一阶二阶电路时域分析

2、零输入响应零状态响应全响应重点掌握(maincontents)：4、基本信号：阶跃函数和冲激函数3、稳态分量暂态分量1、换路定理三要素法第七章一阶二阶电路时域分析(暂态)

(TransientState）LiuiuCRiuu=Ri当变化时，不再为零U、iulic换路或交流电直流时l短路直流时c开路K未动作前i=0,uC=0i=0,uC=Us一、什么是电路的过渡(transition)过程K+–uCUsRCi

t=0K接通电源后很长时间过渡过程：电路由一个稳态(steadystate)过渡到另一个稳态需要经历的过程.换路(switch)：即电路（结构或参数）变化.i+–uCUsRCK合上概述(summary)链接RL电路动画2.电路结构(configuration)或参数(parameter)发生变化三、稳态分析和动态分析的区别(differences)稳态动态1.换路发生了很长时间后；换路刚发生iL、

uC随时间变化3.代数方程组描述电路；微分方程组描述电路2.IL、

UC不变；二、过渡过程产生的原因(reason)1.电路内部含有储能元件L、M、C一、关于t=0-

与t=0+换路在t=0时刻进行，－∞

0-

00++∞K+–uCUsRCi

t=0初始条件：为t=0+时u，i

的值如在t=t0合上，则t=t0+时刻的值原稳态原稳态终值换路瞬间

过渡过程新稳态换路后初始值§７-1动态电路的方程及其初始条件

EquationofDynamicCircuitAndItsInitialCondition链接RC电路动画若i()为有限值iucC+-求t=0+时刻uc(0+)=？1.电容(capacitor)二、换路定理

SwitchTheoremuc(0+)=uc(0-)结论(Conclusion)：换路瞬间，若电容电流为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。iLuL+-求t=0+时刻iL(0+)=？2.电感(Inductance)iL(0+)=iL(0-)若u()为有限值结论：换路瞬间，若电感电压为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路定理：在换路瞬间电容上的电压、电感上的电流不能跃变记住uc(0+)=uc(0-)iL(0+)=iL(0-)解：(1)由0-电路求uC(0-)例1+-10ViiC+uC-k

10kΩ

40kΩt=0时断开开关k,求iC(0+)？iC(0--)

=0iC(0+)=iC(0--)=0+-10V+uC-10kΩ40kΩiCuC

(0+)=uC

(0-)=8V(2)由换路定律+-10ViiC+8V-10kΩt=0+等效电路(3)由0+等效电路求iC(0+)三、电路初始值(initialvalue)的确定iL(0+)=iL(0-)=10/(1+4)=2A+uL-10V1

4

0+电路2A解：∴uL(0+)=uL(0-)=0iL+uL-L10VK1

4

t=0时闭合开关k,求uL(0+)?补例+uL-4

2A3.画0+等值电路。电容（电感）用电压源（电流源）替代。取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。4.由0+电路求所需各变量的0+值。1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)或iL(0-)。2.由换路定律得uC(0+)或iL(0+)。求初始值的步骤(Steps):链接iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS0+电路uL+–iCRISRIS+–求iC(0+),uL(0+)？K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解：（1）初始值（2）0+时刻补例：则一、RC电路的零输入响应已知uC

(0-)=U0求uC和i。解:

iK(t=0)+–uRC+–uCRuC-uR=uC-Ri=0特征根RCp+1=0特征方程§７-2一阶电路的零输入响应

ZeroInputRespondofFirstOrderCircuit仅有一个储能元件激励(电源)为零，仅由电容或电感的初始储能作用于电路产生的响应设复习：一阶微分方程初始值uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数(timeconstant)tU0uC0I0ti0∴iK(t=0)+–uRC+–uCR时间常数(timeconstant)

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

大过渡过程时间的长

小

过渡过程时间的短电压初值一定：R大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R不变）W=0.5Cu2

储能大

=RC链接复习：结论：换路瞬间，若电感电压为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。iL(0+)=iL(0-)结论：换路瞬间，若电容电流为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

=RC时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短uc(0+)=uc(0-)tI0i0

工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

U0tuc0

0.368U0Uc若按开始的速度衰减经过

时间，衰减结束，过起点做切线

：电容电压衰减(Attenuation)到原来电压36.8%所需的时间。特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0得：A=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0-)=iK(t=0)USL+–uLRR1二.RL电路的零输入响应设令

=L/R

,一阶RL电路时间常数tI0i0

-RI0uLtL大（R不变）起始能量大R小（L不变）放电过程消耗能量小放电慢

大电流初始值一定：

=L/R

大放电慢tI0i0

响应由初始值、特解（稳态值）、时间常数决定三要素稳态值初始值时间常数三要素法：总结一阶电路规律得零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入 激励(Excitation)作用下产生的响应列方程：解答形式为：齐次方程的通解齐次方程的特解一、

RC电路的零状态响应iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0uc(0-)=0求:电容电压uc(t)

和电流i(t)?

