北省潜江市园林高级中学高一(下)期

中数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合4={x|x2—%—2w0,x€R},B={x\-l<x<4,x&Z},则4nB=

()

A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.[0,1,2}

2.若复数z满足(z-l)i=4+2i,则|z|=()

A.5B.V17C.25D.17

3.已知向量五=(2,1),ab=10)\a+b\=5V2，则|B|=()

A.V5B.V10C.5D.25

4.在△ABC中，已知AC=2,BC=4,cosC=%则△力BC的面积为()

A.—B.1C.V15D.2V15

4

5.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图

是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫

格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：

1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用4B,C,。表示黄金分割点.若

照片长、宽比例为8：5,设4CAB=a,则3—tana=()

6.若定义在R上的函数/O)满足：对于任意的x,yeR,恒有/'(%+y)=f(x)+/(y)+

1.则函数g(x)=f(x)+1为()

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性

7.已知0,N,P在AABC所在平面内，且|瓦？|=\OB\=|OC|,AU+/Vfi+/VC=0.

且福・丽=丽・正=正•两，则点。，N,P依次是△48。的()

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.夕卜心重心内心

8.已知向量%瓦礴足|引=3,=+1|=|a-K|=V13,c=^a4-(l-2)K(Ae

R)，贝URI的最小值为()

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知向量乞=（2,1）5=（1,-1）,c=（m—2,-n），其中m,ri均为正数，且0-K）//c-

下列说法正确的是（）

A.五与方的夹角为钝角

B.向量五在方方向上的投影向量为（噜,一噜）

C.2m+ri=4

D.nm的最大值为2

10.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且a：b：c=4：5：6,则下列

结论正确的是（）

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是钝角三角形

C.若c=6,则△ABC内切圆半径为五

2

D.若c=6,则4ABC外接圆半径为随

7

11.下列说法正确的是（）

A.当xG（0,1）时，xVl-x2<1

B.siMx+1-的最小值为2a

D.若a>1,b>-,贝经奥”也<1

2l+log2a.b

12.一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心。距离

地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转

动2.5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点P。）

开始计时，以P。与底面的交点为坐标原点，MP。所

在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P

地M血

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距离地面的高度九(米)与时间t(秒)的函数关系为九=/(t)=Asin(a)t+3)+b,其

中4>0,-7T<<0,则下列选项正确的是()

A.OP旋转的角速度3=总

B.摩天轮最低点离地面的高度为2米

C.点P第二次到达最高点需要的时间2秒

D.点P距离地面的高度九(米)与时间t(秒)的函数关系为九=/(t)=6+4cos^t

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.设向量苍=(1,2),3=(2,3)，若向量4五+方与向量下=(一4,-7)共线，则4=

14.已知△力BC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足accosB=a?-+卷加，

则4=.

15.如图所示的圆台01。2，在轴截面2BCD中，CD=2AB,且力B=4。=BC=2cm,

16.如图所示，在地面上有一旗杆0P,测得它的高度10m,在

地面上取一基线4B,48=20m,在4处测得P点的仰角

H4P=30。,在B处测得P点的仰角4OBP=45。,则

Z.AOB=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分)

17.已知向量力=(sinx,-2cosx),方=(2VJcosx,cosx)，函数f(x)=&•B+L

(1)求/(x)的单调递减区间；

(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变，再向左平移行个单

位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在［-工,台上的值域.

18.△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,©.已知。=2,c=1,且邈=0里.

asinA

(1)求△ABC的面积：

(2)若,求|BD|.

在(1)。为AC的中点，(2)B0为乙4BC的角平分线，这两个条件中任选一个，补充在

横线上.

19.如图1,一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形48C的边长为2cm,侧棱=

4cm,若侧面44/18水平放置时(如图2),水面恰好过AC,BC,&G，B】Ci的中

点.

(1)求容器中水的体积；

(2)当容器底面ZBC水平放置时(如图1),求容器内水面的高度.

20.已知函数f(x)=e*-e-x(e为自然底数，e®2.7).

(1)判断/(x)的单调性和奇偶性并证明；

(2)解不等式/(/(乃)>—.

21.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且有(a+b)(sim4—s讥B)=

(c—b)sinC.

(1)求角4

(2)当a=H时，若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.

22.已知△ABC中，过重心G的直线PQ交线段AB于P,交线段4c于Q,连结2G并延长交

BC于点D,设而=游而=944。<2的面积为51，△ABC的面积为52，AP=

mA^B,^Q=n^4C-

(1)用五花表示而，并证明'+［为定值；

(2)求金的取值范围.

»2

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合/={%|%2一X一2W0,xWR}=[-1,2],

B={x\—1<x<4,xEZ]={0,1,2,3},

・•・4n8={0,1,2},

故选：D.

