解排列组合问题的常用策略

精品文档-下载后可编辑解排列组合问题的常用策略高考中的排列组合问题一般属于中低档题目，应是同学们的拿分题目。但排列组合问题比较灵活，又很容易出现错误。把握解排列组合问题的一些基本方法，有助于我们快速、准确地解决问题。现将高中阶段常用的排列问题和组合问题的解题方法与技巧简单归纳如下。

一、特殊元素和特殊位置优先策略

【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

（A）36种（B）42种

（C）48种（D）54种

分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。

解：分两类计算：若甲排在第一位则有种方案，若甲排在第二位则有种方案，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有+=42（种），故选B。

二、相邻元素捆绑策略

【例2】4个男同学、3个女同学站成一排，3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

分析：3个女同学可以看成一个整体，再与4个男同学排队。

解：先把3个女同学排好，有种，然后把女同学看成一个元素和男同学排队，有种。由分步计数原理，有=720种不同排法。

三、不相邻问题插空策略

【例3】4个男同学、3个女同学站成一排，任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

分析：女同学不相邻，可以插到男同学中间。

解：先将男生排好，共有种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有种方法。由分步计数原理，有=1440种不同排法。

四、定序问题缩倍、空位等策略

【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？

分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。

解法一：（缩倍法）先将这7个人全排列，然后再除以甲、乙、丙3人的全排列。所以共有=840种不同排法。

解法二：（空位法）设想有7个位置，先让其他的人坐好有种方法，再让甲、乙、丙坐余下的3个位置，有1种方法，所以共有=840种不同排法。

五、先选后排策略

【例5】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？

分析：显然有2个小球装入了同一个盒内，所以需要选出2个小球看做一组。

解：第一步，从5个小球中选出2个组成一组有种方法，第二步，把这2个和另外3个看成4组放入盒内，有种方法。所以共有=240种装法。

六、相同元素隔板策略

【例6】现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

分析：因为名额没有差别，所以只要看这个学校分到几个名额即可。

解：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有=84种不同方法。

七、正难则反策略

【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？

分析：甲、乙分到同一个班的情况只有一种，可用间接法，总体淘汰。

解：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一个班的有种，所以共有

-=30种。

八、平均分组问题除法策略

【例8】6本不同的书，平均分成3份，每份2本，共有多少种方法？

分析：分三步，则应是种方法，但这里出现了重复，应除以种重复的顺序。

解：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复。不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，这种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法。

九、合理分类和准确分步策略

【例9】如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有

（A）288种（B）264种

（C）240种（D）168种

分析：先涂A、D、E三点，用分步计数原理，然后考虑分类计数原理。

解：先涂A、D、E三点，共有4×3×2=24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1+1×2)=8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1+1×2)=3种涂法。所以涂色方法共有24×(8+3)=264种。故选B。

以上介绍了九种常用的解题策略。