2022年广东省梅州市梅江中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2022年广东省梅州市梅江中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（）A． B．C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}参考答案：A【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0易解出其解集．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0即﹣1+2=﹣（﹣1）×2=解得a=﹣1，b=1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0解得故选A．2.已知椭圆C的方程为，如果直线与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为A.

B.2

C.

D.参考答案：C3.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为A. B.C. D.参考答案：A【分析】由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.4.复数z满足(1+2i)z=4+ai(a∈R，i是虚数单位)，若复数z的实部与虚部相等则a等于

A．12

B．4

C．

D．l2参考答案：D略5.将2名教师和4名学生分成2个小组，分别安排到甲乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案由（）种A

12

B

10

C9

D8参考答案：A略6.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．34+6 B．6+6+4 C．6+6+4 D．17+6参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6++=34+6，故选A．7.设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1

B．

C．

D．参考答案：D9.下列各组函数表示同一函数的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C10.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（

）A．

B．C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在△ABC中，,,，则

。参考答案：12.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.参考答案：13.已知点P（﹣1，1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为．参考答案：y=﹣3x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】代入P的坐标，求得a=2，再求f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：点P（﹣1，1）在曲线上，可得a﹣1=1，即a=2，函数f（x）=的导数为f′（x）=，曲线在点P处的切线斜率为k=﹣3，则曲线在点P处的切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即为y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．14.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的系数为

（用数字作答）.参考答案：－12615.已知数列{an}满足递推关系式an+1=3an+3n﹣8（n∈N+），且{}为等差数列，则λ的值是

．参考答案：﹣4【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意和等差数列的定义得：，把递推公式代入化简后由整体思想求出λ的值．【解答】解：因为{}为等差数列，所以，d为常数，因为an+1=3an+3n﹣8（n∈N+），所以，则左边===为常数，则﹣8﹣2λ=0，解得λ=﹣4，故答案为：﹣4．16.设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则=

。参考答案：17.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有

盏灯．参考答案：195【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯．故答案为：195．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数(为自然对数的底数)，（）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：（Ⅰ）证明：设，所以．当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均有．即，所以．（Ⅱ）当时，．用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知；②假设当（）时，对任意均有，令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，，即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有,即对任意，有，这就是说，当时，对任意，也有．由①,②知，当时，都有．（Ⅲ）证明1：先证对任意正整数，．由（Ⅱ）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当时，成立，所以不等式（*）成立．②假设当（）时，不等式（*）成立，即．则．

,这说明当时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因为，，……，，将以上个不等式相乘，得．所以对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．19.计算，写出算法的程序.参考答案：s=1n=2i=1WHILE

i＜=63

s=s+n∧i

i=i+1

WEND

PRINT

“1+2+2∧2+2∧3+…+2∧63=”；s

END无20.（本小题满分9分）在数列中，，，.（Ⅰ）计算，，的值，（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.参考答案：解：（Ⅰ）由已知可得，，，.……3分（Ⅱ）猜想.…………4分

证明：①当时，由已知，左边，右边，猜想成立.

………………6分

②假设当时猜想成立，即.………7分

则时，.

所以当时，猜想也成立.

根据①和②，可知猜想对于任何都成立.………………9分21.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|?|OQ|的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得a，b，c，即可得椭圆C的标准方程可．（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=||．同理得：|OQ|=||．故|OP|?|OQ|=||?||=||即可．【解答】解：（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的标准方程：．（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，又∵点M是椭圆C的右顶点，∴M（2，0），AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=||．同理得：|OQ|=||．故|OP|?|OQ|=||?||=||即．而（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=．y1y2=k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=．所以|OP|?|OQ|=3【点评】本题考查了椭圆的方程，及椭圆与直线的位置关系，属于中档题．22.若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；

(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

参考答案：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得可知y1+y2=－2m

y1y2=2c

∴x1+x2=2m2—2c

x1x2=c