2022-2023学年江西省吉安市青原区双校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析）

D.162,如图，一D.162,如图，一•个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为。的正方形，则原平面图形的面积为()2022-2023学年江西省吉安市青原区双校联盟高一(下)期末数一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.己知z=(l+e(3T)2,则z.-=()3.记cos(-80。)=k,那么tan280°=(B.-25,下列说法不正确的是()A.若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱B.当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆C.平行于圆台底面的平面截圆台，截而是圆面D.直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥6,直线y=3与函=tana)x(a)>0)的图象的交点中，相邻两点的距离为？则展)=()A.—CB.一峭C.ND.<37,将函数/(x)=cos(^-2x)-2sin(^+x)sin(^-%)的图象左移表，得到函数y=g(x)的图象，则y=gM在[一*，；]上对应的单调递增区间是()C.2<7q2D.2a2B.JIB.JIADA.A.[-知B.[-粕8,在斜三角形ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,b=4,4y/~^asin2C=3(a2+b2—c^sinB,点。满足2瓦？+而+况=0,且cos匕G40=：,则△ABC的面积为()A.2<l5B.4aTI5C.<15D.二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.对于非零向量4与-34,则下列说法正确的是()A.方向相反B.方向相同C.向量廿的长度是向量一3W的长度的?D.a-3a=-2a10.如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是()A.AB+CD+D0=^4B.AB+AD=ACC.AB-^-AD+CD=ADD.R+及+及=011.在锐角aABC中，内角A,B,C的对边分别为q,b,c,若a-b=2bcosC,则()A.C=2BB.B的取值范围是(?，¥)C.B=2CD.：的取值范围是12.如图，正方体A8CD-AiBiGDi中，点E,F,G,〃分别是棱&队,AB,CD,DD】中点,以下说法正确的是()A.A.A^/fCFB.平面AiEF_L平面AGHC.若点0是线段EF中点，则务0_L平面AGHD.直线AiH与直线BG交于一点三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.己知(1+2i)z=4+3i,则|z|=.14.已知向量3=b=(-2,4)»若a//cta1(5+c)»则\c\=.15.已知某扇形的弧长为2tt-2,周长为2tt+2,则该扇形所对的圆心角。=16.如图，一个几何体的上半部分是•个圆柱体，下半部分是一个圆锥体，圆柱体的高为fm,圆锥体的高为公共的底面是半径为的圆形，那么01二这个几何体的表面积为m2.\四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(1)将a改写成5+2&(kGZ,0<^<2兀)的形式，并指出。是第几象限的角；己知复数z使得z+2i€R,孑？6&,其中i是虚数单位.(1)求复数Z的共貌复数U；(2)若复数(z+mi)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.(1)求abi(2)若布与片的夹角为0,求。的值.)记钝角△旭C的内角1B,C的对边分别为a,b,c,己知竿%=严譬%.(I)(I)若C=y,求4;(口)求牛4的最小值.21.(本小题12.0分)如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120。的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB,4C上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米，AN=2千米.AMB(1)求线段MN的长度；(2)若匕MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.22.(本小题12.0分)如图①梯形ABCD中AD^BC,AB=",BC=1,CD=g,BE1AD且BE=1,将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE1平面BCDE,CE与BD相交于。，点P在上，且AP=2PB,R是CD的中点，过。，P,R三点的平面交4C于Q.(1)证明：Q是AC的中点;(2)证明：AD1平面BEQ；)是4B上一点，己知二面角M——B为45。，求绪的值.故选：B.由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值.答案和解析2.【答案故选：B.由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值.答案和解析2.【答案】C【解析】解：由斜二测画法的规则知与/轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y'轴上，可求得其长度为Ca，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2Cs原平面图形的面积为q•2\/~la=2>J~la2故选：C.由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于V轴，长度保持不变,已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半.由于/轴上的线段长度为Cq,故在平面图中，其长度为且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积.本题考查的知识点是平面图形的直观图，掌握斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化.故选：D.