八年级上册勾股定理练习题及答案

八年级上册勾股定理练习题及答案2.该题存在格式错误，无法解答。3.直角三角形的斜边长为13，可以使用勾股定理计算得出。提示：13是5和12的平方和的平方根。4.旗杆在断裂之前的高度为20m，可以使用相似三角形的性质计算得出。提示：相似三角形的对应边成比例。5.树折断之前的高度为5m，可以使用勾股定理计算得出。提示：根据勾股定理，树的高度为3-4-5三角形的倍数。6.飞机每小时飞行速度为360km/h，可以使用速度的公式计算得出。提示：速度=路程÷时间。7.蜘蛛所走的最短路线长度为18cm，可以使用最短路径的性质计算得出。提示：最短路径为两点之间的直线距离。8.该题存在格式错误，无法解答。9.AB的长为5cm，可以使用勾股定理和相似三角形的性质计算得出。提示：相似三角形的对应边成比例。10.牧童所走的最短路程为15km，可以使用勾股定理和最短路径的性质计算得出。提示：最短路径为两点之间的直线距离。11.铺完楼道至少需要234元钱，可以使用面积和价格的乘积计算得出。提示：面积=长×宽。12.甲、乙二人相距107.6km，可以使用勾股定理和距离的公式计算得出。提示：距离=√(x²+y²)。根据勾股定理，已知AC=22，AB+BC+AC=2222，可得AB+BC=2222-AC=2222-22=2200。在直角三角形CBD中，也根据勾股定理，可得CD=13，而CD=BC+BD=25+12=37，所以BC=37-12=25。因此，AB=2200-BC=2200-25=2175。9.解：如图所示，延长BC、AD交于点E。因为∠B=90°，∠A=60°，所以∠E=30°。又因为CD=3，所以CE=6，BE=8。设AB=x，则AE=2x。根据勾股定理，可得(2x)2+62=x2，化简得x=4。因此，AB=4，AE=8，BE=8+4=12。10.如图所示，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B并交MN于点P，则可得A′B为最短路线。在Rt△A′DB中，根据勾股定理，可得A′B=17km。11.解：根据勾股定理，可得水平长为132-52=12m，BC2=AB2+AC2=162+122=202，所以BC=20m。因此，旗杆在断裂之前有32m高。12.解：如图所示，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12。乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5。在Rt△OAB中，根据勾股定理，可得AB=13。因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米。由于15＞13，所以甲、乙两人还能保持联系。在直角三角形ABC中，根据勾股定理，有AB²+BC²=AC²。勾股定理的逆定理（2）是：若在三角形中，某一边的平方等于另外两边平方和，则这个三角形是直角三角形。一、选择题1.选C。提示：当三边之一为0或三边不满足三角形不等式时，不能构成三角形。2.选B。提示：当三边之一大于等于另外两边之和时，不能构成三角形；当三个内角比不为1∶2∶1时，不是直角三角形。3.选C。提示：根据勾股定理，第三边长为√(6²-2²)=√32=4√2，故选C。4.选A。提示：两个直角三角形的斜边相等，可以组成一个正方形，故选A。二、填空题5.最大内角的度数为90°，因为25²=7²+24²。6.三角形的面积为54，根据海伦公式，s=(9+12+15)/2=18，面积为√(18×9×6×3)=54。7.此三角形为等腰直角三角形，因为a+b=10，ab=18，解得a=2，b=8，c=√(2²+8²)=2√17，满足勾股定理。8.高为11cm，根据海伦公式，s=(12+5+13)/2=15，面积为√(15×3×10×2)=30，根据三角形面积公式，h=2S/b=60/13=11.54（保留两位小数）。三、解答题9.四边形ABCD的面积为30，根据勾股定理，BD=5，AC=12，四边形面积为(AD+BC)×BD/2=30。10.△AEF是等腰直角三角形，因为AE=AF=4，EF=√(AE²-AF²)=√(4²-2²)=2√3，同时∠EAF=90°。11.树高AB为8m，设CD=x，根据勾股定理，AD=√(AB²-CD²)=√(100-x²)，BC=√(x²-64)，由于两猴子所经路程都是15m，因此有√(100-x²)+√(x²-64)+x=15，解得x=3，AB=√(100-9)=√91≈9.54（保留两位小数）。12.凿通隧道需要14天，根据正弦定理，sin40°=AC/AB，因此AC=AB×sin40°≈3.21（保留两位小数），凿通隧道需要AB/0.3≈16.67天，因此需要14天。1.选项B，三边长的平方之比为1∶2∶3的三角形不一定是直角三角形。2.是直角三角形。因为∠D=120°，而直角三角形的直角角度为90°，所以不是直角三角形。AB的长为10cm。3.AB的长为2。4.这段文章有明显的格式问题和段落缺失，无法进行修改。建议重新编辑后再次提交。5.根据题目要求，零件中的∠A与∠BDC都应为直角。根据勾股定理，可以得到AD^2+BD^2=AB^2，BC^2+CD^2=BD^2。代入已知数值，可以算出AD=4，AB=3，BD=5，DC=12，BC=13。因此，可以计算出∠A为90°，但是∠BDC并不是直角，因此该零件不符合要求。6.根据勾股定理，可以得到a^2+b^2=c^2。代入已知数值，可以得到k=2。因此，三边分别为3，4，5，符合勾股定理的条件，因此△ABC是直角三角形。7.根据勾股定理，可以得到a^2+b^2=c^2。因此，2a^2+2b^2=2c^2。根据相似三角形的性质，可以得到△A1B1C1是△ABC的放大2倍的结果，因此也是直角三角形。8.根据已知条件，可以得到CD=√(AD*BD)。因此，可以得到△ACD和△BCD相似。根据相似三角形的性质，可以得到AC/AB=CD/BC。代入已知数值，可以得到AC^2+BC^2=AB^2，因此△ABC是直角三角形。9.根据坐标系中两点之间的距离公式，可以得到AB=√((2-3)^2+(4-1)^2)=√10。因此，可以得到OA^2+OB^2=AB^2，因此△OAB是直角三角形。10.根据已知条件，可以得到a^2+b^2+c^2=10a+24b+26c-338。