高中人教B版必修3第三章概率课时作业3.3.1

高中参考资料知识归纳/真题/试卷/习题/检测卷第三章3.33.3.1一、选择题1．下面关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性[答案]A[解析]几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3cm，把一枚半径为1cmA.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]如图，要使硬币不与平行直线l1、l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l2、l3之间，故所求概率为P＝eq\f(1,3).3．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为()A.eq\f(1,8) B．eq\f(7,9)C.eq\f(2,9) D．eq\f(7,16)[答案]C[解析]由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为eq\f(2,9).故选C.4．(2015·湖南津市一中高一月考)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]如下图，在AB边上取点P′，使eq\f(AP′,AB)＝eq\f(3,4)，则P只能在AP′内运动，则所求概率为P＝eq\f(AP′,AB)＝eq\f(3,4).故选C.5．在1000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率()A．0 B．0.002C.0.004 D．1[答案]B[解析]由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．∴P(A)＝eq\f(水样的体积,总体积)＝eq\f(2,1000)＝0.002.6．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]本题考查几何概型．设AC＝xcm，则BC＝(12－x)cm，∴x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10，故所求概率P＝eq\f(12－2－2,12)＝eq\f(2,3).二、填空题7.(2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]0.18[解析]由几何概型的概率可知，所求概率P＝eq\f(S阴,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∴.S阴＝0.18.8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的概率是____________．[答案]eq\f(3,8)[解析]由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))”．设圆的周长为C，则P(A)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)C＋\f(1,4)×\f(1,2)C,C)＝eq\f(3,8).三、解答题9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．[解析]由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．记“飞镖落在阴影内”为事件A，则P(A)＝eq\f(△ECD的面积,正方形的面积)＝eq\f(1,4).10.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析]设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).一、选择题1．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(3,5)[答案]B[解析]由图可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧BC上，eq\f(\x\to(BC),圆O周长)＝eq\f(1,2).故选B.2．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,4)[答案]B[解析]如图所示，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时∠BOC＝120°，则优弧BC＝eq\f(4,3)πR，∴满足条件的概率P＝eq\f(\f(4,3)πR,2πR)＝eq\f(2,3)，故选B.3．已知直线y＝x＋b在y轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]B[解析]由几何概型的概率公式知，所求概率P＝eq\f(3－1,3－－2)＝eq\f(2,5).4．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cmA．0 B．1C.eq\f(5,9) D．eq\f(4,9)[答案]C[解析]如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4cm的正方形)内，其概率为eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，故选C.二、填空题5．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是________．[答案]0.0008[解析]如图，设Ω为海域，A为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即P＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(40,50000)＝0.0008.6.(2014·重庆文，15)某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730～750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min到校的概率为________．(用数字作答)[答案]eq\f(9,32)[解析]设小张到校时间是730－750任意时刻y，小王到校时间是730－750任意时刻x，则x、y∈[0,20]的任意实数，因为x在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min”为事件A，即y－x≥5，如图所示Ω和事件对应测度为∴所求概率P(A)＝eq\f(\f(1,2)×15×15,20×20)＝eq\f(9,32).三、解答题7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．[解析]∵假设他在0min～60min这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．设事件A＝“等待时间不多于10min”，事件A发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6).8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点M，求使四棱锥M－