2020版53b数学6 2等差数列

§６.２等差数列

第六章数 １.一般地ꎬ如果一个数列从第二项起ꎬ每一项与它的前一项的差等于同一个常数ꎬ那么这个数列就叫做等差数列ꎬ这个常数叫做等差数列的公差ꎬ通常用字母ｄ表示.

对应学生起始页码若ａｎꎬｂｎ是等差数列ꎬ则ｐａｎ＋ｑｂｎｐꎬｑ是常数仍是若ａｎ是等差数列ꎬ公差为ｄꎬ则ａｋꎬａｋ＋ｍꎬａｋ＋２ｍꎬｋꎬ∈Ｎｍｄ的等差数列２.通项如果等差数列

的首项为ａ１ꎬ公差为ｄꎬ那么它的通项

若

ｎ是等差数列ꎬ 也是等差数ｎ１１１ａ３.等差中项ａ

ａ的首项相同ꎬ公差是ａ的公差的. 如果

ꎬａｂ的等差中项２

ＳｍꎬＳ２ｍꎬＳ３ｍ分别为ａｎｍ项ꎬ２ｍ项ꎬ３ｍ项的和ꎬＳｍꎬｍＳｍꎬＳｍＳｍ成等差数列. (３)４.ｎ设等差数列ａｎ的公差为ｄꎬ则其前ｎ项和Ｓｎ

①若项数为２ｎꎬ则 Ｓ＝ｎｄꎬＳ奇 Ｓ

ａｎ２或Ｓｎ＝ｎａ１２

ｎ(ｎ１)

②２ｎ１ꎬＳ偶＝ｎａｎꎬＳ奇＝ｎａｎꎬＳ奇Ｓ偶＝ａｎＳ＝ｎＳ偶ｎ若两个等差数列{ａｎｂｎｎ项和分别为ＳｎＴｎ则ａｎ＝Ｓ２ｎ１(１)通 的推广:ａｎ＝ａｍ＋(ｎｍ)ｄ(ｎꎬｍ∈Ｎ∗

ｂｎＴ２ｎ等差数列ａｎｎＳｎ的最值＋ａｌ＝ａｍ＋ａｎ

是等差数列ꎬ且ｋ＋ｌ＝ｍ＋ｎ(ｋꎬｌꎬｍꎬｎ∈)ꎬ则 ①若ａ１>０ꎬｄ<０ꎬ则从首项到最后一个非负项的和最大②若ａ１<０ꎬｄ>０ꎬ则从首项到最后一个非正项的和最小若ａｎ是等差数列ꎬ公差为ｄꎬ则ａ２ｎ也是等差数列ꎬ公差为２ｄ.

③０ꎬＳｎｎ值

对应学 起始页码①利用等差数列的定义证明ꎬ即证明ａｎ＋１ａｎ＝ｄｄ为常数ｎ∈Ｎ)

ｂ１＝ａ２ａ１＝所以ｂｎ１ꎬ２的等差数列由ｂｎ＝１＋ｎ②利用等差中项证明ꎬ即证明ａｎ＋２＋ａｎ＝２ａｎ＋１(ｎ∈Ｎ 即ａｎ＋１ａｎ＝２ｎ ∑∑解选择题填空题时ꎬ可用通项法或前ｎ项和法直接∑∑

ｋ＝

(２ｋｋ＝①通项法:若数列{ａｎ的通 ａｎ＝Ａｎ＋Ｂ(ＡꎬＢ为 所以ａｎ＋１ａ１＝ｎ２ꎬ即ａｎ＋１＝ｎ２＋ａ１ ａ数)ꎬ则{ａｎ是等差数列 又ａ１＝１ꎬ所以{ａｎ的通项为ａｎ＝ ａ②ｎ项和法:若数列

的前ｎ项和

＝Ａｎ２＋Ｂｎ(ＡꎬＢ

设数列{ 的前ｎ项和为Ｓꎬ已知Ｓ＝ 常数ꎬ则ａｎ是等差数列

Ｎꎬ１

的值ꎬ

ｎ是等差数列续３项如前三项不成等差数列即可

解析Ｓ１＝

２２ａ１＝数列{ａ满足ａ＝１ꎬａ＝２ꎬ ＝ ａ 由Ｓｎ＝２ａｎ２ｎ１ꎬ得 ＝ ２(ｎ≥２)ｎ ｎｎ (１)设ｂｎ＝ａｎ＋１ａｎꎬ证明{ｂｎ是等差数列 两式相减ꎬ得ａｎ＝２ａｎ２ａｎ１２ｎ(ｎ≥２)

