湖南省长沙市三十七中学高三数学文摸底试卷含解析

湖南省长沙市三十七中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tanx的图象在x=﹣处相切，设g（x）=ex+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得b=﹣1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=ex﹣x2+2，g'（x）=ex﹣2x，g''（x）=ex﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2.某地区举行一次数学竞赛选拔，有1000人参加，已知参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100），则成绩在90分以上（含90分）的学生共有（参考数据）A．23人

B．22

C．46

D．45参考答案：答案:A3.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A

4.若实数满足不等式组则的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12．则公差d=（）A． B．1 C．2 D．8参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4，am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12，即，解得d=2．故选：C．6.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0,2]上是增函数，则（

）A.B.C.D.参考答案：D【分析】由函数为奇函数及确定的周期为，再利用周期性和函数的单调性判断选项.【详解】因为满足，所以，所以定义在上的奇函数是以8为周期的周期函数，则，，，而由得，又因为在区间上是增函数，所以，即.故选D.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小,由函数的周期性将所给函数值转化到所给范围内的函数值.若函数满足（a>0），则的周期为T=2a.7.已知点，若函数的图象上存在两点到点的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数:①；②；③，其中“点距函数”的个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C8.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）,根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（

）（单位cm）A．

B．C．

D．参考答案：D9.函数的一条对称轴方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知函数，若对于任意，都有

成立，则的取值范围是

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ.

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中，常数项为

.参考答案：1512.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为

．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为正方体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求．【解答】解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：13.已知，向量与的夹角为，，则等于______．参考答案：略14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为＿＿参考答案：（1,1）

15.对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数的取值范围是________．参考答案：(－∞,) 16.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为

．参考答案：或考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：当焦点在x轴上时，=，根据==求出结果；当焦点在y轴上时，=，根据==求出结果．解答： 解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴===．当焦点在y轴上时，=，∴===，故答案为：或．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出的值，是解题的关键．17.F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是．参考答案：a=1或﹣【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】讨论a＞0，a＜0，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，结合勾股定理，解方程即可得到所求值．【解答】解：设P为双曲线右支上一点，当a＞0时，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=4，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为1，可得|PF1|?|PF2|=1，即有|PF1|?|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|=16a+4=20a，解得a=1；当a＜0时，双曲线即为﹣=1，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为1，可得|PF1|?|PF2|=1，即有|PF1|?|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=﹣20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|=﹣4a+4=﹣20a，解得a=﹣．综上可得a=1或﹣．故答案为：a=1或﹣．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本大题12分）

已知函数.

（Ⅰ）判断奇偶性；

（Ⅱ）若图象与曲线关于对称，求的解析式及定

义域；

（Ⅲ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.参考答案：略19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）证明：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；参考答案：解：（1）连结交于,连结,则,且,又平面,平面,PB//平面EAC．

……4分（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．

……9分（3）在PC上取点M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，，连接，因为AE⊥平面PCD，所以，。所以，为二面角A－PC－D的平面角。…………12分在中，．即二面角A－PC－D的正切值为

…………14分20.（14分）

已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上.数列{bn}满足

，前9项和为153.

（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.

（Ⅲ）设是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：（Ⅰ）由题意，得

故当时，注意到n=1时，，而当n=1时，n+5=6，所以，

……………………3分又，所以{bn}为等差数列………………5分于是而

………7分因此，

………………8分

（Ⅱ）

…………10分所以，

…………12分由于，因此Tn单调递增，故………………13分令

…………14分

（Ⅲ）①当m为奇数时，m+15为偶数.此时，所以

………………12分②当m为偶数时，m+15为奇数.此时，所以（舍去）.综上，存在唯一正整数m=11，使得成立.……14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.

（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.21.（本小题满分14分)已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．参考答案：（1）因为是奇函数，所以=0，即（2）由（1）知，设，则.因为函数y=2在R上是增函数且，∴>0.又>0，∴>0，即，∴在上为减函数.（3）因为是奇函数，从而不等式

等价于，因为为减函数，由上式推得．即对一切有，