2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学试卷

2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学

试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.（4分）已知圆锥的底面半径为1,高为相，则该圆锥的侧面展开图的圆心角e的大小

为.

2.（4分）从装有红、黑两种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，写出这个随机试验

的样本空间.

3.（4分）若圆柱的底面半径是1,母线长为2,则这个圆柱的体积是.

4.（4分）两个球的体积之比为8：27,那么这两个球的表面积的比为.

5.（4分）甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为0.5,甲不输的概率为0.8,则甲、乙两人下

成和棋的概率为.

6.（4分）若正方体ABCD-A\B\C\D\的棱长为1,则异面直线AB与。向之间的距离

为.

7.（5分）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.

8.（5分）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径.若平面

SCAJ_平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积

为.

9.（5分）已知NACB=90°,尸为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,BC

的距离均为“，那么P到平面ABC的距离为.

10.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCO-AIBICIDI中，E、F、G分别为AB、BC、

的中点.点P在底面ABCQ内，若直线。iP与平面EFG无公共点，则线段。1P的

最小值为.

11.（5分）已知圆锥的顶点为S,母线S4,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若

△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为

12.（5分）如图，四边形为四面体48CO的一个截面，若四边形EFG”为平行四边

形，AB=4,CD=6,则四边形EFGH的周长的取值范围是

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项.考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.（5分）在长方体ABCD-A\B\C\D\中，AB=BC=\,则异面直线AD\与

。助所成角的余弦值为（）

A.AB.在C.SD,返

5652

14.（5分）如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱

的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

15.（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫

猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素

数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A.-LB.。C.-LD.-L

12141518

16.（5分）已知四棱锥S-4BC。的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不

含端点）.设SE与8c所成的角为印，SE与平面ABC。所成的角为。2，二面角S-A8

-C的平面角为必，则（）

A.01^02^03B.03^02^01C.01^03^02D.02^03^01

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的

步骤.

17.（14分）抛掷3枚硬币，用”、T分别表示正面与反面.求:

（1）这个随机试验的样本空间；

（2）至少出现两个反面的概率；

（3）至少出现一个正面的概率.

18.（14分）如图，在长方体ABC。-中，T为。。i上一点，已知£>4=2,AB=4,

BC=2,M=6.

（1）求直线TC与平面ABC。所成角的大小（用反三角函数值表示）;

（2）求点Ci到平面47c的距离.

19.（14分）如图1,在三棱柱ABC-4Bi。中，己知ABJ_AC,AB=AC=\,AA\=2,且

平面ABC,过Ai，Ci，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥

（如图2）.

（1）求异面直线8。与441所成角的大小（结果用反三角函数表示）;

（2）求四棱锥8-ACGAi的体积和表面积.

20.（16分）如图，在四棱锥P-ABC。中，相_L平面ABC£>,底面ABC。为菱形，E为CD

的中点.

（I）求证：平面PAC；

（II）若/ABC=60°,求证：平面力B_L平面PAE-,

（III）棱P8上是否存在点F，使得CF〃平面以E?说明理由.

D

21.（18分）（1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知、求证、证明过程

并画图）；

（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；

（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）.

2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.（4分）已知圆锥的底面半径为1,高为如,则该圆锥的侧面展开图的圆心角。的大小为

TC_.

【分析】首先求出圆锥的母线长，进一步利用弧长公式求出结果.

【解答】解：圆锥的底面半径为1,高为F，则圆锥的母线长为/=2=2,

圆锥的侧面展开面的弧长为2X8=257,解得。=TT.

故答案为：n.

【点评】本题考查的知识要点：圆锥的侧面展开面和弧长的关系，主要考查学生的运算

能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

2.（4分）从装有红、黑两种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，写出这个随机试验

的样本空间C=f红，黑）.

【分析】根据题意列举出基本事件即可得到样本空间.

【解答】解：随机试验的样本空间Q=｛红，黑｝,

故答案为：。=（红，黑｝.

【点评】本题考查了随机事件的基本事件，属于易做题.

3.（4分）若圆柱的底面半径是1,母线长为2,则这个圆柱的体积是.

【分析】根据圆柱的体积公式求解即可.

【解答】解：因为圆柱的底面半径是1,母线长为2,

所以圆柱的体积为V=7tXl2X2=2TT.

故答案为：2n.

【点评】本题考查了空间几何体的理解与应用，圆柱的体积公式的应用，属于基础题.

4.（4分）两个球的体积之比为8：27,那么这两个球的表面积的比为4：9.