已知§７-3一阶电路的零状态响应

ZeroStateResponseofFirstOrderCircuit

变化规律由电路结构和参数决定全解:uC

(0+)=A+US=0

A=-US由起始条件

uC

(0+)=0定积分常数

A齐次方程的通解：特解（强制(Forced)分量、稳态分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）因为它由输入激励决定，称为强制分量；它也是电路的稳态解，也称为稳态分量强制分量(稳态)自由分量(暂态)tuc-USuC'uC"USti0

电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电容储存：电源提供能量：电阻消耗能量关系：iLK(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0求:电感电流iL(t)

和电压uL(t)?已知uLUSt0tiL0RUS-=A

二、RL电路的零状态响应(ZeroStateResponseofRLCircuit)

=L/Req

=L/(R1//

R2)+-R1R2L例4例5ReqC

=

ReqCR1R2LReq时间常数(timeconstant)

的计算方法iL

(0+)=iL(0-)=1AuV

(0+)=-10000ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0时,打开开关K,发现电压表坏了，为什么？电压表量程：50V分析：∴造成损坏。V补例2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。总结(Conclusion):iL(0+)=iL(0-)uc(0+)=uc(0-)若电容电流为有限值若电感电压为有限值1.一、一阶电路全响应全响应：换路瞬间储能元件已有初始储能，且换路后电路中有激励iK(t=0)US+–uRC+–uCR求:uc(t)?

uc(0-)=U0，已知将uc(0+)=U0代入得：A=U0-US1.微分法全响应=零状态响应+零输入响应=稳态分量+暂态分量§７-4一阶电路的全响应和通用公式

CompleteResponseoffirstorderCircuitandCommonEquation2A2i1+-i14Ω4Ω+-8V0.1H2ΩuL+-iL12S开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t≥0+时的电压uL?解：再求电感两端戴维宁等效电路2A2i1+-i14Ω4Ω20.1HuL+-iL开关打到2点电路uoc2uL0.1H+-iLReq+-例6-52i1+-i14Ω4Ω2u-+12V2uL0.1H+-iL10Ω+-作业(Assignment)：7-1、4、7、8、11、16、171.定义2.单位阶跃函数的延迟t

(t)01一、单位阶跃函数t

(t-t0)t0013.由单位阶跃函数可组成复杂的信号例1At0tf(t)0A(t)tf(t)A0t0-A

(t-t0)阶跃函数1t1f(t)0例3tf(t)0tf(t)

(t-t0)0t0t

(t-t0)t001例4用

(t)函数描述开关动作K+–uCUsRCi

t=

t0+–uCUs

(t-t0

)RCi起始例补uC(0-)=0iC+–uCR单位阶跃响应：单位阶跃函数作用下的零状态响应tuc1t0i§7-5阶跃响应

UnitStepResponseofFirstOrderCircuit例一矩形脉冲电压作用于图示电路。已知uC(0)=0，求uC(t)。us+uCR

C+usUs0Tt解：Us+uCR+

C12t=0~T：t=T

~

：矩形脉冲电压作用可相当于一开关电路为零状态响应为零输入响应10kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=010kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=0解：+补例：下图中uC(0-)=0，求us作用下电流iC(t)？10kΩ10kΩus+-ic100FuC(0-)=00.510t(s)us(V)010kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=010kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=0+-ic′100FuC(0-)=05kΩ戴维南等效+-ic100FuC(0-)=05kΩ戴维南等效分段(Piecewise)表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.50.368=0§7-6一阶和二阶电路的冲激响应

UnitImpulseResponseofFirstOrderCircuit一、RC电路冲激响应iCiRC+–uCRt(t)(1)0uC可不可能是冲激函数?1.为零状态响应证明:设KCL方程不成立uC不会是冲激函数难点单位冲激响应：单位冲激函数作用下的零状态响应iCiRC+–uCRδ(t)t02.t≥0+后δ(t)=0,所以可视为uC(0+)=1/C的零输入响应iLδ(t)+–uRL+–uLR+–=0ψ=Li=1,产生单位磁通链1.零状态响应2.零输入响应δ(t)t0二、RL电路对于任一线性时不变电路激励零状态响应阶跃响应冲激响应三、阶跃响应与冲激响应的关系

