【解析】2023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试（培优版）

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2023年浙教版数学九年级上册4.2平行线分线段成比例同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023·雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（）

A．4B．6C．8D．10

2．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方（即）.现连接并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为（）

A．B．C．D．

3．（2023·香坊模拟）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法错误的是（）

A．B．C．D．

4．（2023九上·长兴期末）在中，，点是边上的一动点，过点作交边于点，过点作交的延长线于点，分别以为对角线画矩形和矩形，则在从到的运动过程中，当矩形和矩形的面积和最小时，则的长度为（）

A．B．C．6D．

5．（2023九上·平阳月考）如图，在矩形中，，，平分，与对角线相交于点N，F是线段的中点，则为（）

A．B．C．D．

6．（2023·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（）

A．B．C．1D．

7．（2023九上·长沙期末）如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（）

A．B．C．D．

8．（2023九上·乐清期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（）

A．不变B．一直变大

C．先减小后增大D．先增大后减小

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）

A．B．13C．D．

10．（2023·凉山）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（）

A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2023·南开模拟）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为．

12．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为；的面积与的面积差为.

13．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为．

14．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为.

15．（2022·常德）如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是.

16．（2023九上·自贡期中）如图，在边长为正方形中，把边绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接并延长交于，连接，则⊿的面积为．

三、解答题（共8题，共66分）

17．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．

18．（2023·拱墅模拟）如图，在矩形ABCD中，AB（1）求证：DF=AB．

（2）连接BF，若BE=6，CE=3，求线段BF的长．

19．（2023·文成模拟）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.

（1）在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边，上，且与互相平分.

（2）在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边，上，且要求分为两部分.

20．（2023·亳州模拟）如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若，求线段的长．

21．（2023·淮阴模拟）如图，在中，，，，M是AB上的动点不与A、B重合，过点M作交AC于点N，以MN为直径作，并在内作内接矩形设.

（1）的面积，；用含x的代数式表示

（2）在动点M的运动过程中，设与四边形MNCB重合部分的面积为试求y关于x的函数表达式，并求出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

22．（2023·江西）课本再现

思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在中，对角线，垂足为．

求证：是菱形．

（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证：是菱形；

②延长至点，连接交于点，若，求的值．

23．（2023·荆州）已知：y关于x的函数．

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则a的值是；

（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（-2，0），B（4，0），并与动直线l：交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为，△CDE的面积为．

①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；

②探究直线l在运动过程中，－是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

24．（2023·遂宁）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；

（1）如图1，当时，求点的坐标；

（2）如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC=BA，DC∥BA，

∴，，

设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，

∴，

解得a=8，

∴GF=8，

故答案为：C

【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA，DC∥BA，进而根据平行线分线段成比例即可得到，，设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，根据题意即可列出方程，进而即可求解。

2．【答案】B

【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴，

∴CF=2BC，

设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，

∵DE是半圆O的直径，

∴DE=2OE=2（a+b），

∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，

∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，

∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，

∴4a2=a(a+2b），

∴b=，

∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，

∴S△OCF∶S矩形ABCD=.

故答案为：B.

【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.

3．【答案】C

【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：A．∵是的中位线，

∴，，，

∴，故A不符合题意；

B．∵，

∴点E为的中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，故B不符合题意；

C．∵M为的中点，

∴，

∵，

∴，故C符合题意；

D．∵，，

∴，故D不符合题意．

故答案为：C．

【分析】根据是的中位线，，再结合图形，对每个选项一一判断即可。

4．【答案】D

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：在中，，

，

设，则，

，

，即，

，

，

四边形和都是矩形，

，

四边形是平行四边形，

，

则

，

，

当时，有最小值，

，

，，

，

即当矩形和矩形的面积和最小时，则的长度为，

故答案为：D.

【分析】利用勾股定理可得AC的值，设CD=x，则AD=5-x，根据平行线分线段成比例的性质可得CE，然后表示出BE，易得三角形ABFD为平行四边形，则BF=AD=5-x，根据S阴影=S矩形CDGE+S矩形HEBF表示出S阴影，由二次函数的性质可得面积最小时对应的x的值，然后求出BE、BF的值，再利用勾股定理进行计算.