＝ 解析(１)证明:由ａｎ＋＝２ａ＋ａ＋２得ꎬ 即ａｎ２ａｎ１ ｎ１ ａｎ＋２ａｎ＋１＝ａｎ＋１ａｎ＋２ 即ｂｎ＋１＝ｂｎ

２(ｎ≥２)ꎬ于是ｎｎ

ｎ１＝１(ｎ≥２). 又２１＝２＝２６４５年高考３年模 Ｂ版(ｎ２ꎬ１ｎ２ꎬ１的等差数列

数列为首项为公差的等差数列

２

(２)由(１)知

＝

(ｎ１)＝

ꎬ即ａ 已知数列{ａｎ满足ａ１＝２ꎬ且ａｎ＋１＝２＋ａ ｎ(１)求证:数列１是等差数列

∴ｂ ＝４ １ｎ ｎ (ｎ３)(ｎ ｎ３ｎ (２)若ｂｎ＝ａｎａｎ＋１ꎬ求数列{ｂｎ的前ｎ项和Ｓｎ Ｓｎ＝４ １＋ ｎ解析(１)证明 ａｎ≠０ꎬ∵ａｎ＋１＝２＋ａ ＝４ １＝ｎｎ∴１＝

１１＝１ꎬꎬ

４ 又ａ

１ｎꎬ

若Ｓｎ＝２４２ꎬ求１列的计算和证明都可围绕ａ１ｄ进行. 对于等差数列问题ꎬ一般给出两个条件就可以列方程

解析设数列ａｎａｎ＝ａ１＋ｎｄꎬａ１０＝３０ꎬａ２０＝５０(组)求出ａꎬｄ.如果再给出第三个条件ꎬ(组)求出ａꎬｄ.如果再给出第三个条件ꎬ就可以完成ａꎬａꎬｄꎬｎ 得方程组ａ＋１９ｄ＝５０１

ｎ ａ１＝１２(２０１６ꎬ１２ꎬ５分)已知{ａｎ为等差数列ꎬＳｎ为其前ｎ项和.若ａ１＝６ꎬａ３＋ａ＝０ꎬ则Ｓ６ 解析设等差数列ａｎｄꎬ∵ａ１＝６ꎬａ＋ａ＝０

解ａｎ＝ｎ(ｎ∴６＋２ｄ＋６＋４ｄ＝０ꎬ∴ｄ＝２ꎬ∴Ｓ＝６×６＋６×５×(＝

２ｄꎬ且Ｓ＝ｎ２４２ ２答案２

得１２ｎｎｎ１)×２＝２４２ꎬ即ｎ２＋１１ｎ２４２＝０＝

等差数列{ａｎ的前ｎ项和记为Ｓｎ.已知ａ１０＝３０ꎬ 解得ｎ＝１１(ｎ＝２２舍去ａｎ

ａ≥０

三、等差数列前ｎ(１)若ａ>０ꎬｄ<０ꎬ且满 则前ｎ项和１１最大 (１)若ａ>０ꎬｄ<０ꎬ且满 则前ｎ项和１１

ａ<０

ａ１≤０ ꎬ若 且满足ꎬ

≥０

项和ｎ最 解得６.５≤ｎ≤７.５.因为∈Ｎ二次函数法ꎬ将ａｎｎＳｎ关于ｎ的二次函数最值问题ꎬ利用二次函数的图象或配方法求解ꎬ注ｎ∈Ｎ.等差数列ａｎ中ꎬＳｎｎ项和ꎬｄꎬａ１

所以当ｎ＝７时ꎬＳｎ最大解法三:由Ｓ３＝Ｓ１１ꎬ得２ａ１＋１３ｄ＝０即ａ１＋６ｄ)＋ａ１＋７ｄ＝０ａ＋ａ＝０>０ꎬＳ３＝Ｓ１１ꎬ则当ｎ为多少时ꎬ

又由

８ꎬＳ＝Ｓ可知ｄ<０ꎬ所以ａ>０ꎬａ<０ 所以 时ꎬｎ最解析解法一:由Ｓ＝Ｓꎬ得３ａ ｄ＝ 所以 时ꎬｎ最 在等差数列ａｎ中ꎬ已知ａ１＝２０ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎｄ

ａ.从而

ｎ２＋

ｎ １(ｎ７)２

ａ 且

取得最大值?并求出它的最大值１３

因为ａ１>０ꎬ

解析设等差数列ａｎ解法一:∵ａ１＝×０ꎬＳ１０＝Ｓ１ 故当ｎ＝７时ꎬＳ最大 ∴１０×２０＋１０９ｄ＝ ｄꎬ∴ｄ

最大ꎬ则 ａｎ＋１≤０

１３

∴ａｎ＝２０＋(ｎ１)×３＝３ｎ＋３∴ａ１３＝０ꎬｎ≤１２时ꎬａｎ>０ꎻｎ≥１４时ꎬａｎ∴ｎ＝１２１３