2022-2023学年四川省成都市青羊区重点学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年四川省成都市青羊区重点学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32分）1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A.保健食品 B.绿色食品

C.有机食品 D.速冻食品2.下列因式分解正确的是(

)A.a2−4ab+4b2=(a−2b)2 B.3.如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(

)

A.AD=BC，∠B=∠D B.AD//BC，AB=CD

C.AB=CD，AD=BC D.AB/​/CD，∠A=∠B4.已知实数a和b，若a<b，则下列结论中，不一定成立的是(

)A.−3a>−3b B.am2<bm2 5.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长为(

)A.4

B.5

C.6

D.76.要使分式4x−3有意义，x应满足的条件是(

)A.x>3 B.x=3 C.x<3 D.x≠37.如果把分式x+yxy中的x、y同时扩大2倍，那么该分式的值(

)A.扩大到原来的2倍 B.缩小为原来的12 C.不变 D.缩小为原来的8.树德实验八年级某学生在记背完100个单词后，采用了新的记忆方法，记忆效率提升了20%，这样记忆同样多的单词就少用512小时，若设采用新的记忆方法之前每小时记忆x个单词，则可列方程为(

)A.100x−1100(1−20%)x=512 B.二、填空题（本大题共5小题，共20分）9.若x2+3x+a=(x+1)(x+2)，则a=______．10.若分式x2−4x+2的值为0，则x=______11.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−3,0)与B(0.4)，那么关于x的不等式kx+b<0的解集是______．

12.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的大小是______．

13.如图，已知△ABC的周长为14，AC=5，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则△BAD的周长为______．

三、解答题（共98分）14.(1)解方程：1x−2−xx2−4=2x+2；

(2)分解因式：15.先化简：(a2−3a−3−a)÷a−1a16.已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，DF=BE．

(1)求证：四边形DFBE是平行四边形．

(2)若AB=4，AD=2，∠A=60°，E为AB中点，求四边形DFBE的面积．17.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,0).B(2,4)，C(4,2)．

(1)把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1，并写出B1坐标．

(2)画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A18.如图，已知NA⊥BM，垂足为A，点C在线段NA上，且CA=AM=2，∠CBA=∠ANM=30°．

(1)如图1，探究BC与MN的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2，将△ABC绕A顺时针旋转β得到△AB1C1，当C1为MN中点时，此时β=______，C1到AN的距离=______；

(3)如图3，将△ABC绕A顺时针旋转β得到△AB1C1，AC1所在的直线交MN所在的直线于点K19.已知m2−2m−1=0，则m2+120.若关于x的方程nx−1+21−x=1有增根，则n21.新定义：[k,b]为一次函数y=kx+b(k≠0)的“双减点”.若[3,a−2]是某正比例函数y=kx(k≠0)的“双减点”，则关于y的不等式组2(y+1)<5y−7y+a2<5的解集为______22.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与x轴的夹角为30°，点B1在x轴上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OP交OP于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OP的垂线分别交x轴、OP于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形23.问题探究：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，O为AB中点，连接OC，D为OC上一动点，E为BC上一动点，则AE−DE的最大值为______；

拓展应用：如图2，在等腰△ABC中，AC=AB=25，BC=4，作AD⊥CB，点F是线段AD上一点，且DF=12BD，连接CF，点E是线段CF上一动点，将线段CF沿直线BF翻折，点C的对应点C′恰好落在线段AC上，点G是AD上一动点，连接BG，E′G.则BG−E′G24.成都锦城绿道是新贯通的环城生态公园一级绿道，美丽的风光吸引很多市民选购自行车用以骑行.某自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车共50辆，其中每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同．

(1)求A，B两种型号公路自行车的进货单价；

(2)若该商店计划购进A型公路自行车m辆，计划最多投入68000元，且B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量，则自行车店有哪几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，若A型公路自行车每辆售价为1500元，B型公路自行车每辆售价为2000元，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？25.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B(−10,0)，与正比例函数y=−2x交于点C，点C的坐标为(a,4)．