根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解.本题主要考查复数模公式，属于基础题.【解析】解…心*=写片2,3.【答案】B【解析】解：cos(-80。)=k,..sin(-80。)=-V1-好,那么响280。=tan(-80<>)=誓票=1.【答案】D''cos(-80)kk【解【解析】解：对于A,棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，可以是两个多面体，所以A正确；对于B,当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，所以B正确.对于C,根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面，所以C正确；对于0,直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是同底面的两个圆锥，因此D不正确，故选：D.利用棱柱的性质判断1球与平面的位置关系判断B：圆台的性质判断C；旋转体与圆锥的关系，判断D.本题考查命题的真假的判断，考查空间几何体的结构特征，几何体与平面的位置关系的应用，是【解析】解：由己知可得/lx)的最小正周期丁=普=土，所以co=4,所以/'(x)=tan4x,本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.【解析】【分析】本题考查三角函数的诱导公式的应用.直接利用诱导公式进行化简，然后分子、分母同除COS0,代入tanO=2即可得到结果.【解答】,sin(^-0)-sin(jr-0)一cos。-sin。___故选：B.8.【答案】A所以f(&)=tan^=V-3.故选：D.由己知结合正切函数的性质先求出3,进而可求函数的解析式，再把*=召弋入即可求解.本题主要考查了正切函数性质的应用，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：/'(X)=cos(^-2%)-2sin(^+x)sin(^-%)=cos(：-2x)-2cos(:—x)sin(：-%)=cos(m-2%)-sin(；-2x)=cos(?-2x)一cos2x=Icos2x+^-sin2x—cos2x=^sin(2x-|)，/'3)图象向左平移&,可得=sin[2(x+表)一?]=sin2xt•••-^<2x<tt令-非2点§得弓，故选：D.利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数『3)的解析式，利用三角函数的变换，求出函数g(x)的解析式，然后结合x的范围，利用正弦函数的性质即可求解.本题考查函数y=Asin^x+(p)的图象变换，三角函数的化简求值，恒等变换的应用，考查计算能力，属于中档题.9.9.【答案】ACD【解析】解：由向量数乘运算的定义可知：3与一34方向相反，故A正确；|-3a|=3|a|,故C正确；a—3a=—2a,故。正确.故选：ACD.根据向量数乘运算的定义及运算性质直接判断即可.由余弦定理得8y/~6asinCcosC=6abcosCsinB,又因为△ABC是斜三角形，所以cosC装0,所以4\/~6sinC=3bsinB»由正弦定理得°=华=2"，因为2OA+OB+OC=0,所以OB+0C=2A0^所以(而+海)+(而+况)=4而，所以丽+京=4而，所以AB=4A0-ACr所以4B=164。-8A0AC+AC»化简得2|而|2-|而-|1=0，解得|而|=1或|布|=-?(舍去)，所以Smoc=：|布||京|sin:C0A=!xlx4xJ^^=9，设BC边的中点为。，则AB-VAC=2~AD，因为AB+AC=4A0>所以AD=240，即。为4D的中点,所以：Smbc二4Smoc=4x"2^=2V15-故选：A.通过正余弦定理转化得。=华=2"，对2以+无+况=0变形得AB=4AO-AC，两边同时平方得24=16|布|2-8而||x4x：+16,解出|而|=1,再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案.本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查向量法在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属中档题.解得三VBV：,故B正确；解得三VBV：,故B正确；】ABD【解析】解：由a-b=2bcosC,可得sinA—sinB=2sinBcosC,即sin(B+C)—2sinBcosC=sinB,即有sinCcosB—cosCsinB=sin(C—B)=sinB,因为三角形ABC为锐角三角形，所以C-B=B,即C=2B,故A正确，C错误；由0VBV§0V28V?且4=汗一8—0=兀一38&(0,9，【解析】解：对于A,设M为Al'】的中点，连接GM,MF,则ECi//AMi，ECX=MAX,故四边形EGM，为平行四边形，故选：ABD.由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得C=2B,可判断4C；再由锐角三角形的定义可判断B:再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断D.本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题.答案】BCD【解析】解：^4F+CD+DO=DC4-CD+DO=DO»故A错误；AB+AD=AC^故B正确；AB+AD+CD=AC+CD=AD，故C正确；AC+BA+DA=BC+DA=BC-VCB=0^故。正确.故选：BCD.根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念即可判断各选项的正误.本题主要考查向量的线性运算，属于基础题.本题考查向量数乘运算的定义及运算性质，属基础题.而:=丝竺=竺啥=2cosB而:=丝竺=竺啥=2cosB6bsinBsinB'故£)正确.'则C]M〃AiE,由CCJ/MF,CC]=MF可知四边形C]CFM为平行四边形，则CM/CF,CXM=CF,故A1E//CF,故A正确；对于B,连接CD】，由HG〃DiC,CF//AG,而4G仁平面EFC,CFu平面4GH,故AG//平面EFC,•.•HG仁平面EFC,HGu平面AGH,故HG//平面EFC,AGQHG=G,平面CEF//平面AGH,平面不垂直平面CEF,平面AXEF1平面AGH不成立，故B错误；对于C,假设B.01平面4GH，则B]01AH,由于点0是线段EF中点，不妨设正方体棱长为2,则=V22+*=届8/=V22+12=C，故BiE=B】F,则BQLEF,由四边形40EF是平行四边形,ADJ/EF,..BiOLAD】,AD1QAH=A,时iu平面AiMiDi，AHu平面心林，％。