广西壮族自治区南宁市市江南区苏圩中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市江南区苏圩中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图像与函数的图像关于原点堆成，则A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出的y值为（

）A．

B．

C.

D．3参考答案：B3.将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D左移后的函数为，关于原点对称，则，所以，又，则。所以，所以。

4.设全集,集合，,则的值为A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8参考答案：D本题考查集合的运算。由题意知：，解得。选D。5.函数的图象大致是(

）参考答案：C6.函数的定义域是（） A． B． C． D．参考答案：B略7.读程序框图，若输入x=1，则输出的S=（） A．0 B． 1 C． 2 D． ﹣1参考答案：C8.（5分）已知向量、都是非零向量，“”是“∥”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：B【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由向量、都是非零向量，“”表示两向量同线，而“∥”表示两向量同向或反向，进而根据充要条件的定义，可得答案．解：即=1即向量、同向，此时“∥”一定成立而“∥”时，向量、同向或反向，此时，“”不一定成立故“”是“∥”的充分不必要条件故选B【点评】：本题又充要条件为载体考查了平向向量共线的定义，熟练掌握平面向量平行（共线）的概念并真正理解是解答本题的关键．9.设，则是偶函数的充分不必要条件是

(

)ABCD参考答案：D10.设集合，则（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列{an}的首项为a，公差为-4，其前n项和为Sn，若存在，使得，则实数a的最小值为

．参考答案：15由题意得，即，当且仅当时取等号，因为，又，所以实数的最小值为

12.已知函数,若曲线在点(,,,其中,,互不相等)处的切线互相平行,则的取值范围是

参考答案：（－1,2）13.若函数，则的值为______．参考答案：

考点：导数14.已知函数那么的值为

．参考答案：15.若a>l，设函数f（x）=ax+x－4的零点为m，函数g（x）=logax+x－4的零点为n，则的最小值为

。参考答案：略16.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是

.参考答案：17.已知函数f（x）=，则f（f（1/4））的值为．参考答案：9【考点】3T：函数的值．【分析】利用分段函数定义得f（）==﹣2，由此能求出f的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，则f（f（1/4））=f（﹣2）==9．故答案为：9．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=5，过DD1的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

参考答案：（Ⅰ）取中点,连则为所画正方形，（Ⅱ）由（Ⅰ）为正方形，又

平面把该长方体分成的两部分体积的比值为30：90=1：319.已知函数=+lnx

(1)若函数在[1，+)上为增函数，求正实数a的取值范围；

(2)当a=1时，求在[，2]上的最大值和最小值；

(3)当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn>+++…+.参考答案：解:(1)∵=+lnx,∴=(a>0)∵函数在[1,+∞)上为增函数,∴≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,∴ax一1≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,即a≥对任意的x∈[1,+∞)恒成立,而当x∈[1,+∞)时,()max=1,∴a≥1.

(2)当a=1时,=.当x∈[,1)时,<0,故在[,1)上单调递减;当x∈(1,2]时>O,故在(1,2]上单调递增∵在区间[,2]上有唯一极小值点,故min=极小值==0

又=l—ln2,=一+ln2,一=一2ln2=

∵e3>16,∴一>0,即>,

∴在区间[,2]上的最大值为=l—ln2.综上可知,函数在[,2]上的最大值是1一ln2,最小值是0

(3)当a=1时,=+lnx,=,故在[1,+∞)上为增函数.当n,l时,令x=,则x>1,故>=0ks5u

∴即>

∴,,,…,

∴+++…+>+++…+

∴lnn>+++…+,

即对大于1的任意正整数n,都有lnn>+++…+.

略20.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，＝，记数列的前项和.若对，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）（2）知识点：等比数列的通项公式；对数的运算性质；裂项求和；恒成立问题的等价转化；基本不等式的性质.解析：解：（1）当时，，当时，即：，数列为以2为公比的等比数列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝＝＝－，Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为思路点拨：（1）当时，解得．当时，，再利用等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用对数的运算性质可得，利用“裂项求和”即可得出：数列的前项和．由于对，恒成立，可得≤k(n＋4)，化为k≥，利用基本不等式的性质即可得出．21.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1﹣a解g'（x）=0，得x=ea﹣1，得出在区间（0，ea﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（ea﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当ea﹣1≤1，当1＜ea﹣1＜e，当ea﹣1≥e，从而得出g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…由f'（x）=0得，…所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…切线的斜率为lnx0+1，所以，，…解得x0=1，y0=0，…所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0．…（Ⅲ）g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣a，…解g'（x）=0，得x=ea﹣1，所以，在区间（0，ea﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（ea﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…当ea﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…当1＜ea﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea﹣1）=a﹣ea﹣1．…当ea﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e﹣ae．…综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣ea﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）求出过点A（0，﹣b）

和B（a，0）的直线，利用直线L与坐标原点的距离为，椭圆的离心率，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．【解答】解：（1）∵直线过点A（0，﹣b）和B（a，0），∴直线L：与坐标原点的距离为，∴=．①…∵椭圆的离心率e=，∴．②…由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2﹣c2）=3a2+3（a2﹣c2）③由②③得a2=3，c2=2∴b2=a2﹣c2=1∴所求椭圆的方程是+y2=1…（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可