(1)求一次函数y=kx+b的表达式；

(2)如图1，点P为直线OC上一动点，若S△BCP=2S△AOC，求点P的坐标；

(3)如图2，点H为线段BO上一动点，连接CH，将△CBH沿直线CH翻折得到△CB′H.线段CB′交x轴于点E．

①当点B′落在y轴上时，求点B′的坐标；

②若△B′HE为直角三角形，直接写出点H的坐标．

26.【问题探究】

(1)已知：在锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE.求证：BD=CE．

【思维提升】

(2)如图2，在△ABC中，以AB为边向外作等边△ABE，连接EC，∠ACB=30°，AC=3，BC=7，求EC长．

【拓展应用】

(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，作AD⊥BC交BC于点D，过点B作直线l⊥BC，点H是直线l上的一个动点，线段AH绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段AH′，求AH′+BH′的最小值．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】A

【解析】解：A、原式=(a−2b)2，符合题意；

B、原式=(a+2b)(a−2b)，不符合题意；

C、原式=(2a−1)2，不符合题意；

D、原式=a(b+c+1)，不符合题意．

故选：A．

3.【答案】C

【解析】解：可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下：

∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故选：C．

根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．

本题考查了平行四边形的判定，熟记“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．

4.【答案】B

【解析】解：A.∵a<b，

∴−3a>−3b，原变形正确，故本选项不符合题意；

B.∵a<b，

∴am2<bm2，必须规定m≠0，原变形不一定正确，故本选项符合题意；

C.∵a<b，

∴a3<b3，原变形正确，故本选项不符合题意；

D.∵a<b，

∴a+m<b+m，原变形正确，故本选项不符合题意；

故选：B．

根据不等式的性质逐个判断即可．

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)5.【答案】A

【解析】解：∵BC=6，D是BC的中点，AB=AC，

∴BD=CD=3，AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴AD=AB2−BD2=52−6.【答案】D

【解析】解：当x−3≠0时，分式4x−3有意义，

即当x≠3时，分式4x−3有意义，

故选：D．

根据分式有意义的条件：分母≠0，列式解出即可．

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为07.【答案】B

【解析】解：原式=2x+2y2x⋅2y=2(x+y)4xy=12×x+yxy，

所以分式的值缩小为原来的12．

故选：B．

8.【答案】B

【解析】解：设采用新的记忆方法之前每小时记忆x个单词，则采用了新的记忆方法后每小时背(1+20%)x个单词，

根据题意得100x−100(1+20%)x=512，

故选：B．

根据题目中的关键句子：采用新的记忆方法之前背100个单词所用的时间比采用了新的记忆方法后背9.【答案】2

【解析】解：∵x2+3x+a=(x+1)(x+2)=x2+3x+2，

∴a=2．

故答案为：2．

10.【答案】2

【解析】【分析】

分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．

分式的值是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．

【解答】

解：由题意得x2−4=0，x+2≠0

∴x=±2，x≠−2

∴x=2即当x=2时，分式的值是0．

故答案为：211.【答案】x<−3

【解析】解：由题意可得：一次函数y=kx+b中，y<0时，图象在x轴下方，x<−3，

则关于x的不等式kx+b<0的解集是x<−3，

故答案为：x<−3．

首先利用图象可找到图象在x轴下方时x<−3，进而得到关于x的不等式kx+b<0的解集是x<−3．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．

12.【答案】25°

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D=105°，AD=BC，

∵AD=AE=BE，

∴BC=AE=BE，

∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，

∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，

∴∠ACB=2∠CAB，

∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°−∠ABC=180°−105°，

∴∠BAC=25°，

故答案为：25°．

根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=105°，AD=BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．

本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

13.【答案】9

【解析】解：由作图知，MN是线段AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∵△ABC的周长为14，AC=5，

∴AB+BC=9，

则△BAD的周长为BA+BD+DA

=BA+BD+DC

=BA+BC

=9，

故答案为：9．

由作图知，MN是线段AC的垂直平分线，据此知DA=DC，结合△ABC的周长为14，AC=5，得AB+BC=9，继而由△BAD的周长为BA+BD+DA=BA+BD+DC=BA+BC求解可得答案．

本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质．

14.【答案】解：(1)去分母得x+2−x=2x−4，

解得：x=3，

检验：把x=3代入得：(x+2)(x−2)≠0，

∴分式方程的解为x=3；

(2)原式=(x−2)(x2−9)

