2022-2023学年河南省南阳市卧龙区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中是一元一次方程的是()

A.B.

C.D.

2.已知是关于的方程的一个解，则的值是()

A.B.C.D.

3.下列等式变形正确的是()

A.由得B.由得

C.由得D.由得

4.解方程“去分母”后变形正确的是()

A.B.

C.D.

5.已知等式，用含的代数式表示正确的是()

A.B.C.D.

6.若，则下列式子中错误的是()

A.B.C.D.

7.解方程组，下列解法步骤中不正确的是()

A.由得B.由得

C.得D.得

8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()

A.B.

C.D.

9.已知代数式与是同类项，则，的值分别是()

A.B.C.D.

10.如果不等式的正整数解是，，，那么的取值范围是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.任意写出一个解为的二元一次方程组______．

12.已知是二元一次方程组的解，则的值是______．

13.关于，的方程组的解满足，则的取值范围是______．

14.已知四个不等式：，，，，从中取两个构成一个不等式组，要使该不等式组的整数解是，则应取的两个不等式是______只填写序号．

15.若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

解方程：．

17.本小题分

解方程组：．

18.本小题分

老师让同学们解不等式，小强的解答过程如下：

解：去分母，得，第一步；

去括号，得，第二步；

移项，得，第三步；

合并同类项，得，第四步；

系数化为，得第五步；

同桌小刚在帮助小强批改时发现有错误，就让小强自己找出错误出现在第几步，并说明错误的原因，然后重新做一遍，给出正确的解答过程请你仔细审看小强的解答过程，完成下面的两问：

小强的解题过程中出现错误的步骤分别是第______步；

小强重新做一遍后给出的正确解答过程是：

19.本小题分

解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

20.本小题分

为庆祝毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词周年，某中学举行了以“学习雷锋精神”为主题的知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错一题扣分，大赛组委会规定总得分不低于分获奖，小华有题没答，小华要想获奖，最多只能错多少道题？

21.本小题分

我国古代数学著作孙子算经中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余尺：将绳子三折再量木条，木条剩余尺问绳子、木条各长多少尺？”请你解答．

22.本小题分

已知关于，的二元一次方程组．

请直接写出方程的所有正整数解；

若方程组的解满足，求的值；

无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解．

23.本小题分

某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买，两种类型垃圾桶，用元可购进型垃圾桶个和型垃圾桶个，且购买个型垃圾桶的费用与购买个型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：

求出型垃圾桶和型垃圾桶的单价．

若社区欲用不超过元购进两种垃圾桶共个，其中型垃圾桶至少个，求有哪几种购买方案？

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查一元一次方程的概念，注意只含有一个未知数并且未知数的最高次数是的整式方程是一元一次方程．

根据一元一次方程的概念判断即可．

【解答】

解：、含有两个未知数，不是一元一次方程；

B、符合定义，是一元一次方程；

C、未知数最高次数是二次，不是一元一次方程；

D、分母含有未知数，不是整式方程．

故选：．

2.【答案】

【解析】解：根据题意将代入得：，

解得：．

故选：．

根据方程的解的定义，把方程中的未知数换成，再解关于的一元一次方程即可．

本题考查方程解的含义，方程的解，就是能使等式成立的未知数的值．

3.【答案】

【解析】解：、由得，选项A不符合题意；

B、由得，选项B不符合题意；

C、由得，选项C符合题意；

D、由得，选项D不符合题意．

故选：．

利用等式的性质判断即可．

本题考查的是等式的性质，熟知等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：方程两边同时乘以得：，

去括号得：．

故选：．

去分母的方法是方程两边同时乘各分母的最小公倍数，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．

本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是关键．

5.【答案】

【解析】解：由，得．

故选：．

根据等式的性质解决此题．

本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．

6.【答案】

【解析】解：，

，故本选项不符合题意；

B.，

，故本选项不符合题意；

C.，

，，

即，故本选项不符合题意；

D.，

，

即，故本选项符合题意；

故选：．

根据不等式的性质逐个判断即可．

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

7.【答案】

【解析】解：由得，选项A正确，不符合题意；

B.由得，选项B正确，不符合题意；

C.得，选项C正确，不符合题意；

D.得，选项D错误，符合题意；

故选：．

根据二元一次方程组的解法即可求解．

本题主要考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：该不等式组的解集为，

故选：．

先求出每个不等式的解集再求出其公共解集．

本题考查了不等式组解集表示．按照不等式的表示方法在数轴上表示如选项C所示，解答这类题时常常因表示解集时不注意数轴上圆圈和黑点所表示意义的区别而误选D．

9.【答案】

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于和的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值．