求出两个集合，然后求解交集即可.

本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查.

2.【答案】A

【解析】解：•・•(z—l)i=4+2i,

d4+2i(4+2i)i.

vz—1=-----=--六=2Q—4i,

iiz

二z=3—43

\z\=J32+(-4)2=5.

故选：A.

根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.

本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长

的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用.

根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=5注两边平方，变化为有模长和数量积

的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可.

【解答】

解：,•,|a+K|=5V2>|a|=V5>

•••(a+b)2=a.2+b+2a-K=501

5+|K|2+2x10=50，

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所以商『=25,|K|=5.

故选C.

4.【答案】C

【解析】解：因为cosC=：,C6(0,yr),所以sinC=-cos2c=

44

所以△4BC的面积S=-AC-BCsinC=ix2x4x—=V15.

224

故选：c.

先由同角三角函数的关系式求得s讥C的值，再利用5=^45BCsinC,得解.

本题考查解三角形，熟练掌握正弦面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基

础题.

5.【答案】B

【解析】解:依题意箓=|，

所以tana=|,

1.sm2a+cos2atan2a+ll-tan2a_l-(g)2_39

Wr以二-----tana=——：----------tana=—tana=

sin2a2sinacosa2tana2tana2x-80

8

故选：B.

依题意可得器=即可得到tana再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化

AB8

切，再代入计算可得.

本题考查了二倍角公式及同角三角函数的基本关系在三角函数求值中的应用，考查了数

形结合思想，属于基础题.

6.【答案】A

[解析]解：f(x+y)=f(x)+f(y)+1.

•••/(x+y)+l=[/(x)+1]+[f(y)+1],(*)

设9。)=f(x)+1.则(*)式可以表示为g(x+y)=g(x)+g(y)，

可以判断y=g(x)为R上的奇函数，证明如下：

令x=y=0,得g(0)=g(0)+g(0),所以g(0)=0,

再令y=-乂，得g(0)=g(x)+g(-x),所以g(-x)=-g(x),

因此，g(x)为奇函数，

故选：A.

设9（x）=f（x）+1,根据条件能得出g（x+y）=g（x）+g（y）,再用奇偶性的定义加以

证明.

本题主要考查了抽象函数奇偶性的判断和证明，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：|九|=\0B\=|0C|1。到三角形三个顶点的距离相等，

。是三角形的外心，

根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C,D两个选项，

二只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，

vPA-PB=PB-PC=PC'PA'丽•（PA-定）=0.而•石？=0，1C4-

同理得到另外两个向量都与边垂直，

得到P是三角形的垂心，

故选：C.

据。到三角形三个顶点的距离相等，得到。是三角形的外心，根据所给的四个选项，第

一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心

就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心.

本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，

考查化归与转化思想，本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形

的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用.

8.【答案】B

【解析】解：如图作面=落丽=],以。A,AB为A----------S

两边作平行四边形OBQA,由|Z+B|=|五一小得

OQ=AB,.••平行四边形0BQ4为矩形，33、卜、

X|a|=3,\a+b\=\a-b\=V13，­••OA=3,OQ

O2B2

AB=V13,•••OB=2,

又3=（竽）•五+（F）-（2B）,设元=3作加=2万，则OP=4,又亨+?=1,

根据平面向量共线向量定理的推论可得C、4、P三点共线，

••.如图当点C满足。C14B时0C距离最小，即|角的最小，此时“40P=^-OAOB=

OAOB3X412

AP-OC,.•.此时0C=

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•••花I的最小值为当.

故选：B.

利用平面向量的线性运算的几何意义，结合平面向量共线定理的推论数形结合即可求解.

本题考查平面向量的线性运算的几何意义，平面向量共线定理的推论，数形结合思想，

属中档题.

9.【答案】CD

【解析】解：对于A,因为心方=2-1=1>0,所以往与方的夹角不可能为钝角，即选

项A错误；

对于B,向量弓在方方向上的投影向量为|五|•cos〈落6>-e=^-X=-^-X=|b=

G，-》，即选项8错误；

对于C因为7=(2,1),K=(l,-l),c=(m—2,—n)，

所以乙-3=(1,2)，所以2(m—2)+n=0,即2m+n=4,故选项C正确：

对于D,mn-|-2m-n<^•(^+n)2=|•(|)2=2,当且仅当2nl=n,即m=1,n=2

时，等号成立，所以mn的最大值为2,即选项。正确.

故选：CO.

4由本3>0，可判断；

B,向量方在石方向上的投影向量为|初・cos(旭b>-e，代入运算，得解；

C,根据向量共线的条件，可得解；

D,结合2m+n=4,由基本不等式，得解.

