投影变换旋转法

§３旋转法

如图所示，空间点A绕直线OO旋转，点A称为旋转点，直线OO称为旋转轴。自A点向OO轴引垂线，其垂足O称旋转中心，AO称旋转半径，A点的旋转轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆周，称为轨迹圆，轨迹圆所在的平面与旋转轴垂直。

按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为：1)绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕垂直轴旋转。2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕平行轴旋转。3)绕一般位置的轴线旋转。3.1点的旋转

如图所示，点A绕垂直于V面的OO轴(正垂轴)旋转，其V投影反映轨迹圆实形，而H投影为过A点且平行于X轴的直线段，其长度等于轨迹圆的直径。

如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实形，即H投影ａ沿圆周旋转θ角到ａ1，其V投影ａ′沿投影轴的平行线移动至ａ1’，ａ′ａ1’∥ＯＸ。

由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影则沿与旋转轴垂直的直线移动。

3.2直线的旋转

直线的旋转，仅需使属于该直线的任意两点遵循绕同一轴、沿相同方向、转同一角度的规则作旋转，然后，把旋转后的两个点连接起来。如图所示，直线AB绕铅垂轴OO按逆时针方向旋转θ角，也就是使A、B两点分别绕OO轴逆时针旋转θ角，按照点的旋转规律求得ａ1b1、ａ1’b1’。

1)直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴所垂直的投影面上的投影长度不变。2)直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。3)直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投影面的倾角都改变。直线旋转的基本性质

3.2.1把一般位置直线旋转成投影面平行线

直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置直线的实长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。

［例1］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的实长和α角

分析：欲求一般位置直线AB的实长和α角，需把直线AB绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过直线的一个端点，如A点，那么，只旋转B点即可。

作图步骤：1）过点A作铅垂轴OO：ａ′∈ｏ′ｏ′，ｏ′ｏ′⊥ＯＸ2）求新投影ｂ1、b’1：将水平投影ｂ以ｏ（ｏ与ａ重合）为圆心，ａｂ为半径旋转至ｂ1，ａｂ1∥ＯＸ，b1’沿OX轴平行线平移至b’。3）连接ａ’ｂ1’、ａｂ1；ａ′ｂ1’反映AB的实长。4）确定α角：ａ′ｂ1’与OX轴的夹角α即为所求。［例2］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的β角

分析：欲求一般位置直线的β角，需把直线AB绕正垂轴旋转成水平线。

3.2.2把投影面平行线旋转成投影面垂直线

某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。所以投影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。

［例3］试将正平线AB旋转成为铅垂线

分析：正平线和铅垂线都平行于V面，因此，在旋转过程中，直线对V面的倾角应保持不变，只改变它对H面的倾角，所以应取正垂线为旋转轴。

作图步骤：1）过点A作正垂轴OO：ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；ａ′与ｏ′重合2）以OO为轴，将AB旋转成铅垂线：即将正面投影ｂ′沿圆周（以ａ′为圆心，以ａ′ｂ′为半径）旋转至ｂ1’。3）连接ｂ1’ａ′（ｂ1′ａ′⊥ＯＸ），水平投影ａ与ｂ1重合。3.3平面的旋转

平面的旋转是通过旋转该平面所含不共直线的三个点来实现的，旋转时，必须遵循同轴、同方向、同角度的规则。

平面的旋转性质：1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影面上的投影，其形状和大小都不变。2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且，该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。3.3.1把一般位置平面旋转成投影面垂直面

只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投影面，则平面就垂直于该投影面。

［例1］试求一般位置平面ABC对V面的倾角β

分析：欲求一般位置平面ABC对V面的倾角β，须将平面ABC旋转成为铅垂面，为此，应在平面内取一条正平线（如CD），只要将正平线CD绕正垂轴(含C点)旋转成为铅垂线，那么平面ABC就旋转成为铅垂面。

作图步骤：1）含点Ｃ作正垂轴ＯＯ：C∈OO，ｏｏ⊥ＯＸ；ｃ′与ｏ′重合2）作平面ABC内的正平线CD：ｃｄ∥ＯＸ，并求出ｃ′ｄ′。3）求平面的新投影：将ｃ′ｄ′旋转至ｃ’ｄ1’，ｃ’ｄ1’⊥ＯＸ，ａ、ｂ旋转相同的角度，平面△ＡＢＣ就成为铅垂面，它的水平投影ａ1ｃｂ1积聚成一直线。正面投影ａ′、ｂ′依三同原则旋转至ａ1’、ｂ1’位置。4）求β角：ａ1ｃｂ1与OX轴的夹角β即为所求。［例2］试求一般位置平面ABC对H面的倾角α

分析：欲求一般位置平面ABC对H面的倾角α，需把平面ABC旋转成为正垂面。为此应在平面内取一条水平线CD，只要将水平线CD绕铅垂轴（含C点）旋转成为正垂线，那么，平面ABC就旋转成为正垂面。

3.3.2把投影面垂直面旋转成为投影面平行面

投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，可改变垂直面对另一投影面的倾角。所以只要经一次旋转，就能使垂直面旋转成为另一投影面的平行面。

［例3］试将正垂面ABC旋转成为水平面

作图步骤：1）作β＝４５°的水平线ＭＮ1：作ｍｎ1，使ｍｎ1与