2022年河南省开封市自立学校高三数学理联考试卷含解析

2022年河南省开封市自立学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A、B间的距离为，则M到面ABC的距离为（

）（A）（B）（C）1（D）参考答案：A略2.在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(

)(A)74

(B)121

(C)－74

(D)－121参考答案：答案：D3.函数的图象大致是

（

）参考答案：C4.如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是

（

）A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)参考答案：D略6.设为互不重合的平面，l,m,n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若则∥；②若∥∥，则∥；③若∥则∥；④若∥则m∥n.其中真命题的个数是（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：答案：B7.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．18参考答案：D8.函数图象交点的横坐标所在区间是（

）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）参考答案：C9.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长度为d，则函数的图象大致是（

）参考答案：C10.已知函数，若a，b，c互不相等，且，则a+b+c的取值范围是（

）A．(1,2017)

B．(1,2018)

C．[2,2018]

D．(2,2018)参考答案：D由正弦函数图像得，所以，选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是

．参考答案：1【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．12.设函数，则的值为

。参考答案：答案：13.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________.参考答案：a≤1解析：因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。14.已知变量满足，若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则a的取值范围是__________.

参考答案：15.已知正数x、y满足，则的最小值为____________.参考答案：16.已知向量的值为_________参考答案：117.的展开式中除去常数项的所有项的系数和等于

．参考答案：-2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如右．（Ⅰ）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（Ⅱ）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．参考答案：【解】：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm~190cm的频率为：，…………3分∴800名学生中身高在180cm以上的人数为：人．

…………6分（Ⅱ）样本中，身高介于185cm~190cm的学生人数为人，身高介于190cm~195cm的学生人数为人．………………8分∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，………………10分其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种．∴所求事件的概率为．

…………12分

略19.已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤?≤时，求k的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤?≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．20.（本小题满分12分）已知数列满足，.猜想数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：。参考答案：解析:证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立

（2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么

=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当时，易知

21.（本题15分）已知是实数，函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值．（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得．

参考答案：本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若，在