函数的奇偶性、对称性、周期性

专题03函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.3.函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4.善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1（2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A. B. C. D.【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.例2（2021·全国甲卷（理）·12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A. B. C. D.【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．,所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．例3已知函数f(x)对任意的x∈R，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，函数f(x＋1)是奇函数，当－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－eq\f(1,2)在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【解析】因为函数f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称．作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得f(x)＝－eq\f(1,2)在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为eq\f(1,2)×2×4＝4.例4已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A． B．0 C．2 D．50【分析】同例1得f(x)的周期为4，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)，而f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2、f(4)＝f(0)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋···＋f(50)＝f(47)＋f(48)＝f(1)＋f(2)＝2.例5已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，，，且时，都有，则下列结论正确的有A．（1）（2）（3） B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数在，上有5个零点 D．函数在，上为减函数【解答】根据题意，函数是上的奇函数，则；对任意，都有（2）成立，当时，有（2），则有（2），则有，即是函数的一条对称轴；又由为奇函数，则，变形可得，则有，故函数是周期为4的周期函数，当，，，且时，都有，则函数在区间，上为增函数，又由是上的奇函数，则在区间，上为增函数；据此分析选项：对于对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；故选：．

【巩固训练】1．已知函数关于对称,则的解集为_____.2．已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.3.已知函数满足，且时，，则（）A．0 B．1 C． D．4.已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)图象关于直线x＝2对称C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－eq\f(1,2)5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则86．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数C.f(x＋3)为奇函数 D.f(x＋4)为偶函数7.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；③是偶函数；④的图象经过点；其中正确论断的个数是______________.8.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)<0，则f(x)在[－3，－2]上单调递增D.若f(x)在[1，2]上的解析式为f(x)＝lnx＋1，则f(x)在[2，3]上的解析式为f(x)＝1－ln(x－2)

【答案与提示】1．【答案】【解析】∵函数关于对称,∴,则由,结合图象可得,求得2．【答案】8【解析】，故，即的图象关于点对称，又函数满，则函数的图象关于点对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为，所以.4.【答案】ABC【解析】由f(x＋1)＝f(x－3)，得f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，所以函数f(x)的周期为4，A正确.由f(1＋x)＝f(3－x)，得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确.当0≤x≤2时，函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递增.所以当x＝eq\f(1,2)时，函数f(x)在[0，2]上取得极小值－eq\f(1,4)，且f(0)＝0，f(2)＝2.作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2，C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,4)，D错误.故选ABC.5.8【答案】－8【提示】四个根分别关于直线，对称.6．【答案】ABC【解析】法一由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.法二由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由，得：，所以函数的周期为4，故①正确；命题②：由是奇函数，知的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，故②正确；命题③：由是奇函数，得：，又，所以，所以函数是偶函数，故③正确；命题④：，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8.【答案】ABC【解析】根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)<0可知f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的图