山西省太原市第二十中学2022年高三数学文月考试题含解析

山西省太原市第二十中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A．

B．

C．

D．参考答案：C2.在n元数集S={a1，a2，…an}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．fs（4）=fs（5） B．fs（4）=fT（5）C．fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8） D．fs（2）+fs（3）=fT（4）参考答案：D【考点】子集与真子集．【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断．【解答】解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．则fS（1）==1，fS（2）==4，fS（3）=?=4，fS（4）==6，fS（5）=?=6，同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．则fT（1）==1，fT（2）==4，fT（3）=?=4，fT（4）==6，fT（5）=?=6，fT（8）==1，∴fS（4）=fS（5）=6，fS（4）=fT（5）=6，fS（1）+fS（4）=fT（5）+fT（8）=7．故选：D．3.的单调减区间为(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根所以当时，，有一根，当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知对任意的恒成立，所以解得．故选B．【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.5.已知向量={3，4}，=5，|﹣|=2，则||=(

) A．5 B．25 C．2 D．参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的运算性质即可得出．解答： 解：∵|﹣|=2，∴=20，∵向量={3，4}，=5，∴+﹣2×5=20，化为=5，则||=．故选：D．点评：本题考查了向量的数量积性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.执行下面的程序框图，如果输入a=1，b=1，则输出的S=（

）A．54

B．33

C.20

D．7参考答案：C执行程序框图，；；，结束循环，输出，故选C.

7.已知集合Ｒ是实数集，则 A．

B．

C． D．以上都不对参考答案：B8.已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣参考答案： D【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．9.已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=logax，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜loga5，即loga5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A10.已知最小正周期为2的函数在区间上的解析式是，则函数在实数集R上的图象与函数的图象的交点的个数是

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，BC=，∠A=60°，则△ABC周长的最大值．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得：====2，因此△ABC周长=a+b+c=+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin+，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得：====2，∴b=2sinB，c=2sinC，∴△ABC周长=a+b+c=+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin+=2sinB+2+=3sinB+cosB+=2+=2sin（B+30°）+，∵0°＜B＜120°，∴B+30°∈（30°，150°），∴sin（B+30°）∈．∴△ABC周长≤3．故答案为：3．12.根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果T为

；参考答案：10，算法完成两次循环，依次是x＝3，T＝3;x＝7，T＝10，即可输出．T的输出值为10．13.已知数列{an}前n项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn，则an=

．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】由题意可得，an+1=3Sn，an=3Sn﹣1（n≥2）可得，an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an即an+1=4an（n≥2），从而可得数列{an}为从第二项开始的等比数列，可求通项公式【解答】解：由题意可得，an+1=3Sn，an=3Sn﹣1（n≤2）两式相减可得，an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an∴an+1=4an（n≥2）∵a1=1，a2=3S1=3≠4a1数列{an}为从第二项开始的等比数列∴an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2），a1=1故答案为：【点评】本题主要考查了由等比数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意检验n=1时是否适合通项公式，以确定是写成一个通项还是分段的形式．14.已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝lnx；④f(x)＝cosx．其中对于f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是参考答案：②15.已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=

，cos2α=

．参考答案：,.【考点】二倍角的余弦．【分析】利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．【解答】解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值是_______．参考答案：因为，所以，当且仅当时取等号，因此，，，即周长的最大值是．17.已知是两个不同平面，是两条不同直线，下面四个命题：

（1）若，则。

（2）若，则。

（3）若，则。

（4）若，则。

其中正确命题的序号是

参考答案：答案:

（1）（2）（3）（4）

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx+．．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当a=2时，求出f′（x）的解析式，令f′（x）=0，求得x的值，再利用导数的符号确定函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由题意可得，f′（x）=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．由f′（x）=0求得根的值，可得a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=alnx+?x2﹣（1+a）x的定义域为（0，+∞），f′（x）=+x﹣（1+2）=令f′（x）=0，求得x=1，或x=2．在（0，1）、（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，则f′（x）=+x﹣1﹣a=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．由f′（x）=0求得x=1或x=a，∴1＜a＜2，故a的取值范围为（1，2）．【点评】本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，若向量，，且.（1）求角B；（2）若，且，求边a，c.参考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到，利用正弦定理可整理为，从而可求得，根据求得；（2）利用构造方程求得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1）

，又向量，，故由正弦定理得：又

又

（2）由（1）知

，即：，解得：在中，由余弦定理得：又，故，即：又，解得：或【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.20.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．

文科生理科生合计获奖5

不获奖

合计

200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）

文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．21.(本小题满分12分)已知椭圆和圆，A，B，F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点．⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为，求证：AP⊥OP；⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点．参考答案：

22.已知函数，.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；（2）试讨论函数在区间[1,+∞)上最大值；（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.参考答案：(1)6;(2)当时,,当时，;(3)见解析.试题分析：(1)求函数的导数，由求之即可；(2)，分当与分别讨论函数的单调性，求其最值即可；(3)由可得，即，设，则，即，故，用作差比较法证明即可.试题解析：（1）由，，由于函数在处的切线与直线平行，故，解得.（2），由时，；时，，所以①当时，在上单调递减，故在上的最大值为；②当，在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为；（3）