5．【答案】D

【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，

∵CE平分∠ACB，

∴EG=EB，

∴AE=AB-BE=3-EG

由CE=CE，

∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）

∴CB=CG，

∴CG=4，

∵，

∴AG=AC-CG=5-4=1，

在Rt△AEG中，，

则，

∴，

∴，

∴，

∵O和F分别是AC、CE的中点，

∴OF是△CAE的中位线，

∴且，

因为，

∴，

由矩形可知，，

∴，

解得：，

经检验，符合题意，

过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，

由，得：，

∴，

∴，

∴，

延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM=，

∴△CNO的面积.

故答案为：D.

【分析】作EG⊥AC于G，由角平分线的性质可得EG=EB，证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到CB=CG=4，由勾股定理求出AC，进而得到AG，在Rt△AEG中，应用勾股定理可得EG，进而求出BE、AE，易知OF是△CAE的中位线，得到OF∥AE，OF=AE，由矩形的性质可得BD=AC=5，由平行线分线段成比例的性质可得BN，过N分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，易得BM、CM的值，延长OF与BC交于点H，求出CM，据此求解.

6．【答案】A

【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：设，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

故答案为：A.

【分析】设，先证，再证，可得，由，可得，根据平行线分线段成比例可得，可得，，利用三角形的面积公式即可结论.

7．【答案】C

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点C在坐标平面内，BC=1，

∴C在半径为1的上，

如图所示，取，连接CD，

∵AM=CM，OD=OA，

∴OM为△ACD的中位线，

∴，

当OM最大时，即CD最大，

此时D，B，C三点共线，

∵，∠BOD=90°，

∴BD=2，

∴CD=2+1=3，

作CE⊥x轴于E点，

∵CE∥OB，

∴，即：，

∴，

∴，

∴，

∵M是AC的中点，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在BD的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标.

8．【答案】C

【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；平行线的性质；三角形的面积；平行线分线段成比例；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：连接MN，

∵AD∥BC

∴S△ABM＝S△NMA，

∴△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，

∴S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，

设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，k为常数

∴

所以S△AEM：S△AMN＝

∴S△AEM＝

同理S△DFM＝

令S＝S△AEM+S△DFM＝

＝,其分子为常数

令y＝（a+x）（a+b﹣x）=-x2+bx+a2+ab

它的对称轴为x＝,开口向下

当0＜x＜时，y随x的增大而增大，此时S随着x的增大而减小

所以S四边形MENF=随x的增大而增大

所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大

所以S阴影随x的增大而减小

当＜x＜b时，y随x的增大而减小，此时S随着x的增大而增大

所以S阴影随x的增大而增大

综上所述：S阴影先减小后增大

故答案为：C.

【分析】连接MN，根据平行线之间的距离处处相等可得:△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，从而得出S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，根据平行线分线段成比例得出各部分面积与x的函数关系式,再利用函数的增减性判断即可.

9．【答案】D

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

∴AC=BD===，

∵EF∥AC∥HG，∴，

∵EH∥BD∥FG，∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=．

故答案为：D.

【分析】先利用勾股定理求出AC和BD，然后由平行线截线段成比例分别列式，两式联立，得出∴EF+EH=AC，可知EF和EH的长度之和，于是根据平行四边形的性质可得四边形EFGH的周长.

10．【答案】B

【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：如图，过O作，交AC于G，

∵O是BD的中点，

∴G是DC的中点．

又，

设，又，

，

故答案为：B．

【分析】如图，过O作，交AC于G，根据平行线分线段成比例可得出AD：DC=1:2，从而可得AD=DG=GC，AG：GC=2:1，AO：OE=2:1，由△AOB与△BOE同高，可得S△AOB：S△BOE=AO：OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE：FC的比.

11．【答案】

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：过C点作于H点，如图所示：

∵四边形为正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，

∵C为的中点，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

解得：，负值舍去，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【分析】过C点作于H点，证明，可得，易得，根据平行线分线段成比例可得，从而求出，由勾股定理可得，据此求出，即得，易求=45°，根据等角对等边即可求解.

12．【答案】-4；1

【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：设，，则，

∵的面积为，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

把代入，得；

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

故答案为：-4；1.

