高中数学导数及其应用定积分的概念曲边梯形的面积汽车行驶的路程

第一章

§1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积

1.5.2汽车行驶的路程学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？

答案

①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.思考2如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案

已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为

梯形(如图①所示).(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.曲边知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用

、

、

、

的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割

近似代替

求和

取极限1.求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程.(

)[思考辨析判断正误]×√×题型探究类型一求曲边梯形的面积解答例1求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积.解

令f(x)＝x2＋1.(1)分割将区间[0,2]n等分，分点依次为(2)近似代替、求和(3)取极限反思与感悟求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲.(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限.(3)关键：近似代替.(4)结果：分割越细，面积越精确.(5)求和时可用一些常见的求和公式，如跟踪训练1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积.解答解

(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间：过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替(3)求和(4)取极限类型二求变速运动的路程解答例2当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解

将区间[1,2]等分成n个小区间，引申探究

本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解答所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的.反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练2一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km).解答达标检测1.把区间[1,3]

n等分，所得n个小区间的长度均为解析12345答案√2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于A.只能是左端点的函数值f(xi)B.只能是右端点的函数值f(xi＋1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D.以上答案均正确12345答案√3.一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为12345答案√答案解析123455.求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是______.1.02于是所求平面图形的面积近似等于12345答案解析求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n