=(x−2)(x+3)(x−3)；

(3)x−33<1①3x−4≤2(3x−2)②，

由①得：x<6，

由②得：x≥0【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(3)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．

15.【答案】解：原式=a2−3−a(a−3)a−3⋅(a−3)2a−1

=a2−3−a2+3aa−3⋅(a−3)2a−1

=3(a−1)a−3⋅(a−3)2a−1

=3(a−3)

=3a−9，

解不等式组【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=3a−9，接着解不等式组得到不等式组的整数解为1、2、3，然后根据分式有意义的条件得到a=2，最后把a=2代入计算即可．

本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．注意分式有意义的条件．

16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB/​/CD，

∴DF/​/BE，

∵DF=BE，

∴四边形DFBE是平行四边形；

(2)解：由(1)可知四边形DFBE是平行四边形，

过D作DG⊥AB于G，

∵AB=4，AD=2，∠A=60°，E为AB中点，

∴AE=2=AD，

∴△ADE是等边三角形，

∴DG=3，

∴四边形DFBE的面积=BE⋅【解析】(1)根据平行四边形的性质和平行四边形的判定解答即可；

(2)根据等边三角形的性质和面积公式解答即可．

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．

17.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，B1(−3,6)；

(2)如图所示，△A2B【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；

(2)根据旋转变换的性质找出对应点即可得出图形以及点的坐标，再根据割补法求出三角形的面积．

本题考查了平移变换的性质，旋转变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键．

18.【答案】30°

1

【解析】解：(1)BC=MN，理由如下：

∵NA⊥BM，

∴∠BAC=∠NAM，

又∵CA=MA，∠CBA=∠MNA，

∴△BAC≌△NAM(AAS)，

∴BC=MN；

(2)如图2，将△ABC绕A顺时针旋转β得到△AB1C1时，

∵C1为MN中点，

∴AC1为Rt△NAM斜边中线，

∴AC1=12MN=C1N，

∴∠N=∠C1AN=β=30°，

∵AM=2，

∴C1到AN的距离=12AM=1．

故答案为：30°，1；

(3)①如图3，△ABC绕A顺时针旋转β得到△AB1C1，AC1所在的直线交MN所在的直线于点K，

此时当KA=KN时，△ANK为等腰三角形，C1与K重合，

则AK=12MN=AM=2，

则AK2=4．

②如图4，△ABC绕A顺时针旋转β得到△AB1C1，AC1所在的直线交MN所在的直线于点K，

此时当AN=KN时，△ANK为等腰三角形，

过点P作AP⊥MN于P，在Rt△APN中，∠ANM=30°，

∴AP=12AN，

在Rt△NAM中，AM=2，∠ANM=30°，

∴MN=2AM=4，AN=23，

∴AP=3，PN=3，

∴PK=NK−NP=23−3，

在19.【答案】6

【解析】解：∵m2−2m−1=0，

∴m≠0，

∴m−2−1m=0，

即m−1m=2，

∴m2+1m2=(m−1m20.【答案】2

【解析】解：nx−1+21−x=1，

n−2=x−1，

解得：x=n−1，

∵方程有增根，

∴x=1，

把x=1代入x=n−1中得：1=n−1，

解得：n=2，

故答案为：2．

根据题意可得：x=1，然后把x=1代入整式方程中进行计算，即可解答．21.【答案】3<y<8

【解析】解：∵[3,a−2]是某正比例函数y=kx(k≠0)的“双减点”，

∴k=3，a−2=0，

∴a=2，

∴不等式组为2(y+1)<5y−7①y+22<5②，

由不等式①得y>3，

由不等式②得y<8，

∴不等式组的解集为3<y<8，

故答案为：3<y<8．

根据新定义求得a=2，然后解不等式组即可．

本题考查了新定义，解一元一次不等式组，正确求出22.【答案】738【解析】解：∵B1A1⊥OP，

∴∠OA1B1=90°，

∵∠POB4=30°，OB1=2，

∴△A1B1C1的边长A1B1=1，OA1=22−12=3，

∴点A1的纵坐标为12OA1=32，

∵等边三角形A1B1C1，

∴A1B1=A1C1=1，∠B1A1C1=60°，

∵∠OB1A1=60°，