【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝bc，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c，），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．

13．【答案】

【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如图：

∵大正方形与小正方形的面积之比为5，

∴＝，

∴AD＝EM，

设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，

由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，

∴b2+（a+b）2＝（a）2，

∴2b2+2ab﹣4a2＝0，

（b﹣a）（b+2a）＝0，

∵b+2a≠0，

∴b﹣a＝0，

∴b＝a，

∴AE＝DM＝a，

如图，延长BF交CD于N，

∵BN∥DE，CF＝FM，

∴DN＝CN，

∴EN＝DM＝a，

∵PN∥BG，

∴，

设PN＝x，则BG＝4x，

∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，

∴△BFG≌△DEP（AAS），

∴PD＝BG＝4x，

同理得：EG＝FP，

∴DN＝3x＝CN，

∴PC＝2x，

∵CP∥BG，

∴，即，

∴PH＝PG＝，

∵，

∴EF＝a＝GP＝，

∴a＝，

∴AD＝a＝．

故答案为：.

【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝DM＝a，根据平行线分线段成比例的性质可得，，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，

EF＝a＝GP，据此求出a的值，进而可得AD.

14．【答案】10

【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，

根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

又，，

，

，

，

四边形AECF是平行四边形，

∵MN垂直平分AC，

，

四边形AECF是菱形，

，，

，

，

∴E为BC的中点，

中，，，

，

，

四边形AECF的周长为.

故答案为：.

【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.

15．【答案】12

【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，

，，，，

，

，

令，则，

，

，

，

，

，

设，

，

，

，

求出，

.

故答案为：12.

【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，由已知条件得CE=3BE，AD=2BD，令AM=x，则CM=3x，AC=4x，AN=x，CN=x，MN=x，则，，结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64，S△NMF∶S△MEC=25∶81，设S△NMF=25a，则S△NAD=64a，S△MEC=81a，S四边形FECN=56a，S△ABC=2+120a，结合就可求出a的值，进而可得S△ABC.

16．【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；平行线分线段成比例；旋转的性质

【解析】【解答】解：由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，

作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，

则BG=GC，AB∥MG∥CD，

∴AM=MN，

∵MH⊥CD，∠D=90°，

∴MH∥AD，

∴NH=HD，

由题意得，∠MCD=30°，

∴，

∴，

∴，

∴△MNC的面积，

故答案为：．

【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，利用旋转的性质易证△BMC是等边三角形，得MC=BC=a，利用等边三角形三线合一的性质可证得BG=CG，AB∥MG∥CD，根据平行线分线段成比例定理得AM=MN，NH=DH，根据角的和差得∠MCD=30°，利用勾股定理表示出MH，DH的长；再根据CN=CH-NH，可表示出CN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△NMC的面积.

17．【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD=S△DEC=x，S△ACE=x+4x=x，又因为E是AB中点，所以S△ACE=S△ABC=20，∴x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE=x=8，∴SAEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。

18．【答案】（1）证明：因为在矩形ABCD中，AD∥BC，

所以∠DAF＝∠AEB．

因为DF⊥AE，

所以∠DFA＝∠B＝90°．

由题意得，AD＝AE，

所以△ADF≌△EAB，

所以DF＝AB．

（2）解：因为在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC，

所以AD＝6＋3＝9．

所以AE＝AD＝9，

所以

因为△ADF≌△EAB，

所以AF＝BE＝6，

所以FE＝3．

作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，

所以，

所以GE＝2，BG＝4，

所以，

所以

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAF＝∠AEB，利用垂直的定义证明∠DFA＝∠ABE=90°，利用AAS可证得△ADF≌△EAB，利用全等三角形的性质可证得结论.

（2）利用已知可求出AD，AE的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用全等三角形的性质可得到AF的长，即可求出EF的长；作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，利用平行线分线段成比例定理可求出GE，BG的长；然后利用勾股定理先求出FG的长，然后求出BF的长.

19．【答案】（1）解：如图1或图2，即为所求.

如图1：根据勾股定理可得：，

∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴与互相平分.

如图2：根据勾股定理可得：，，

∴四边形为平行四边形，

∴与互相平分.

（2）解：如图∶

∵，

∴点G、H、为EI的三等分点，

∵，

∴点J、K为EF的三点等分点，

过EF的三等分点画出MN即可.

如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.

【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例

【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；

（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得点J、K为EF的三点等分点，过EF的三等分点画出MN即可.

