2022-2023学年福建省宁德市高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省宁德市高二（下）期中数学试卷（A卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数f′(x0)=a，则A.2a B.−2a C.12.已知向量a=(1,t,2)，A.−2 B.2 C.−4 3.已知平面α的一个法向量为(2,−1,7)，平面β的一个法向量为(1A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合4.函数f(x)的导函数f′(x)A.x=12为函数f(x)的零点 B.函数f(x)在(12,25.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=A.25

B.26

C.6.若函数f(x)=13x3A.a>1 B.a<1 C.7.已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2)A.233 B.8338.已知函数f(x)=lnA.(0,+∞) B.(0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列求导运算正确的是(

)A.(ln5)′=15

10.已知空间中三个向量AB=(2,1,0A.AB与AC是共线向量

B.与AB同向的单位向量是(255,55,011.已知函数f(x)=A.f(x)在(π6,5π6)单调递减 B.f(x)12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为B1A.存在点P，使得D1P⊥AD1

B.过三点A、M、D1的正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为98三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=ex+2在点P14.与a=(2,−1,215.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1

16.设定义在R上的函数f(x)满足f(2)=2，f′四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(1,0,2)，b=(−1,m,−m)，且18.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2x3−9x2+12x+1．19.(本小题12.0分)

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E在线段C20.(本小题12.0分)

为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(万元)与lnx10成正比(其中x(台)表示产量)，并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)与产量x(台)的函数关系为p(x)=−x100+10x+5150(万元)(其中x≥10).记当年销售该产品x台获得的利润(利润=21.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB//CD，∠BCD=60°，AB=2BC=2CD=4，22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=aln(x−1)−x+1，h(x)=−x答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由题意可得d→0limf(x0+d)2.【答案】D

【解析】解：若a//b，则b=λa(a≠0)．

因为向量a=(1,t,2)，b=(2,−2,s)3.【答案】B

【解析】解：记平面α的一个法向量为n=(2,−1,7)，平面β的一个法向量为m=(1,9,1)，

所以m⋅n=2×4.【答案】B

【解析】解：由y=f′(x)的图象可知，当x>2或−2<x<12时，f′(x)>0，

当12<x<2或x<−2时，f′(x)<0，

所以f5.【答案】A

【解析】解：由AE=AB+BC+CE，两边平方得：

(AE)2=(AB+6.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=13x3−x2+ax，f′(x)=x2−2x+a，

若f(x7.【答案】B

【解析】解：由题意得BA=(2,2,4)，BC=(−2,−2,4)，

故cosB=8.【答案】C

【解析】解：已知f(x)=lnx−ax2，函数定义域为(0,+∞)，

若函数f(x)有两个零点，

此时lnx−ax2=0有两根，

此时a=lnxx2，

不妨设g(x)=lnxx2，函数定义域为(0,+∞)，

可得g′(x)=19.【答案】BD【解析】解：对于A，(ln5)′=0，故A不正确；

对于B，(lnx+3x)′=1x−3x2，故B正确；

对于C，(s10.【答案】BC【解析】解：A：若AB与AC共线，存在λ∈R使AB=λAC，则2=−λ1=2λ0=λ无解，故不共线，错误；

B：与AB同向的单位向量是AB|AB|=(25,15,0)=(255,55,0)，正确；

C：由cos〈11.【答案】AC【解析】解：由题意得f′(x)=−sinx+12，

对于A：当x∈(π6,5π6)时，f′(x)=−sinx+12∈(−12,0]，故f′(x)<0，即f(x)在(π6,5π6)单调递减，故A正确；

对于B：当x∈(2π3,2π)时，sinx∈12.【答案】BC【解析】解：对于A，因为D1C2⊥AD1，又D1P与D1C2共面，若D1P⊥AD1，则D1C2//D1P，显然矛盾；

对于B，由题意可得过三点A、M、D1的正方体ABCD−A1B1C1D1的截面是一个腰为52，上底为22，下底为2的等腰梯形，易得其高为324，面积为(22+2)×324×12=98，B正确；

对于13.【答案】解：y′=ex，x=0时，y′=1，

切线斜率为1，又倾斜角范围是[0【解析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．

本题主要考查了导数的几何意义，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

14.【答案】(−【解析】解：由题意，

∵a与b共线，

∴可设b=λa，

∴a⋅b=a⋅λb=λ⋅a2=λ⋅|a|2=λ15.【答案】15【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(116.【答案】(−【解析】解：令g(x)=f(x)−x，则g′(x)=f′(x)−1，

∵f′(x)<1，即f′(x)−1<0，

∴g′(x)<0，即g(x17.【答案】解：(1)a+b=(1,0,2)+(−1,m,−m)=(0,m,2【解析】(1)由向量的模长公式求解即可；

(2)求出ka+18.【答案】解：(1)∵f(x)=6x2−18x+12，

∴k=f′(0)=12，

又f(0)=1，切点为(0,1)，

切线方程为：y−1=12(x−0)即y=12x+1．

(2)因为f【解析】(1)根据导数的几何意义，求出斜率，利用点斜式求出切线方程即可；

(2)根据导数判断单调性，求出极值，进而求出函数y=f19.【答案】(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，

以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(【解析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答；

(2)20.【答案】解：(1)依题设：c(x)=klnx10，

当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：

0.7=kln2010，可得：k=1，∴c(x)=lnx10；

∴f(x)=p(x)x−c(x)−10=(−x100+【解析】(1)依题设：c(x)=klnx10，由条件当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.721.【答案】解：(1)∵∠BCD=60°，BC=CD=2，∴△BCD为等边三角形，

∴AB=2BD=4，

又四边形ABCD为梯形，AB//DC，则∠ABD=60°，

根据余弦定理可知，

在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcos∠ABD=42+22−2×4×2×12=12，

根据勾股定理可知，AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，

∵AD⊥PB，PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，

∴AD⊥平面PBD，

又∵AD⊂平面ABCD，

∴平面PBD⊥平面ABCD．

(2)∵O为BD中点，PB=PD，∴【解析】(1)根据题意，在△ABD中，由余弦定理求得AD2=12，得到AD2+BD2=AB2，证得AD⊥BD，再由AD⊥PB，证得AD⊥平面PBD，即可证得平面PBD⊥平面22.【答案】解：(1)根据题意可得x∈(1,+∞)，

f′(x)=ax−1−1=−[x−(a+1)]x−1，

当a+1≤1时，即a≤0时，f(