复数单元测试题+答案

复数单元测试题+答案第三章数系的扩充与复数的引入单元测试题姓名：___________班级：____________一、选择题（本题含有12个小题，每小题5分，共60分）1.复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数的（）是充分条件。2.设z1=3-4i,z2=-2+3i，则z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限。3.$\frac{1-3i}{3+i}=-\frac{13}{10}+\frac{3}{10}i$。4.复数z满足(1+2i)z=4+3i，那么$z=\frac{2-i}{5}$。5.如果复数$\frac{2}{n}-2bi$的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于$\frac{-3}{n}$。6.集合｛Z︱Z=i+i,n∈Z｝，用列举法表示该集合，这个集合是{...,2,-2,2i,-2i}。7.设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为2-3i,-3+2i，那么向量BA对应的复数是5-5i。8.复数z1=3+i,z2=1-i，则$z=z_1\cdotz_2=4-2i$在复平面内的点位于第一象限。9.复数$(a^2-a^{-2})+(a^{-1}-1)i$中，a≠0且a≠2。10.(1+i)的值为$2^{0.5}\cdote^{i\pi/4}$。11.对于两个复数$\alpha=-\frac{3}{4}+i\frac{1}{2}$，$\beta=-\frac{1}{2}-i$，有下列四个结论：①$\alpha\beta=1$；②$\alpha^2+\beta^2=1$；③$\beta^2=-1$；④$\alpha+\beta=1$，其中正确的结论的个数为2。12.1，a+bi，b+ai(a,b∈R,a≠0)是某等比数列的连续三项，则a,b的值分别为a=-1,b=1。二、填空题（本题含有4个小题，每小题5分，共20分）1.设z=2+3i，则$\overline{z}=2-3i$。2.设z=2-3i，则|z|=√(13)。3.设z=2(cosθ+isinθ)，则$\overline{z}=2(cosθ-isinθ)$。4.复数$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$在复平面内对应的点位于第一象限。13.设$z\in\mathbb{C}$，且$(1-i)z=2i$（其中$i$为虚数单位），则$z=\frac{2}{1-i}=1+i$，$|z|=\sqrt{2}$。15.已知复数$z$和$(z+2)^2-8i$均为纯虚数，则$z=-1\pm\sqrt{2}i$。16.设$Z_1=1+i$，$Z_2=-1+i$，复数$Z_1$和$Z_2$在复平面内对应点分别为$A$、$B$，$O$为原点，则$\triangleAOB$的面积为$4$。17.计算：$(1+2i)\cdoti^{17}=-2-2i$。18.已知复数$z=\frac{(2+i)^m-2(1-i)}{(1-i)(1+i)^2(6m-2(1-i))}$，当实数$m$取什么值时，复数$z$是：纯虚数。19.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}(2x-1)+i=y-(3-y)i\\(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i\end{cases}$有实根，求$a,b$的值。解：令两个方程的虚部相等，得到$4x-y+b=8$，代入第一个方程解得$y=2$，代入第二个方程解得$a=5$，$b=0$。20.已知$z_1=1-3i$，$z_2=6-8i$，若$\frac{z_1+z}{z_2+z}=\frac{1}{11}$，求$z$的值。解：移项化简得$z=\frac{13}{5}-\frac{3}{5}i$。21.复数$z=1+i$，求实数$a,b$使得$az+2bz=(a+2z)\overline{z}$。解：将等式两边都乘以$z$，得到$az^2+2bz^3=(a+2z)|z|^2$，代入$z=1+i$化简得$a=-2$，$b=1$。22.若$z+1-i=1$，求$z$的最大值和最小值。解：移项得$z=i$，则$|z+1-i|=|i+1-i|=\sqrt{2}$，故$z$的最大值为$i+\sqrt{2}$，最小值为$i-\sqrt{2}$。我的疑惑：无。15.解析：设$Z=bi$，代入得$b=-2$，故$Z=-2i$。16.解析：$\triangleAOB=\frac{1}{2}\times2\times2=1$。13.解析：设$Z=-1+i$，代入得$Z^2=2i$。17.解：$[(1+2i)\cdoti^{100}]/[(1-i)(52)(1+i)^2]-i=[(1+2i)\cdot1+(-i)^5]/2-i\cdot10=(1+i)-i\cdot10=1+2i/(1+i)^2$。18、解：由于$m\inR$，复数$z$可以表示为$z=(2+im)/(2-3m+i(-2+2))=(2m^2-3m-2)+(m^2-3m+2)i$。（1）当$m=2$时，$z=2$。（2）当$m^2-3m+2\neq0$，即$m\neq2$且$m\neq1$时，$z$为虚数。（3）当$2m^2-3m-2=0$，即$m=-1/2$时，$z$为纯虚数。（4）当$2m^2-3m-2=-(m^2-3m+2)$，即$m=1$或$m=2$时，$z$是为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。19.解：由等式得$\begin{cases}2x-1=y\\2x+ay=4x-y+b\end{cases}$，代入得$5+4a-10i=9-8i$，解得$a=1$，$b=2$。则$x=2$，$y=3$，得$z=2+3i$。20、解：由$z_1=1-3i$，得$z_1=1+i$；由$z_2=6-8i$，得$z_2=2-2i$。则$\frac{z_1+1}{z_2+2}=\frac{1+2i}{5i}$，解得$z=-\frac{22}{5}+\frac{10}{5}i$。21.解析：设$z=x+yi$，则$|z+1-i|=|z-(-1+i)|=1$，即$z$在以$(-1,i)$为圆心，$1$为半径的圆上。设$z=x+yi=-1+\cos\theta+i\sin\theta$，则$x=-1+\cos\theta$，$y=\sin\theta$。代入得$\cos\theta+\sin\theta=0$，解得$\theta=-\pi/4$或$5\pi/4$，即$z=-1+\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)=-1-\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2$或$z=-1+\cos(5\pi/4)+i\sin(5\pi/4)=-1+\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2$。文章修改如下：对应的点的轨迹是以复数-1+i对应的点为圆心，以1为半径的圆。而|z|表示该圆上的点到原点O的距离。下