同类项定义中的两个“相同”：

所含字母相同；

相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．

【解答】

解：由同类项的定义，得

解得．

故选：．

10.【答案】

【解析】解：解不等式得到：，

正整数解为，，，

，

解得．

故选：．

先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解．

本题考查了一元一次不等式的整数解，根据的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质．

11.【答案】不唯一

【解析】解：由于，，

因此有，，

所以符合条件的方程组为，

故答案为：不唯一．

根据二元一次方程组解的定义进行解答即可．

本题考查二元一次方程组的定义以及二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是正确解答的关键．

12.【答案】

【解析】解：是二元一次方程组的解，

，

解得：，

．

故答案为：．

利用二元一次方程组解的意义将，值代入方程组，得到关于，的方程组，解方程组求得，值，代入代数式中化简运算即可．

本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：两方程相减可得，

，

，

解得，

故答案为：．

两方程相减可得，由知，解之即可得出答案．

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

14.【答案】

【解析】解：，

解得：，

组成的不等式组的解集为，其整数解不包括；

组成的不等式组的解集为，其整数解为；

组成的不等式组的解集为，无整数解；

组成的不等式组无解；

组成的不等式组无解；

组成的不等式组的解集为，其整数解不包括．

故答案为：．

根据不等式组的解法及整数解的定义将四个不等式分别组成不等式组进行计算即可解答．

本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解，熟记一元一次不等式组的解集规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解题关键．

15.【答案】或

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组所有整数解的和为，

不等式组的整数解为、或、、、、，

或，

解得或，

故答案为：或．

分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和得出具体的整数解的可能情况，再进一步得出关于的不等式组，解之即可．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解的和确定具体的整数解，并据此列出关于的不等式组是解题的关键．

16.【答案】解：，

，

，

，

．

【解析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，针对方程的特点，要灵活应用，由此即可求解．

本题考查解一元一次方程，关键是掌握解一元一次方程的一般步骤．

17.【答案】解：得：，

解得：，

把代入得：，

解得：，

则方程组的解为．

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

18.【答案】一、二、三、五

【解析】解：小强的解题过程中出现错误的步骤分别是第一、二、三、五步；

故答案为：一、二、三、五；

正确的解答过程：

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为，得．

根据小强的解题步骤找出错误的步骤即可；

根据解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为依次计算可得．

本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据是解题的关键．

19.【答案】解：解不等式得：，

解不等式得：，

则不等式组的解集为，

将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：设小华答错了道题，则答对了道题，

根据题意得：，

解得：，

又为非负整数，

的最大值为．

答：小华要想获奖，最多只能错道题．

【解析】设小华答错了道题，则答对了道题，利用总得分答对题目数答错题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

21.【答案】解：设绳子长尺，木条长尺，

依题意得：，

解得：．

答：绳子长尺，木条长尺．

【解析】设绳子长尺，木条长尺，根据“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余尺：将绳子三折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

22.【答案】解：由可得：，

为偶数，

为偶数，

为偶数，

，

，

或；

，

，

把代入得：

，

解得：，

，

把代入得：

，

解得：．

，

当时，，

固定解为：．

【解析】先判断出为偶数，再求出的取值范围，然后确定值；

求出与的解，然后代入，最后求出；

将含有的项提出，使其为求解．

本题主要考查了二元一次方程组的知识，有一定的难度，认真计算即可．

23.【答案】解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，

依题意得：，

解得：．

答：型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元．

设购进型垃圾桶个，则购进型垃圾桶个，

依题意得：，

解得：．

又为正整数，

可以取，，

该社区共有种购买方案，

方案：购进型垃圾桶个，型垃圾桶个；

方案：购进型垃圾桶个，型垃圾桶个．

【解析】设型垃圾桶的单价为元，型