信号与系统2008第1章3讲

一、信号的基函数表示法希望用统一的形式来表示任意信号：数学上证明可以用一组基函数的线性组合来表示信号n=0,±1,±2…(1.3—1)就变成了如何选择最佳的基函数

n(t),和确定相应的系数an的问题了。复习1在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足条件：则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数。如果系数要满足终结性，在表示式成立的时间区间内，要求基函数集

n(t),是正交函数集。二、正交函数2正交函数集：定义：在[t1,t2]区间上定义的n个非零实函数集g1(t),g2(t),…,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、gj(t)均满足：其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集任意一个函数f(t)在区间[t1,t2]内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：

在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,…,cn：令则：常用的完备正交函数集:1、三角函数集：函数1，cost,cos2t,…,cosnt,...,sint,sin2t,…,sinnt,…,当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内组成完备正交函数集。其中T=2/2、复指数函数集：函数集ejnt,n=0,±1,±2,…,是一个复变函数集，在区间[t0，t0+T]内是完备正交函数集。

所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。表示常用信号的连续函数正弦函数指数函数抽样函数钟形脉冲函数（高斯函数）三、基本信号及其时域特性82、单位阶跃函数3、单位冲激函数(t)4、单位冲激偶'(t)1、单位斜坡函数奇异信号有简单的数学形式，但其本身、或其导数、或其积分有不连续点。91、单位斜坡函数R(t)11t1t0tR(t-t0)如果将起始点移至t0，则返回102、单位阶跃函数10u(t)t10u(t-t0)tt0若跳变点移至t0，则11单位阶跃函数的特性：12单位阶跃函数的接入特性：信号在t0时刻接入：sintu(t)0tsin（t)u(t-t0)tt00133、单位冲激函数(t)矩形脉冲演变为冲激函数tG(t)00t0(1)(t)14狄拉克（Dirac）定义满足狄拉克条件：若冲激点在t=t0处，则定义式为：t0(1)(t-t0)t0t0(1)(t)15单位冲激函数的特性：单位冲激函数的积分是单位阶跃函数16连续函数f(t)与单位冲激函数的乘积等于冲

激点的函数值与(t)相乘若冲激点在t0处，且f(t)在t0处连续，则17筛选特性：单位冲激函数与连续函数f(t)的乘积的积分等于冲激点的函数值或18奇偶性：返回19尺度变换：证明：1、当a>0时，令=at201、当a<0时，令=-at214、单位冲激偶'(t)定义：单位冲激偶就是单位冲激函数的导数，表达式为：22它在t=0处有一对正负冲激函数，其强度都为无穷大。利用矩形脉冲取极限的方法，可导出上述结果:

(t)可以看作脉宽为，幅值为1/的门函数G(t)当0时的极限。

‘(t)可以看作G(t)求导后，再取当0时的极限。23求导得tG(t)0t0(1)(t)0求导0tG'(t)0t0(

)'(t)24单位冲激偶的特性：1、单位冲激偶的积分等于单位冲激函数：2、单位冲激偶的抽样特性：证明：利用分部积分法：25推广：3、单位冲激偶是奇函数：由定义可见，‘(t)是奇函数，所以包含面积为0。返回26奇异函数的综合：1、R(t)的导数是u(t)；u(t)的导数是(t)；(t)的导数是’(t)。2、u(t)是物理量的单位跃变的抽象

3、(t)是物理量产生单位跃变速度的抽象4、‘(t)是物理量产生单位跃变加速度的抽象返回27第一章信号分析的理论基础§1.1引言§1.2信号的分类§1.3信号的基函数表示法

§1.4正交函数

§1.5奇异函数§1.6信号的时域分解与变换§1.7离散时间信号------序列§1.8卷积281.6信号的时域分解与变换将信号分解为正交函数的线性组合将信号表示为阶跃信号或冲激信号之和信号的时域分解291.6信号的时域分解与变换一、任意信号分解为阶跃函数之和二、任意信号表示为冲激函数之和三、信号的时域变换练习：返回30一、任意信号分解为阶跃函数之和1、矩形脉冲A

t0A

t0A

t0TT+

312、任意函数用一系列阶跃函数之和近似表示任意函数f(0)f(t)ktt2tt032第一个阶跃f0(t)在t=0时刻加入。f1(t)在t=t时刻加入，高度为f(t)=f(t)-f(0)。f(0)f(t)ktt2tt33同理，t=kt处应迭加一高度为f(t)=f(kt)-f(kt-t)的阶跃函数，即迭加f0(t),f1(t),..fk(t),…,fn(t)，成为一阶梯形函数，近似表示f(t)。34上式的近似程度取决于t的大小。35t越小，近似程度越高则：返回36二、任意信号表示为冲激函数之和f(t)在每个相等的时间间隔t内，用一个矩形脉冲加以近似f(t)0ktt2ttf(0)37用冲激函数表示脉冲函数各冲激函数的位置

脉冲左边界所在时刻，

冲激函数的强度

脉冲的面积0ktt2tf(t)t38当t0时，0ktt2tf(t)t返回39三、信号的时域变换1、信号的迭加与相乘

f(t)任意时刻的值为

两信号同在该时刻的数值之和

f(t)任意时刻的值为两信号同在该时刻的数值乘积。402、信号的翻转（反褶）信号f(t)的自变量t用-t替换，称为信号的翻转。

反褶后的波形与原波形相对于纵轴对称。0tf(t)120tf(-t)-1-2信号的反褶运算可以看作把过去的时间与未来的时间相互调换。413、信号的时间平移信号f(t)的自变量t用t-t0替换。0tf(t)120tf(t-1)120tf(t+1)12t0>0时，f(t-t0)的波形为：f(t)沿时间轴右移t0t0<0时，f(t-t0)的波形为：f(t)沿时间轴左移|t0|424、信号波形展缩（尺度变换）信号f(t)的自变量t用at替换。0tf(t)12a>1时，f(at)的波形为：f(t)的波形沿时间轴压缩1/a倍，幅值不变。0tf(2t)120tf(t/2)1240<a<1时，f(at)的波形为：f(t)的波形沿时间轴扩展1/a倍，幅值不变。43例1：已知f(t)的波形，试画出f(1-2t)的波形。0tf(t)12310tf(t+1)123-11平移：展缩：0tf(2t+1)121反褶：0tf(1-2t)121-144例2：用反褶

展缩

时移的顺序解例10tf(t)1231平移：展缩：反褶：-30tf(-t)-1-21-30tf(-2t)-1-21-30tf(1-2t)-1