【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面

积的比.

【解答】解：设两个球的半径分别为，，R,由两个球的体积之比为8：27,

得到凡7?3=8：27,所以r：R=2：3,那么这两个球的表面积的比为/：/?2=4：9：

故答案为：4：9.

【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键.

5.（4分）甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为0.5,甲不输的概率为0.8,则甲、乙两人下

成和棋的概率为0.3.

【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解.

【解答】解：甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为0.5,甲不输的概率为0.8,

则甲、乙两人下成和棋的概率为P=0.8-0.5=0.3.

故答案为：0.3.

【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

6.（4分）若正方体ABCO-481C15的棱长为1,则异面直线AB与之间的距离为

1.

【分析】寻找异面直线AB与。81的公垂线段是B出即可.

【解答】解：因为A8CO-4BICIDI是正方体，所以8|8J_平面AiBiCQi,

又因为BQiu平面AIBICIOI，所以BIBLBIOI，

所以BiB是AB与BiDi的公垂直线段，

所以异面直线4B与。Ri之间的距离为8/=1.

【点评】本题考查了正方体的基本特征，考查了异面直线距离问题，属于基础题.

7.（5分）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_2_.

【分析】先求出基本事件总数”=5X5=25,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大

于第二张卡片上的数包含的基本事件(加，〃)有10个，由此能求出抽得的第一张卡片上

的数大于第二张卡片上的数的概率.

【解答】解：从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，

放回后再随机抽取1张，

基本事件总数"=5X5=25,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件(胆，〃)有10个，分别

为：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,I),(4,2),(4,3),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为p=29=2.

255

故答案为：2.

5

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求出能力，

考查函数与方程思想，是基础题.

8.(5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径.若平面

SCAL平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为

361r.

【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积.

【解答】解：三棱锥S-A8C的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径，若平面

SCAL平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r,

可得^XrXr=9,解得r=3.

O

球0的表面积为：47TJ=3671.

故答案为：36n.

【点评】本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能

力以及计算能力.

9.（5分）已知NACB=90°,尸为平面ABC外一点，PC=2,点P到乙4cB两边4C,HC

的距离均为那么P到平面ABC的距离为_

【分析】过点P作PQ_LAC,交AC于。，作PE_LBC,交BC于E,过P作PO_L平面

ABC,交平面ABC于0,连结。。，0C,则尸£>=PE=“，从而CD=CE=0D=0E=

业穴我产1,由此能求出P到平面ABC的距离.

【解答】解：NACB=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,

点P到NACB两边AC,BC的距离均为

过点P作P£>_LAC,交AC于。，作PE_L8C,交BC于E,

过P作尸。J_平面ABC,交平面ABC于0,

连结0£>,0C,贝I]PD=PE=正，

由题意得CD—CE=0D=0E-21'

尸0=,/口2-0D2=J3T

到平面ABC的距离为加.

故答案为：V2.

【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

10.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABC。-AIBICIDI中，E、尸、G分别为A8、BC、

Ci。的中点.点尸在底面A8CD内，若直线。1P与平面EFG无公共点，则线段。尸的

最小值为_遍_.

【分析】根据题意，连结DiA,AC,D\C,分析可得EF〃平面ACQi，EG〃平面AC。，

从而平面EFG〃平面4C5，推导出点尸在直线4c上，在△AC。中，分析可得当£>铲

LAC时，线段。1P的长度最小，并能求出最小值.

【解答】解：根据题意，如图，连结GA,AC,D\C,

,:E,F,G分别为AB,BC,的中点，

：.AC//EF,EFC平面ACOi，ACu平面ACDi,

广〃平面ACOi,

'：EG//AD\,EGC平面ACDi,ADiu平面AC。1，

；.EG〃平面AC。”

\"EFDEG=E,二平面EFG〃平面AC。，

；。铲〃平面EFG,

点尸在直线AC上，在△ACQi中，AOI=AC=C£>I=A/^R=2近，

SAADIC=.lx2A/2X2A/2Xsin60°=2«,

当力IPL4C时，线段。1P的长度最小，最小值为〒

万X2后

故答案为：

DiG

【点评】本题考查空间点到直线距离的计算，涉及平面与平面平行的性质，属于中档题.

11.（5分）已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3互相垂直，S4与圆锥底面所成角为30°.若

△SA8的面积为8,则该圆锥的体积为8n.

【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高.然后求解体

积即可.