RelationshipBetweenUnitStepResponseAndUnitImpulseResponse电路零状态响应阶跃响应s(t)冲激响应h(t)iL

iSLRC+–uCRus+-iL

uSLR+-iCiRC+–uCRis求导过程要注意iL4δ(t)VLR1+-+-

uLR2解：t≥0+后δ(t)=0。求导过程先不管t≥0要关注0时刻的情况例如图所示电路中，iL(0-)=0，R1=6Ω，R2=4Ω，L=100mH

求冲激响应iL和uL。1三要素法适用条件：直流或正弦激励的一阶电路2换路定律的适用条件：

电容电流、电感电压为有限值电容电压、电感电流突变与否，必须以满足KCL、KVL为前提总结(Conclusion)：§7-7二阶电路的零输入响应

ZeroInputResponseofSecondOrderCircuituC(0-)=U0,i(0-)=0已知求uC(t),i(t),uL(t).RLC+-iucuL+-k(t=0)解:根的性质不同，响应的变化规律也不同RLC+-iucuL+-k(t=0)1、非振荡放电过程tuc|P1|<|P2||P1|

>|P2|U0P2-P1=1,t=0+

i=0,t=i=0,t=tm时i最大0<t<tmi增加,uL>0t>tmi减小,uL

<0t=2tm时uL

极小2tmuLtmiuL(0)=U0t>2tmuL

衰减加快t>0i>0tU0ucP2-P1=1做i的曲线做u的曲线由uL=0可计算tm由duL/dt可确定uL为极小值的时间t2tmuLU0ttm0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i减小.RLC+-RLC+-tU0uctmi0非振荡放电(Non-oscillationDischarge)过阻尼(Over

Damped)能量转换

(EnergyExchange)：uC的解答形式：

0固有振荡角频率无阻尼振荡角频率

衰减因子

ωω0

阻尼振荡(dampedoscillation)角频率阻尼2、特征根为一对共轭(conjugate)复根，振荡放电(oscillationdischarge)ωω0

由欧拉公式：代入得ωω0

RLC+-iucuL+-k(t=0)RLC+-iucuL+-k(t=0)uLU0t0uC-2-

2i

+uL零点：

t=,+，2+...n+i零点：

t=0,，2...n

，i极值点为uL零点。uC零点：

t=-

，2-

...n-

，uC

极值点为i零点。<t<--<t<RLC+-RLC+-0<t<RLC+-uC减小，i增大uC减小，i减小|uC|增大，i减小衰减振荡欠阻尼U0

t0uC-2-

2i

+能量转换关系

EnergyExchangeRelationshiptLC+-等幅振荡无阻尼∵得特例R=0解出由初始条件(initialcondition)非振荡放电临界阻尼3、非振荡放电

临界阻尼(criticallydamped)可推广应用于一般二阶电路Itcanbeappliedtocommonsecondordercircuit确定常数(constant)由小结(Conclusion)：解:5Ω20Ω10Ω10Ω50V+

-iL+uC-0-电路uC(0+)=uC(0-)=25V电路所示如图，

t=0时打开开关。求:电容电压uC,并画波形图。5ΩμF20Ω10Ω10Ω0.5H10050V+-uC+

-iL(1)uC(0-)=25V5A20Ω10Ω10Ω+-25ViC0+电路补例特征方程为50P2+2500P+106=020Ω10Ω10Ω+-uCt

>0电路0.5HFμ100iLLC(4)

由uC

t035825

i1=i

－

0.5u1=i

－0.52(2－i)=2i－2由KVL整理得：二阶非齐次常微分方程解：第一步列写微分方程2-ii1K打开之前电路已稳定，求所示电路中电流i(t)的零状态响应。+u1-0.5

u12W1/6F1Hk2W2W2A

i一、零状态响应§7-8二阶电路的零状态响应和全响应

ZeroStateResponseAndCompleteResponseofsecondorderCircuit第二步求通解i

P1=-2，P2=-6解答形式为：第三步求特解i″（稳态解）i=0.5u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi″=i()=1A+u1-0.5

u12W1/6F1Hk2W2W2A

iP2+8P+12=0稳态模型+u1-0.5u12W2Wi2A第四步求初值+u1-0.5

u12W1/6F1Hk2W2W