20．【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴点A、C、G、E四点共圆，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例

【解析】【分析】（1）先求出，再求出，最后证明求解即可；

（2）根据题意先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。

21．【答案】（1）；

（2）解：当点M为线段AB中点时，点P落在线段BC上，

分及两种情况考虑.

当时，如图1所示.

，

，

当时，y取最大值，最大值为1；

当时，如图2所示.

，则，，

，

，

，

.

，

当x取时，y取最大值，最大值为.

综上所述：y关于x的函数表达式为，

当时，y的值最大，最大值为.

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，，

.

，

，即.

，

，，

.

四边形AMPN为矩形，

.

故答案为；

【分析】（1）在中由勾股定理求出BC，由平行线分线段成比例可得，据此求出，，从而得出，根据矩形的性质可得；

（2）分及两种情况考虑，据此分别画图，求出y关于x函数关系式，再利用二次函数的性质分别求解，再比较即可.

22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵

∴，

在中，

∴

∴，

同理可得，则，

又∵

∴

∴四边形是菱形；

（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．

∴

在中，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

∴四边形是菱形；

②∵四边形是菱形；

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图所示，过点作交于点，

∴，

∴，

∴．

【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；

（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G，可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。

23．【答案】（1）0或2或

（2）解：①如图，设直线l与BC交于点F.依题意得：

，解得：

抛物线的解析式为：y=.

可知P(1，9)，C(0，8).

由B(4，0)，C(0，8)得直线BC的解析式为

F(1，6），则PF=9-6=3

②－存在最大值，理由如下：

如图，设直线交轴于H.

由①得：OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，

PH=由OD//PH得：，

即

OD=

，

=

-3<0，0<m<4当时，有最大值，最大值为.

【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；平行线分线段成比例；一次函数图象与坐标轴交点问题

【解析】【解答】解：（1）①当a-2=0，即a=2时，y=3x+，此时函数图象与坐标轴有两个交点，满足题意；

②当a-2≠0时，

∵图象与坐标轴有两个公共点，

∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况.

当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，将（0，0）代入可得b=0，此时a=4b=0，y=-2x2+x，

令y=0，得x=0或，

∴图象与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）.

当抛物线与x轴有1个交点，与y轴有1个交点时，△=(a+1)2-4(a-2)×a=0，解得a=-，

∴y=-x2+x-，

令y=0，得x1=x2=

令x=0，得y=-，

∴与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，-）.

综上可得：a的值为2或0或-.

【分析】（1）①当a-2=0，即a=2时，y=3x+，此时函数图象与坐标轴有两个交点，满足题意；②当a-2≠0时，由题意可得抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况，当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，将（0，0）代入可得a、b的值；当抛物线与x轴有1个交点，与y轴有1个交点时，根据△=(a+1)2-4(a-2)×a=0可得a的值，据此解答；

（2）①设直线l与BC交于点E，利用待定系数法可得抛物线以及直线BC的解析式，然后求出F的坐标，得到PF的值，再根据三角形的面积公式进行计算；

②设直线x=m交x轴于H，由①得OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P（m，-m2+2m+8），则PH=-m2+2m+8，根据平行线分线段成比例的性质可得OD=8-2m，根据面积间的和差关系以及三角形的面积公式可得S1-S2=-3(m-)2+，然后由二次函数的性质进行求解.

24．【答案】（1）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，

设，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

解得：或，

∵其中点在抛物线对称轴的左侧．

∴，

∴，

设直线的解析式为，

∴，

解得：，

∴直线的解析式为，

联立，

解得：或，

∴；

（2）解：依题意，点恰好在轴上，则，

设直线的解析式为，

将代入得，

解得：，

∴直线的解析式为，

设，设直线的解析式为，

则，

∴直线的解析式为，

联立，

解得：，

∴，

∴

，

∴当时，取得最大值为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行线分线段成比例；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【分析】（1）过点作对称轴的垂线，垂足为，设，则，先根据平行线分线段成比例得到，再结合点C的坐标即可求出m的值，进而即可得到点M的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线BM的解析式，进而联立即可求解；

（2）先根据题意运用待定系数法求一次函数即可得到直线QB的解析式，设，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线OP的解析式，进而即可得到，再根据题意即可求解。

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2023年浙教版数学九年级上册4.2平行线分线段成比例同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023·雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（）

A．4B．6C．8D．10

【答案】C

【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC=BA，DC∥BA，

∴，，

设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，

∴，

解得a=8，

∴GF=8，

故答案为：C

【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA，DC∥BA，进而根据平行线分线段成比例即可得到，，设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，根据题意即可列出方程，进而即可求解。

2．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方（即）.现连接并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴，

∴CF=2BC，

设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，

∵DE是半圆O的直径，

∴DE=2OE=2（a+b），

∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，

∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，

∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，

∴4a2=a(a+2b），

∴b=，

∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，

∴S△OCF∶S矩形ABCD=.