本题考查平面向量的综合，熟练掌握平面向量的数量积运算法则，向量共线的条件，投

影向量的计算公式，以及基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6,A正确；

a2+b2c216+2536

cosC=-=-=1>0,三角形最大角为锐角，B错误；

2ab408

cosC=g故s出C=V1-cos2C=^-,S=-absinC=-x4x5x

882284

设内切圆半径为r,则S=^r(Q+b+c)="r="立，故丁=5,C正确；

2'7242

C616x^785/7一〃

品=亘=%~=2R,Rn=〒,£>正确.

8

故选：ACD.

根据正弦定理知A正确，计算最大角为锐角，B错误，根据面积公式得到C正确，根据

正弦定理得到。正确，得到答案.

本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于4由于％6(0,1),故xVl二三立=5当且仅当》=当时，

等号成立，故A正确；

对于B：函数f(x)=sin2x+高?设sin?x=t,te(0,1]>所以f(t)=t+1,当1=1时，

对勾函数在t=1时取得最小值，

即sin%=±l时，=1+2=3,故8错误；

x211J5

对于C：3二=三嬴三荻=?，当/=2时，等号成立，故C正确；

X2

对于D：若a>1,h>p故log2a>0,log22b>0,

则2jaog2a)(log22b)<logza+log22b=1，故O正确

l+log2ab-log2(a2b}

故选：ACD.

直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于中档题.

12.【答案】AB

【解析】解：对于选项A,由题意可得，每分钟转动2.5圈，0P旋转的角速度3=等：

OU

卷(弧度/秒)，故选项A正确；

对于选项B,易得4=4,.•.摩天轮最低点离地面的高度为6-4=2(米)，故选项B正确;

对于选项。，由题可知b=6,h=f(t)=4sin*t+3)+6,

把(0,2)代入h=f(t)中,贝！Js讥卬=-1.又一W<(p<0,­,•<p=-p

...h=/(t)=4sin瑞t一$+6=6-4cos^t,故选项O错误；

对于选项C,h=/(t)=6-4cos^t~10,求得工，=加，

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•1•t=12(秒)，

根据摩天轮转一周需要鬓=24秒，故点P第二次到达最高点需要的时间是36秒，故选项

C错误，

故选：AB.

根据摩天轮每分钟转动2.5圈，可求出3的值，判断4由4=4可判断B,由题意可知h=

f(t)=4sin(^t+w)+6,把(0,2)代入可求出w的值,进而判断。，再根据九=/«)=6-

4的?判断<?.

本题以摩天轮为背景，考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，考查数学运算

和直观想象核心素养，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：•.・向量丘=(1,2),b=(2,3).若向量；I云+1=(4+2,21+3)，

又向量4Z+石与向量(—4,一7)共线，

•••(A+2)x(-7)-(2A+3)x(-4)=0,

A=2.

故答案为：2.

由已知条件，求出2五+乱利用共线向量的充要条件列出方程，求出;I的值.

本题考查了平面向量的应用问题，解题时按照平面向量的运算法则进行计算，即可得出

正确的答案，是基础题.

14.【答案】g

【解析】解：accosB=a?-+1儿，

直接利用余弦定理cosB=a"."]

2ac

转换为炉4-c2-a2=be,

整理得COSA="+：―a2_工，

2bc2

由于0<4V7T,

所以4话.

故答案为：可

直接利用余弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

15.【答案】6兀

【解析】解：将圆台看成是圆。1为底的大圆锥切去

圆。2为底的小圆锥，/\

大小圆锥的顶点为E,如图所示，/\

在经过4BC0的轴截面上，从4点作垂线4F1CD于F,/\

贝妹尸〃01。2且4F=。1。2，/\

因为AB=2,CD=24B=4,/|__________\

cO|FD

所以。2人=\AB=1,OiD=|CD=2,02A=4。/，

又。2〃/。1。，

所以。2人为小O]DE的中位线，

则。1。2=QE=：0送，

故COS4FZM=ZD~2,

所以=60°,

则tan/FEM=tanZ-O^E=毁=tan60°=V3,解得。/=2A/3，

所以O2E=2V3,

故圆台的体积为圆。1为底，高为3E的圆锥体积%DE减去以圆。2为底，高为。2后的圆锥

体枳%BE，

222

所以V=VCDE-VABE=g兀♦。1屏.O1E-1•O2A-O2E=^(2x2V3-lxV3)=

圆台的侧面积S=/2兀♦。1。•ED-，2兀♦。24・EA=TT•(2X4-1X2)=6兀.

故答案为：兀，67r.