2

【解答】解：圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，△SA8的面积为8,可得：1SA=8,

解得SA=4,

SA与圆锥底面所成角为30°.可得圆锥的底面半径为：2«,圆锥的高为：2,

则该圆锥的体积为：丫=工xnx（2V3）2x2~8TT-

故答案为：8n.

【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及

计算能力.

12.（5分）如图，四边形EFG”为四面体ABC。的一个截面，若四边形ER7H为平行四边

形，AB=4,CD=6,则四边形EFG”的周长的取值范围是（8,12）.

【分析】设所=x（0<x<4）,由四边形ErGH为平行四边形，得四=三，推导出FG

CB4

=6-3”,从而四边形EFGH的周长l=2（x+6-3丫）=12-x,由此能求出四边形EFGH

周长的取值范围.

【解答】解：设E/=x（0<x<4）,

•••四边形EFGH为平行四边形，

•四=三

"CBT

则FG=BF=BC-CF=।,三，

'6BCBC4

从而FG=6-

2

四边形EFG”的周长/=2（x+6-3y）=\2-x,

2x

又0<x<4,则有8</<12,

二四边形EFGH周长的取值范围是（8,12）.

故答案为：（8,12）.

【点评】本题考查四边形周长的取值范围的求法，考查四面体的结构特征等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项.考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.（5分）在长方体ABC。-A1B1C1O1中，AB=BC=1,/L4i=«,则异面直线AD\与

所成角的余弦值为（）

A.AB.返C.在D.返

5652

【分析】以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，05为z轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法能求出异面直线AD\与DBi所成角的余弦值.

【解答】解：以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，£>£>i为z轴，建立空间直角坐标系，

•.•在长方体ABC。-AiBiCiQi中，AB=BC=1,

441=正，

，A（1,0,0）,£>i（0,0,b），D（0,0,0）,

B\（1,1,弧）,

ADj=（-1,0,“）,DB；=（1,1，虫），

设异面直线AD\与DB\所成角为6,

,|AD7•函|9五

|ADi!"iDBt|2V55

.•.异面直线A/力与DB\所成角的余弦值为退■.

5

故选：C.

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

14.（5分）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱

的中点，则在这四个正方体中，直线48与平面MNQ不平行的是（）

【分析】利用线面平行判定定理可知8、C、。均不满足题意，从而可得答案.

【解答】解：对于选项&由于AB〃闻Q,结合线面平行判定定理可知8不满足题意；

对于选项C,由于结合线面平行判定定理可知C不满足题意；

对于选项D,由于AB//NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意；

所以选项A满足题意，

故选：A.

【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关

键，注意解题方法的积累，属于中档题.

15.（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫

猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素

数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A.A.B.-LC.AD.-L

12141518

【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即

可.

【解答】解：在不超过30的素数中有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,

从中选2个不同的数有%=45种，

和等于30的有（7,23）,（11,19）,（13,17）,共3种，

则对应的概率「=父_=上，

4515

故选：C.

【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键.

16.（5分）已知四棱锥S-ABC。的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段A8上的点（不

含端点）.设SE与8C所成的角为日,SE与平面ABCO所成的角为。2，二面角S-A8

-C的平面角为。3,则（）

A.&WO2WO3B.03^02^91C.01^03^02D.02^03^01

【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出

三个角的大小.

【解答】解：•.•由题意可知S在底面ABC。的射影为正方形ABC3的中心.

过E作EF//BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ONLEF交EF于N,

连接SM

取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,

则&=NSEM82=NSEO,Qi=ZSMO.

显然，61，02，。3均为锐角.

Vtan0i=③tan”地，SNNSO,

NEON0M

又sin03=-^-,sin02=-^.,SE,SM,

'SMSE

.,.03^02.

故选：D.

【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题.

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的

步骤.

17.(14分)抛掷3枚硬币，用”、T分别表示正面与反面.求：

(1)这个随机试验的样本空间；

(2)至少出现两个反面的概率；

(3)至少出现一个正面的概率.

【分析】(1)利用列举法能求出这个随机试验的样本空间.

(2)利用列举法求出至少出现两个反面的包含的基本事件有4个，由此能激出至少出现

两个反面的概率.

(3)利用列举法求出至少出现一个正面包含的基本事件有7个，由此能求出至少出现一

个正面的概率.

【解答】解：(1)抛掷3枚硬币，用4、T分别表示正面与反面，

这个随机试验的样本空间为：

。={(H,H,H),(H,H,7),(H,T,H),(T,H,H),(”，T,T),(7,H,7),

(T,T,H),(T,T,T)}.