故答案为：B.

【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.

3．（2023·香坊模拟）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法错误的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：A．∵是的中位线，

∴，，，

∴，故A不符合题意；

B．∵，

∴点E为的中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，故B不符合题意；

C．∵M为的中点，

∴，

∵，

∴，故C符合题意；

D．∵，，

∴，故D不符合题意．

故答案为：C．

【分析】根据是的中位线，，再结合图形，对每个选项一一判断即可。

4．（2023九上·长兴期末）在中，，点是边上的一动点，过点作交边于点，过点作交的延长线于点，分别以为对角线画矩形和矩形，则在从到的运动过程中，当矩形和矩形的面积和最小时，则的长度为（）

A．B．C．6D．

【答案】D

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：在中，，

，

设，则，

，

，即，

，

，

四边形和都是矩形，

，

四边形是平行四边形，

，

则

，

，

当时，有最小值，

，

，，

，

即当矩形和矩形的面积和最小时，则的长度为，

故答案为：D.

【分析】利用勾股定理可得AC的值，设CD=x，则AD=5-x，根据平行线分线段成比例的性质可得CE，然后表示出BE，易得三角形ABFD为平行四边形，则BF=AD=5-x，根据S阴影=S矩形CDGE+S矩形HEBF表示出S阴影，由二次函数的性质可得面积最小时对应的x的值，然后求出BE、BF的值，再利用勾股定理进行计算.

5．（2023九上·平阳月考）如图，在矩形中，，，平分，与对角线相交于点N，F是线段的中点，则为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，

∵CE平分∠ACB，

∴EG=EB，

∴AE=AB-BE=3-EG

由CE=CE，

∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）

∴CB=CG，

∴CG=4，

∵，

∴AG=AC-CG=5-4=1，

在Rt△AEG中，，

则，

∴，

∴，

∴，

∵O和F分别是AC、CE的中点，

∴OF是△CAE的中位线，

∴且，

因为，

∴，

由矩形可知，，

∴，

解得：，

经检验，符合题意，

过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，

由，得：，

∴，

∴，

∴，

延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM=，

∴△CNO的面积.

故答案为：D.

【分析】作EG⊥AC于G，由角平分线的性质可得EG=EB，证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到CB=CG=4，由勾股定理求出AC，进而得到AG，在Rt△AEG中，应用勾股定理可得EG，进而求出BE、AE，易知OF是△CAE的中位线，得到OF∥AE，OF=AE，由矩形的性质可得BD=AC=5，由平行线分线段成比例的性质可得BN，过N分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，易得BM、CM的值，延长OF与BC交于点H，求出CM，据此求解.

6．（2023·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（）

A．B．C．1D．

【答案】A

【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：设，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

故答案为：A.

【分析】设，先证，再证，可得，由，可得，根据平行线分线段成比例可得，可得，，利用三角形的面积公式即可结论.

7．（2023九上·长沙期末）如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点C在坐标平面内，BC=1，

∴C在半径为1的上，

如图所示，取，连接CD，

∵AM=CM，OD=OA，

∴OM为△ACD的中位线，

∴，

当OM最大时，即CD最大，

此时D，B，C三点共线，

∵，∠BOD=90°，

∴BD=2，

∴CD=2+1=3，

作CE⊥x轴于E点，

∵CE∥OB，

∴，即：，

∴，

∴，

∴，

∵M是AC的中点，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在BD的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标.