根据勾股定理，可以得到a^2+b^2=c^2。代入已知条件，可以得到c^2+2c(12-a)-338=0。解方程可以得到c=13或c=-26。因此，该题无解。12.根据已知条件，可以得到四边形ABCD是梯形。根据梯形的性质，可以得到AB平行于CD，AD和BC不平行。因此，可以将四边形ABCD分成两个△ABD和△BCD。根据海伦公式，可以计算出△ABD和△BCD的面积，然后相加即可得到四边形ABCD的面积。具体计算过程略。思路分析：要判断△A1B1C1是否为直角三角形，需要根据勾股定理的逆定理判断其三边是否符合条件。解：根据勾股定理，Rt△ABC中有a²+b²=c²，即c为最长边。因此，2c为△A1B1C1的最长边。又因为2a<2c，2b<2c，所以2c为三边中最长的一条，且符合勾股定理的逆定理。因此，可以得出结论：△A1B1C1是直角三角形。8.已知在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD²=AD·BD。要证明△ABC是直角三角形。证明思路为判断三边是否符合勾股定理的逆定理。证明过程：由题意可知，AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²，因此AC²+BC²=AD²+2CD²+BD²=AD²+2AD·BD+BD²=(AD+BD)²=AB²。所以，△ABC是直角三角形。9.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4）。要判断△OAB是否是直角三角形。可以借助网格，利用勾股定理计算OA、AB、OB的长度，然后利用勾股定理的逆定理判断△OAB的形状。解答过程：根据勾股定理，OA²=OA₁²+A₁A₂²=3²+1²=10，OB²=OB₁²+B₁B₂²=2²+4²=20，AB²=AC²+BC²=1²+3²=10。因此，OA²+AB²=OB²，说明△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形。10.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴。要判断△ABC的形状。解题过程中，需要注意到a有可能等于b这一条件，否则得出的结论不全面。解答过程：将a²c²-b²c²=a⁴-b⁴移项得到c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²)，因此c²=a²+b²或c²=a²-b²。如果a=b，则△ABC是等腰三角形；否则，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。11.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c。要判断△ABC的形状。可以移项并配成三个完全平方，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。解答过程：将a²+b²+c²+338=10a+24b+26c移项得到a²-10a+b²-24b+c²-26c=-338，配成完全平方得到(a-5)²+(b-12)²+(c-13)²=0。因为平方数非负，所以a=5，b=12，c=13。根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。5.观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……(1)填空：132=56+__(2)规律：在等式左边的数为完全平方数，右边的两个数相邻且和为等式左边的数的下一个正整数。(3)结合勾股定理有关知识，说明结论的正确性：根据勾股定理，满足a²+b²=c²的三个正整数a、b、c构成一个直角三角形的三条边，其中c为斜边，a、b为直角边。而等式左边为完全平方数，说明它是一个直角三角形的斜边的平方，右边的两个数相邻且和为等式左边的数的下一个正整数，说明它们是直角三角形的两个直角边的长度，且它们相邻，符合勾股定理中直角三角形两直角边长度的关系。因此，该规律符合勾股定理的要求，结论正确。6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=6，AC=8，求AB、CD的长。解：根据勾股定理，有：AB²=AC²-BC²=8²-6²=64-36=28所以，AB=√28=2√7由于CD⊥AB，所以△ACD与△ABC相似，即有：CD/AC=AB/BC所以，CD=AC×AB/BC=8×2√7/6=4/3√77.在数轴上画出表示17的点。答案略。8.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积。解：根据海伦公式，有：s=√[p(p-AB)(p-BC)(p-CD)(p-AD)]其中，p为半周长，有p=(AB+BC+CD+AD)/2=32/2=16代入公式，得：s=√[16(16-4)(16-3)(16-12)(16-13)]=√[16×12×13×1×3]=24√13所以，四边形ABCD的面积为24√13平方单位。9.如图，每个小方格的边长都为1。求图中格点四边形ABCD的面积。解：格点四边形ABCD可以分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：其中，矩形的长为5，宽为3，面积为15；两个直角三角形的面积分别为1/2和1/2，合起来为1。因此，格点四边形ABCD的面积为15+1=16平方单位。4、小明在广场上走了一段路程，先向东走10米，然后向南走40米，接着向西走20米，再向南走40米，最后向东走70米。现在要求小明到达的终止点与原出发点的距离。答案：小明到达的终止点与原出发点的距离为70米。8、已知四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。答案：四边形ABCD的面积为36cm²。9、在△ABC中，AB=AC。（1）点P为BC上的中点，证明AB－AP=PB·PC；（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系。答案：（1）因为P是BC的中点