2022年山东省烟台市栖霞庙后镇中学高三数学理期末试题含解析

2022年山东省烟台市栖霞庙后镇中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则等于（

）A．2 B． C．32 D．参考答案：D2.复数的虚部是（

）..

.

.

.参考答案：B3.已知集合A={x|y=}，集合B={x|x≥2}，A∩B=（）A．[0，3] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|y=}={x|3﹣x≥0}={x|x≤3}，集合B={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x≤3}=[2，3]．故选：B．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．4.已知点A（0,1），B（3,2），向量=（-7，-4）,则向量=(

)A.（-4，-3）

B.（10,5）

C.（-1,4）

D.（3，4）参考答案：A5.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（） A．2 B． 4 C． 6 D． 8参考答案：D略6.圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝或(x＋1)2＋(y－1)2＝2参考答案：C7.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（

）A．90，86

B．94，82

C.98，78

D．102，74参考答案：C执行程序：,故输出的分别为

8.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（

）A.1个

B.4个

C.7个

D.8个参考答案：C.9.设集合A=，

则(▲)

A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：D【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读右面的程序框图，则输出的=

．

参考答案：3012.已知函数为常数A＞0，＞0）在闭区间[]上的图象如图所示，则

.

参考答案：3略13.某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B就行;小张说：B，C，D，E都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行;小刘说：除了E之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为______________．参考答案：D小赵可以看的电影的集合为，小张可以看的电影的集合为，小李可以看的电影的集合为小刘可以看的电影的集合为，这四个集合的交集中只有元素D，故填D．14.曲线y=x3在点（1，1）切线方程为___________________．参考答案：15.已知定义在实数集上的奇函数始终满足，且当时，，则等于

．参考答案：16.已知圆的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为,则直线截圆所得的弦长是

.参考答案：略17.等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．参考答案：15考点：等差数列的前n项和．

专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质求出a4的值，再求出公差d的值，利用等差数列的前n项和公式求出S3的值．解答：解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d==3，所以S3==3×2+9=15，故答案为：15．点评：本题考查等差数列的前n项和公式、性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）某校有教职工人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类）的调查，其结果如图：（Ⅰ）随机抽取一人，是35岁以下的概率为，求的值；（Ⅱ）从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位是研究生的概率．参考答案：（Ⅰ）由已知得：，解得

故，即

（Ⅱ）将50岁以上的6人进行编号：四位本科生为：1,2,3,4，两位研究生为5,6。从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件，分别为：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56]其中恰好有一位研究生的有8种，分别为：15，16，25，26，35，36，45，46故所求的概率为：19.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．参考答案：考点：基本不等式；函数的定义域及其求法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本小题满分10分）已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于、两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．参考答案：21.（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.参考答案：(Ⅰ)解：由得，

∴曲线的直角坐标方程为.

…………………2分

由，得，……………3分

化简得，，

…………………4分

∴.

∴直线的直角坐标方程为.

…………………5分(Ⅱ)解法1：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为，…6分

点到直线的距离为

…………7分

.…………………8分

当时，.…………………9分

∴点到直线的距离的最大值为.

…………………10分

解法2：设与直线平行的直线的方程为，

由消去得，

………6分

令，

…………………7分

解得.

…………………8分

∴直线的方程为，即.

∴两条平行直线与之间的距离为.………9分∴点到直线的距离的最大值为.

…………………10分22.．设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零.记为所有这样的数表组成的集合.对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表，求的值；

（2）设数表形如

求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.参考答案：解：（1）由题意可知，，，，∴（6分）（2）先用反证法证明：若，则，∴同理可知，∴，由题目所有数和为，即（2分）∴，与题目条件矛盾，∴．（2分）易知当时，存在，∴的最大值为1。（2分）（3）的最大值为.（2分）首先构造满足的：，.经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表，使得.（2分）由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故