8．（2023九上·乐清期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（）

A．不变B．一直变大

C．先减小后增大D．先增大后减小

【答案】C

【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；平行线的性质；三角形的面积；平行线分线段成比例；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：连接MN，

∵AD∥BC

∴S△ABM＝S△NMA，

∴△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，

∴S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，

设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，k为常数

∴

所以S△AEM：S△AMN＝

∴S△AEM＝

同理S△DFM＝

令S＝S△AEM+S△DFM＝

＝,其分子为常数

令y＝（a+x）（a+b﹣x）=-x2+bx+a2+ab

它的对称轴为x＝,开口向下

当0＜x＜时，y随x的增大而增大，此时S随着x的增大而减小

所以S四边形MENF=随x的增大而增大

所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大

所以S阴影随x的增大而减小

当＜x＜b时，y随x的增大而减小，此时S随着x的增大而增大

所以S阴影随x的增大而增大

综上所述：S阴影先减小后增大

故答案为：C.

【分析】连接MN，根据平行线之间的距离处处相等可得:△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，从而得出S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，根据平行线分线段成比例得出各部分面积与x的函数关系式,再利用函数的增减性判断即可.

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）

A．B．13C．D．

【答案】D

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

∴AC=BD===，

∵EF∥AC∥HG，∴，

∵EH∥BD∥FG，∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=．

故答案为：D.

【分析】先利用勾股定理求出AC和BD，然后由平行线截线段成比例分别列式，两式联立，得出∴EF+EH=AC，可知EF和EH的长度之和，于是根据平行四边形的性质可得四边形EFGH的周长.

10．（2023·凉山）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（）

A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3

【答案】B

【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：如图，过O作，交AC于G，

∵O是BD的中点，

∴G是DC的中点．

又，

设，又，

，

故答案为：B．

【分析】如图，过O作，交AC于G，根据平行线分线段成比例可得出AD：DC=1:2，从而可得AD=DG=GC，AG：GC=2:1，AO：OE=2:1，由△AOB与△BOE同高，可得S△AOB：S△BOE=AO：OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE：FC的比.

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2023·南开模拟）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为．

【答案】

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：过C点作于H点，如图所示：

∵四边形为正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，

∵C为的中点，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

解得：，负值舍去，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【分析】过C点作于H点，证明，可得，易得，根据平行线分线段成比例可得，从而求出，由勾股定理可得，据此求出，即得，易求=45°，根据等角对等边即可求解.

12．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为；的面积与的面积差为.

【答案】-4；1

【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：设，，则，

∵的面积为，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

把代入，得；

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

故答案为：-4；1.

【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝bc，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c，），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．

13．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为．

【答案】

【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如图：

∵大正方形与小正方形的面积之比为5，

∴＝，

∴AD＝EM，

设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，

由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，

∴b2+（a+b）2＝（a）2，

∴2b2+2ab﹣4a2＝0，

（b﹣a）（b+2a）＝0，

∵b+2a≠0，

∴b﹣a＝0，

∴b＝a，

∴AE＝DM＝a，

如图，延长BF交CD于N，

∵BN∥DE，CF＝FM，

∴DN＝CN，

∴EN＝DM＝a，

∵PN∥BG，

∴，

设PN＝x，则BG＝4x，

∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，

∴△BFG≌△DEP（AAS），

∴PD＝BG＝4x，

同理得：EG＝FP，

∴DN＝3x＝CN，

∴PC＝2x，

∵CP∥BG，

∴，即，

∴PH＝PG＝，

∵，

∴EF＝a＝GP＝，

∴a＝，

∴AD＝a＝．

故答案为：.

【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝DM＝a，根据平行线分线段成比例的性质可得，，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，

EF＝a＝GP，据此求出a的值，进而可得AD.

14．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为.

【答案】10

【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，

根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

又，，

，

，

，

四边形AECF是平行四边形，

∵MN垂直平分AC，

，

四边形AECF是菱形，

，，

，

，

∴E为BC的中点，

中，，，

，

，

四边形AECF的周长为.

故答案为：.

【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.

15．（2022·常德）如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是.

【答案】12

【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，

，，，，

，

，

令，则，

，

，

，

，

，

设，

，

，

，

求出，

.

故答案为：12.

【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，由已知条件得CE=3BE，AD=2BD，令AM=x，则CM=3x，AC=4x，AN=x，CN=x，MN=x，则，，结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64，S△NMF∶S△MEC=25∶81，设S△NMF=25a，则S△NAD=64a，S△MEC=81a，S四边形FECN=56a，S△ABC=2+120a，结合就可求出a的值，进而可得S△ABC.