1平面心林，又务。1平面AGH,•••平面AGH//平面AlB1C1D1故与平面4GHn平面AiBiGDi=AH矛盾，故C错误；对于D,连接DiC,由于点G,H分别是棱CD,DD]中点，故GH//0C,在正方体中，A[B/]DiC,故GH//A1B,且GH=?A]B主故四边形A.BGH为梯形，故直线，H与直线BG交于一点，故。正确.故选：AD.证明四边形A.ECF是平行四边形，即可判断1利用反证的方法，推出矛盾，可判断8,C；证明四边形AiBGH为梯形，可判断D.本题主要考查棱柱的结构特征，空间位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题.16.【答案】令【解析】解：(l+2i)z=4+3i,可得八携_I4+311_|4+3i|_V164-9<5.故答案为：e运用复数的模的性质，即复数的模等于其共辄复数的模，商的模等于模的商，计算即可得到所求.本题考查复数的模的求法，注意运用复数模的性质，考查运算能力，属于基础题.14.【答案】3V-2【解析】解：根据题意，设#=(x,y)，向量a=(-1,1),日=(一2,4)，若廿〃已a-L(b4-c),贝'j{(x_2了一(y+4)=0，解可得x=3,y——3»则"I=V94-9=3>/~2;根据题意，设?=(x,y),由向量平行和垂直的判断方法可得关于x、y的方程，求出x、y的值，由向量模的公式计算答案.本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题.【解析】解：设扇形的半径为r,扇形所对的圆心角为。，朋|[2兀一2+2r=2兀+2'l2n-2=ra根据扇形的周长和弧长公式进行求解.本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题.17.【答案】解：17.【答案】解：(1)。=1200。=普江=等+6兀，因为学为第二象限，所以。是第二象限角；(2)与a终边相同的角可以写出y=y^2kn,kEZ,由y=夺+2kir6[-2n,2tt],故几何体的表面积S]+S2=器+崇=也沼I.故答案为：竺黑.【由圆柱和圆锥的表面积公式代入求解.本题主要考查了柱体和锥体表面积的计算问题，属于基础题.【解析】解：由圆柱的表面积公式可得这个几何体上半部分的表面积S]=27rx：x；+7rxG)由锥体表面积式可得这个几何体下半部分的表面积S2=7TX1XJ(|)2+(1)2=兼：得当k=0时，y=y,当k=一1时，y=-y,所以在区间[-2n,2n]±与a终边相同的角为等和一*【解析】(1)根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；(2)利用代入法进行求解即可.本题考查象限角，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.18.【答案】解：(1)设z=x+yi(x,yeR),贝ijz+2i=x+(y+2)i,z+2住R,y+2=0,即y=-2.tjz-x~2i-(x-2i)(2+i)_2x4-2x-4又川-技-(2T)(2+i)-+寸E'x-4=0,即x=4..••z=4-2i,fflz=4+2i;(2)m为实数，且(z+mi)2=[4+(m—2)i]2=(12+4m—m2)4-8(m—2)i,coscosAsinA+cosAsinB=cosA+cosB—cosAsinA—cosBsinA,即sinAcosB+cosAsinB=cosB,即sin(A+B)=cosB,即sinC=cosB.(I)若C=岑，则cosB=sin等=决，故B=三,从而4=tt—B—C=£；o(II)由航?1。=cosB得sinC=sin(：—B).若。=：一8,则B+C=§即4=9与4ABC为钝角三角形矛盾.因此。+(；—8)=兀，得C=l+Bf故A=^-2BtbsinBsin2Bsin2Fsin2B由题意，家笃酬>°，解得-26<2.实数m的取值范围为(-2,2).【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.(1)设z=x+yi(x,yeR^贝ijz+2i=x+(y+2)i,由虚部为0求得y值.再把右利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x值，则z可求，U可求；(2)把(z+mi)2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m的范围.X|a|=1，|B|=2，所以#•?=a2—2ft2+6=1—84-6=—1?(2)因为cos。=首*——p又。G[0,tt],所以。=孚【解析】(1)按照数量积运算律展开条件式，代入模长即可求解；(2)根据向量的夹角公式求出夹角余弦值，结合夹角范围得出e.本题考查平面向量数量积及其夹角的运算，属基础题.=6sina+2V=6sina+2V~^cosa=4V~3sin(a+30°)，因为0°<a<120°,所以30°<a+30°<150°.所以当a+30。=90。，即a=60°时，PM+PN取到最大值4后.答：两条观光线路距离之和的最大值为4/2千米.【解析】本题考查解三角形的实际应用，关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角.(1)在AAMN中，利用余弦定理得到MN；(2)设匕PMN=a,得到Z.PNM=120°-a,利用正弦定理将PM+PN用a表示，结合三角函数的有界性求最值.=4(^^coscr+:sina)+4sina4sin4B-5sin2B+2=，1疽2-24S-5(-,当且仅当sin2i?=时，Q:;的最小值为4>/~^—5-【解析】(I)已知等式化简可得sinC=cosB,从而可得角B,角C；(H)利用正弦定理，转化成三角函数求最值问题，再利用基本不等式即可得.本题考查正弦定理，考查三角函数恒等变换，属于中档题.=22+22-2x2x2x(-§=12,所以MN=2卒千米.(2)设匕PMN=a,因为匕MPN=60°,所以匕PNM=120°一a,在APMN中，由正弦定理得，MNPMPN__MN2=AM2+AN2-2AM•ANcosl20°21.[答案】解：(1)在△4MN中，由余弦定理得，因为"=趋=4,siMMPNsin60所以PM=4sin(120°—a),PN=4sina,因此PM+PN=4sin(120°-a)+4sina又,:又,:CD=：•DF=1,