将圆台看成是圆。1为底的大圆锥切去圆。2为底的小圆锥，在经过4BC0的轴截面上，从

A点作垂线力F，CD于F,然后利用平面几何知识求解所需的量，利用体积公式和表面积

公式求解即可.

本题考查了旋转体的理解与应用，解题的关键是掌握圆台的几何性质的应用，圆台的体

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积以及表面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

16.【答案】三

【解析】解：在直角AAOP中，得04=OPcot30。=10遮.

在直角ABOP中，得OB=0Pcot450=10,

在AHOB中，400=(10V3)2+102,

/.AOB=

2

故答案为：P

分别在直角三角形40P和直角三角形BDP中，求得。4OB,进而在AAOB中，由勾股

定理得到结论.

本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力.

17.【答案】解：(l)/(x)=a-b+l=2>/3sinxcosx—2cos2x=V3sin2x—cos2x-1=

2sin(2,x—)—1,

6

令2x-)e[2/CTT+2kjr+学|,k€Z,则x6[kn+g,kn+>kGZ,

故/'(x)的单调递减区间为即+*兀+曾，kez.

(2)g(x)=2sin[4(x+-^)—^]—1=2sin(4x+^)—1,

因为所以4x+%6[-看,争，

当4%+>看即x时，g(x)取得最大值，为1；

当+即％=一「时,g(x)取得最小值，为一2,

故g(x)在[一事台上的值域为[―2,1].

【解析】(1)根据平面向量数量积的坐标运算，二倍角公式，辅助角公式化简可得/(x)=

2sin(2x-^-l,再由正弦函数的单调性，得解；

(2)根据函数图象的伸缩平移法则写出g(x)的解析式，再由正弦函数的图象与性质，得

解.

本题考查平面向量与三角函数的综合，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算，二倍角公

式，辅助角公式，以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算

能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由正弦定理可得，回吧=上匕丝

sinAsinA

vsinAHO,1=y/3sinB+cosB=2sin(B+-),

6

・•・sin(B+7)=vBG(0,〃)，

62

・•・8+*=—,即B=—,

663

„1.r*1«c.27rV3

・•・SAARC--acsinB=-x1x2xsm—=一;

△A几2232

(2)若选(1)BD=1(BA+~BC),

•••丽?(才+能2+2而•硝=2+4+2x1x2x(-}]=：,

二|而|=今

若选(2),S4ABe=SAAB。+-^ACBD,

:.^c\BD\sin60°+^a\BD\sin60°=|acsinl20°,

1

+\BD\=1,

・•.|BD|=|.

【解析】(1)利用题中的条件，解出角B,再用面积公式求解即可；

(2)选(1)利用向量，即可求解；选(2)利用等面积，即可求解.

本题考查了解三角形，正弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)当侧面水平放置时,

水的形状为四棱柱形，底面力BFE为梯形.

设44BC的面积为S=—x22=V3»贝I

4

S梯形ABFE=(2+l)Xyxi=苧，

3

V^=-y/3-AA1=3%(c/).

(2)当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形，设水面高为无，则曝=Sh,

且了次=3V3,

.1.3V3=Sh>h=3(cm).

故当底面ABC水平放置时，液面高为3cm.

第14页，共17页

【解析】本题考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查用用体积公式来求高，解答本题时

要充分考虑几何体的形状，根据其形状选择求解的方案，属于中档题.

(1)利用棱柱的体积公式求解即可.

(2)当底面4BC水平放置时，水的形状为三棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是

直三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积.

20.【答案】解：(1)根据题意，f(x)为增函数，

证明：函数/'(X)=蜻-e-“，其定义域为R,令

fg=四-W-龈+专=(诙-*)(1+君)，

由/1一〃2>0,1+会装>0,则〃X1)>/。2)，故/(X)单调递增；

/(%)为奇函数，

证明：函数/(x)=e，-eT,其定义域为R,

/(-x)=e~x-ex=-/(x),故f(%)为奇函数；

(2)由题设，([/(%)]>「一。=>(一1),又f(%)单调递增，

所以/。)=/一6-工>一1,整理得e2，+e，一1>0,解得/>与i，

所以x>In亨，故不等式解集为(In亨,+8).

【解析】(1)根据题意，利用函数奇偶性和单调性的定义证明可得结论；

(2)根据题意，原不等式等价于/，(x)]>e-i-e=f(-1),结合函数的单调性分析可

得答案.

本题考查函数与方程的关系，涉及函数单调性和奇偶性的证明，属于基础题.

21.【答案】解：(1)v(a+Z?)(s讥A—sinB)=(c—b)sinC,

A(a+b)(sinA-sinB')=(c—b)sinC,

由正弦定理可得(a