(2)这个随机试验的样本空间为：

。={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),

(T,T,H),(T,T,T)},含有8个基本事件，

至少出现两个反面的包含的基本事件有(”，T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,

T),共4个，

...至少出现两个反面的概率p=❷=上.

82

(3)至少出现一个正面包含的基本事件有：

(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,

T,H),共7个，

至少出现一个正面的概率P=—.

8

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

18.(14分)如图,在长方体ABCD-AiBiCiDi中，T为DDi上一点,已知。4=2,AB=4,

BC=2,AA\=6.

(1)求直线7C与平面4BC。所成角的大小(用反三角函数值表示);

(2)求点Ci到平面4TC的距离.

【分析】(1)法一：根据线面垂直，求出线面角为/TCD,结合直角三角形的性质，求

出夹角的大小即可；

法二：求出平面48CD的法向量，根据向量的坐标，求出线面角的大小即可；

(2)求出平面AiTC的一个法向量，结合向量的运算，求出点到面的距离即可.

【解答】解：(1)法一：如图示：

在长方体ABC。-AiBiCiDi中，

J_平面A8CZ),即7D_L平面ABCD,

故直线TC与平面A8CD所成的角即为NTCZ),

在RtZXTCD中，由。7=2,CD=AB=4,可得tan/TCO=PL,

CD

显然，NTCDe(0,工)，故NTCD=arctan」，

22

故直线TC与平面ABCD所成的角的大小是arctanA；

2

法二：以。为原点，DA,DC,分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，如图示：

"：DT=2,AB=4,BC=2,A4i=6,

AA(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),T(0,0,2),

TC=(0,4,-2),平面ABC。的一个法向量三=(0,0,1),

设直线TC与平面A8C。所成角的大小为0,

贝！IsinQ——L.^*n।—=-==?=即sin0=2Z^,

ITCI-InIV42+(-2)2-155

由。曰0,-2—],故e=arcsinY^,

25_

故直线TC与平面ABCD所成角的大小为arcsinYG,

(2)由Ci(0,4,6),4(2,0,6),T(0,0,2),C(0,4,0),

故互7=(-2,0,-4),CT=(0,-4,2),第f=(0,-4,-4),

设平面4TC的一个法向量为7=(x，y，z),

由口得户不=。即产-4=。,故产5

mlCTlm-CT=01~4y+2=01z=2y

取白(-4,1,2),

故点0到平面海的距离为中"（T二黑安）X2L零，

即点C1到平面A\TC的距离为士里.

7

【点评】本题考查了线面角问题，考查点到面的距离，考查向量的坐标运算以及数形结

合思想，是一道中档题.

19.（14分）如图1,在三棱柱ABC-A18C1中，已知A8_LAC,AB=AC=1,A4|=2,且

A4i_L平面ABC,过4,Ci，8三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥

（如图2）.

（1）求异面直线8。与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥3-ACCiAi的体积和表面积.

【分析】（1）由棱柱的结构特征可得A4i〃CCi，即为异面直线BG与A41所

成角，证明CCi，平面ABC,再由己知求解三角形得答案；

（2）直接由棱锥体积公式求四棱锥B-ACCiA\的体积，再由三角形面积公式及矩形面

积公式求四棱锥B-ACC\A\的表面积.

【解答】解:⑴••,A4i〃CG，.../BCiC即为异面直线BG与A41所成角，

_L平面ABC,CCi-L平面4BC,

：.ZCiCB=90°.

CB=VAB2+AC2=Vl+i=V2,CC1=2，

,tan/CiCB，得/CiC3=arctan2!^,

即异面直线BC\与AA\所成角的大小为arctanYQ；

2

⑵坦对向二界皿？等

S=S+S+S+S

^ABAZABAA1ABA1C1CAA1C1

=yXlXl+yXlX2+yX!XV^-kyXV^X2+lX2

...四棱锥8-ACC14的体积为三，表面积为

3

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查多面体的体积与表面积的求法，考查空

间想象能力与运算求解能力，是中档题.

20.(16分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，B4_L平面A8C£),底面A8c。为菱形，E为CD

的中点.

(I)求证：平面PAC；

(II)若NABC=60°,求证：平面平面PAE；

(III)棱PB上是否存在点凡使得CF〃平面B4E?说明理由.

【分析】(I)推导出办，BDLAC,由此能证明8。，平面布C.

(II)推导出AB_LAE,PALAE,从而AE_L平面用