《2二次函数表达式的确定》教学

21.2.6二次函数表达式的确定义务教育教科书（沪科）九年级数学上册复习导入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（解析式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）新知探究一般式法求二次函数的表达式一探究归纳问题1

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15新知探究解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）三点代入y=ax2+bx+c，得选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，

c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写表达式）新知探究例1:已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式.一般式法解：设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，由已知函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，得a-b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7，解得a=2，b=-3，c=5.∴所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.新知探究例2:已知关于x的二次函数,当x=0时,y=－1;当x=－2时,y=0;当x=时,y=0,求这个二次函数的表达式.由题意得：解：设所求的二次函数为,2cbxaxy++=解得∴所求二次函数的表达式为

新知探究这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.一般式法求二次函数表达式的方法新知探究

解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1，x2为交点的横坐标)，得

y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，

解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的表达式.交点式法求二次函数的表达式二xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512新知探究交点式法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点式法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入，得到关于a的一元一次方程；③将第三个点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.新知探究顶点式法求二次函数的表达式三

选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k，把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k，得

y=a(x+2)2+1，

再把点（1，-8）代入上式，得

a(1+2)2+1=-8，

解得a=-1，∴所求二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1，即y=-x2-4x-3.新知探究例3：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3），求二次函数的表达式.解：∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又∵抛物线过点（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1∴y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3.顶点式新知探究顶点式法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.新知探究想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行y轴.新知探究想一想

直接观察上面表格，你能猜想出当x=-6时，该二次函数对应的函数值是多少？x-3-2-1012y010-3-8-15-15新知探究

利用二次函数图象的对称性，即由表格信息可知，抛物线的对称轴是直线x=-2,横坐标为2和-6的两点必定是该抛物线上的一对对称点，故可知x=-6与x=2的函数值必定相等.xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-5-5-6-6-71y=-x2-4x-3新知探究二次函数与一次函数的综合四解：如图所示.例4：抛物线与直线交于B,C两点.（1）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；xyO42-1-2-3-1216486BC新知探究解：由（2）记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积；xyOA2-1-2-3-1216486BC得点A的坐标为（4,0）解方程组得B（2,2）,C（7,4.5）新知探究xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点分别作x轴垂线，垂足为B1,C2,则C11、

如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA新知探究随堂小测1.如图，在平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是

.

注

y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4-221-1345随堂小测2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+6随堂小测3.

已知抛物线的对称轴是过点（3，0）的直线，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A

，C的坐标分别为(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的表达式．解：∵抛物线的对称轴是过（3,0）的直线，∴设该抛物线的表达式为y=a（x-3）2+b.

又∵A，C点的坐标分别为（8,0）、（0，4），∴{

解得0=a(8-3)2+b,4=a(0-3)2+