16．（2023九上·自贡期中）如图，在边长为正方形中，把边绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接并延长交于，连接，则⊿的面积为．

【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；平行线分线段成比例；旋转的性质

【解析】【解答】解：由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，

作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，

则BG=GC，AB∥MG∥CD，

∴AM=MN，

∵MH⊥CD，∠D=90°，

∴MH∥AD，

∴NH=HD，

由题意得，∠MCD=30°，

∴，

∴，

∴，

∴△MNC的面积，

故答案为：．

【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，利用旋转的性质易证△BMC是等边三角形，得MC=BC=a，利用等边三角形三线合一的性质可证得BG=CG，AB∥MG∥CD，根据平行线分线段成比例定理得AM=MN，NH=DH，根据角的和差得∠MCD=30°，利用勾股定理表示出MH，DH的长；再根据CN=CH-NH，可表示出CN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△NMC的面积.

三、解答题（共8题，共66分）

17．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．

【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD=S△DEC=x，S△ACE=x+4x=x，又因为E是AB中点，所以S△ACE=S△ABC=20，∴x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE=x=8，∴SAEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。

18．（2023·拱墅模拟）如图，在矩形ABCD中，AB（1）求证：DF=AB．

（2）连接BF，若BE=6，CE=3，求线段BF的长．

【答案】（1）证明：因为在矩形ABCD中，AD∥BC，

所以∠DAF＝∠AEB．

因为DF⊥AE，

所以∠DFA＝∠B＝90°．

由题意得，AD＝AE，

所以△ADF≌△EAB，

所以DF＝AB．

（2）解：因为在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC，

所以AD＝6＋3＝9．

所以AE＝AD＝9，

所以

因为△ADF≌△EAB，

所以AF＝BE＝6，

所以FE＝3．

作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，

所以，

所以GE＝2，BG＝4，

所以，

所以

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAF＝∠AEB，利用垂直的定义证明∠DFA＝∠ABE=90°，利用AAS可证得△ADF≌△EAB，利用全等三角形的性质可证得结论.

（2）利用已知可求出AD，AE的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用全等三角形的性质可得到AF的长，即可求出EF的长；作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，利用平行线分线段成比例定理可求出GE，BG的长；然后利用勾股定理先求出FG的长，然后求出BF的长.

19．（2023·文成模拟）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.

（1）在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边，上，且与互相平分.

（2）在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边，上，且要求分为两部分.

【答案】（1）解：如图1或图2，即为所求.

如图1：根据勾股定理可得：，

∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴与互相平分.

如图2：根据勾股定理可得：，，

∴四边形为平行四边形，

∴与互相平分.

（2）解：如图∶

∵，

∴点G、H、为EI的三等分点，

∵，

∴点J、K为EF的三点等分点，

过EF的三等分点画出MN即可.

如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.

【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例

【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；

（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得点J、K为EF的三点等分点，过EF的三等分点画出MN即可.

20．（2023·亳州模拟）如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若，求线段的长．

【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴点A、C、G、E四点共圆，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例

【解析】【分析】（1）先求出，再求出，最后证明求解即可；

（2）根据题意先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。

21．（2023·淮阴模拟）如图，在中，，，，M是AB上的动点不与A、B重合，过点M作交AC于点N，以MN为直径作，并在内作内接矩形设.

（1）的面积，；用含x的代数式表示

（2）在动点M的运动过程中，设与四边形MNCB重合部分的面积为试求y关于x的函数表达式，并求出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

【答案】（1）；

（2）解：当点M为线段AB中点时，点P落在线段BC上，

分及两种情况考虑.

当时，如图1所示.

，

，

当时，y取最大值，最大值为1；

当时，如图2所示.

，则，，

，

，

，

.

，

当x取时，y取最大值，最大值为.

综上所述：y关于x的函数表达式为，

当时，y的值最大，最大值为.

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，，

.

，

，即.

，

，，

.

四边形AMPN为矩形，

.

故答案为；

【分析】（1）在中由勾股定理求出BC，由平行线分线段成比例可得，据此求出，，从而得出，根据矩形的性质可得；

（2）分及两种情况考虑，据此分别画图，求出y关于x函数关系式，再利用二次函数的性质分别求解，再比较即可.

22．（2023·江西）课本再现

思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画