∴∠B1A1C1=∠OB1A123.【答案】4

8【解析】解：问题探究：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，

∴AB=2AC=2×4=8，

又∵O为AB中点，

∴OC=12AB=12×8=4，

在△ADE中，AE−DE<AD，

只有当点A、D、E三点共线时，AE−DE=AD，

∵点D是OC上的动点，

∴当点D与点C或点O重合时，AD最长为4，

∴AE−DE的最大值为4．

故答案为：4；

拓展应用：如图2，连接CE′，CG，延长BF交CC′于点H，

∵AC=AB，BC=4，AD⊥CB，

∴BD=CD=12BC=2，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴BG=CG，BF=CF，

∵DF=12BD，

∴DF=12×2=1，

在Rt△CDF中，CF=CD2+DF2=22+12=5，

∴BF=CF=5，

在△CGE′中，CG−E′G<CE′，

当点C、E′、G共线时，CG−E′G=CE′．

∵线段CF沿直线BF翻折，点C的对应点C′恰好落在线段AC上，

∴BH垂直平分CC′，

设FH=x，BH=5+x，

在Rt△CBH中，CH2=BC2−BH2，

在Rt△CFH中，CH2=CF2−FH2，

∴BC2−BH2=CF2−FH2，

即42−(5+x)2=(5)2−x2，

解得x=355，

∴CH=455，

∴CC′=855，

∵CC′>CF，

∴当点E与点C重合，即点E′与点C′重合时，CE′最大=CC′=855，

∴BG−E′G=CG−E′G=CE′=855，

即BG−E′G的最大值为855．

故答案为：855．

问题探究：根据直角三角形中，30°所对直角边是斜边的一半，得AB=2AC=2×4=8，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求OC=12AB=12×8=4，在△ADE中，根据三角形两边之差小于第三边，得24.【答案】解：(1)设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是(x+600)元，

根据题意得：5000x=8000x+600，

解得x=1000，

经检验，x=1000是原方程的解，

∴x+600=1000+600=1600，

答：A种型号公路自行车的进货单价是1000元，B种型号公路自行车的进货单价是1600元；

(2)根据题意得：

1000m+1600(50−m)≤6800050−m≥m，

解得20≤m≤25，

∵m是正整数，

∴m=20、21、22、23、24、25，

∴自行车店有六种进货方案，分别为：①购进A型公路自行车20辆，B型公路自行车30辆；②购进A型公路自行车21辆，B型公路自行车29辆；③购进A型公路自行车22辆，B型公路自行车28辆；④购进A型公路自行车23辆，B型公路自行车27辆；⑤购进A型公路自行车24辆，B型公路自行车26辆；⑥购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆；

(3)设该商店利润为W元，根据题意得：

W=(1500−1000)m+(2000−1600)(50−m)=100m+20000，

∵100>0，

∴W随m的增大而增大，

∴当m=25时，W有最大值，W最大=100×25+20000=22500，

答：该商店购进A型公路自行车25辆，【解析】(1)设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是(x+600)元，构建分式方程即可解决问题；

(2)根据“总费用=A型的费用+B型的费用”以及“B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量”，列不等式组解答即可；

(3)根据题意求出总利润和m之间的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．

本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：(1)将点C的坐标代入y=−2x得：a=−2，即点C(−2,4)，

则一次函数的表达式为：y=k(x+2)+4，

将点B的坐标代入上式得：0=k(−10+2)+4，

解得：k=12，

则一次函数的表达式为：y=12(x+2)+4=12x+5；

(2)当点P在OC延长线上时，

由一次函数的表达式知，点A(0,5)，过点P作PH/​/y轴交AB于点H，

设点P(m,−2m)，则点H(m,12m+5)，

∵S△BCP=2S△AOC，

则12×PH×(xC−xB)=2×12×OA×|xC|，

即12×(−52m−5)×(−2+10)=5×2，

解得：m=−3，

则点P的坐标为：(−3,6)；

当点P在线段OC上时，同理可得：点P的坐标为：(−1,2