2022-2023学年湖南省郴州市永兴县重点中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年湖南省郴州市永兴县重点中学八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是(

)A.16(1−x)2=9 B.16(1−x2)=92.同时满足直线l1：y=x−2直线l2：y=−2的图象是(

)A. B.

C. D.3.若a，b是菱形ABCD两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2−14x+48=0的两个根，则菱形ABCD的周长为(

)A.16 B.417 C.44.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，且直线l过点(−2,0)，则下列结论错误的是(

)A.kb>0

B.直线l过坐标为(1,3k)的点

C.若点(−6,m)，(−8,n)在直线l上，则n>m

D.−55.将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m)A.(x+3)2=17 B.(x+3)2=6.如图，某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元，一个月本地网内打出时间t(分)与打出电话费S(元)的函数关系图象，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差(

)A.10元

B.15元

C.20元

D.25元7.已知关于x的方程(k−1)x2−kx+2=0A.k≤87 B.k≤87且k≠1

C.0≤k≤88.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1,0)，B(7,0)，C(1,8)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x−6上时，线段BC扫过的面积为(

)A.36

B.48

C.162

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.已知一直线y=kx+b平行于直线y=−3x+4，且与直线y=2x−6的交点在x轴上，则这条直线的解析式______．10.已知a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，则a2−b−3的值是11.如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A坐标为(6,0)，C点坐标为(2,2)，若直线y=mx+2平分平行四边形OABC的面积，则m的值为______．

12.如图，直线y=kx+b与直线y=−x相交于点A，则关于x的不等式0<−x<kx+b的解集为______．

13.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2−16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是______．14.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(4,3)，点D为对角线OB上一点.若OA=OD，则点D到x轴的距离为______．

15.非零实数m，n(m≠n)满足m2−m−2=0，n2−n−2=0，则1m+16.已知关于x，y的二元一次方程组x+y=2a+1x−y=2−3a的解都为非负数，若W=a−2，则W的最大值为______．三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

用适当的方法解下列方程：

(1)x2+4x−6=0；

18.(本小题6.0分)

已知关于x的函数y=(3m+1)x−(m−1)．

(1)若函数为正比例函数，求m的值；

(2)若y随x的增大而减小，求m的取值范围．19.(本小题6.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=−x+b过点A，且与直线y2=x+3相交于点B(m,2)，直线y2=x+3与x轴相交于点C．

(1)求m的值．

(2)求△ABC的面积．

(3)根据图象，直接写出关于x的不等式20.(本小题8.0分)

某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”.学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套．

(1)A、B两类图书每套分别是多少元？

(2)现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．21.(本小题8.0分)

已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0，

(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC22.(本小题8.0分)

等边△ABC，边长为6cm，点P从点C出发以1cm/s向点B运动，同时点Q以2cm/s向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．

(1)求当△PBQ为直角三角形时的时间t s；

(2)△PBQ的面积能否为43，若存在求时间t23.(本小题8.0分)

如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线AC关于y轴对称．

(1)求直线BC的解析式．

(2)若点P(m,2)在△ABC的内部，求m的取值范围．

(3)若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1：3，直接写出L的解析式．24.(本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=13x+3与坐标轴交于A，B两点，直线l2：y=−23x与直线l1交于点C．

(1)求C点坐标；

(2)在x轴上有一点D，D在B的右侧，若S△ACD=5，求D点坐标；

(3)在第(2)小题的条件下，点E的坐标为(6,0)25.(本小题10.0分)

已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根．

(1)试求k的取值范围；

(2)若x12+x22=10，求k的值；

26.(本小题12.0分)

如图，函数y=−43x+8的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．

(1)求点A、B的坐标；

(2)求△ABC的面积；

(3)点P在坐标平面内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出点P的坐标．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：根据题意得：16(1−x)2=9，

故选：A．

设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1−x)，第二次后的价格是16(1−x2.【答案】D

【解析】解：∵直线l1：y=x−2，

∴该直线经过第一、三、四象限，

∵直线l2：y=−2，

∴该直线经过第三、四象限，且平行于x轴，

故选：D．

根据一次函数的性质和题目中的给出的函数解析式，可以写出其经过的象限，然后即可判断哪个选项符合题意．3.【答案】D

【解析】解：∵a，b为一元二次方程x2−14x+48=0的两根，

∴a+b=14，ab=48，

∴(a2)2+(b2)2

=a24+b24

=14(a2+b2)

=144.【答案】D

【解析】解：∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，

∴k<0，b<0，

∴kb>0，故A正确，不符合题意；

将点(−2,0)代入y=kx+b，得：0=−2k+b，

∴b=2k，

∴直线l的解析式为y=kx+2k，

当x=1时，y=k+2k=3k，

∴直线l过坐标为(1,3k)的点，故B正确，不符合题意；

由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，

又∵−6>−8，

∴n>m，故C正确，不符合题意；

∵该函数y的值随x的增大而减小，且当x=−2时，y=0，

∴当x=−52时，y>0，即−52k+b>0，故D错误，符合题意．

故选：D．

根据函数图象可知k<0，b<0，即得出kb>0，可判断A；将点(−2,0)代入y=kx+b，即得出b=2k，即直线l的解析式为y=kx+2k，由当x=1时，y=k+2k=3k，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出n>m，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当x=−2时，y=0，即得出当x=−52时，y>0，从而可判断D．

本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出k<05.【答案】D

【解析】解：2x2−12x+1=0，

x2−6x=−12，

x2−6x+9=−12+9，

(x−3)2=6.【答案】A

【解析】解：设A种方式直线的解析式为：y1=k1x+b1，B种方式直线的解析式为：y2=k2x，由图象可得：

30=100k1+b120=b1或30=100k2，

解得：k1=0.1b1=20，k2=0.3，

7.【答案】D

【解析】解：∵关于x的方程(k−1)x2−kx+2=0有两个实数解，

∴Δ=(−k)2−4(k−1)×2≥0且k−1≠0，k≥0，

解得：0≤k≤87且k≠1，

故选：D．

8.【答案】B

【解析】解：将y=8代入y=2x−6得8=2x−6，

解得x=7，

∴点C向右平移7−1=6单位，

∴线段BC扫过的面积为6×8=48．

故选：B．

将点C纵坐标8代入直线解析式，可得BC向右平移的长度，根据平行四边形面积=底×高求解．

本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．9.【答案】y=−3x+9

【解析】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=−3x+4，

∴直线y=kx+b与直线y=−3x+4斜率相等，

∴k=−3，

直线y=2x−6与x轴的交点为(3,0)，

∴直线y=kx+b过(3,0)点，

∴−3×3+b=0，

∴b=9，

∴这条直线的解析式为：y=−3x+9．

故答案为：y=−3x+9．

根据两直线平行斜率相等和x轴上点的特点分析即可．

本题考查一次函数的性质，知道两直线平行斜率相等和x轴上点的特点是关键．10.【答案】1

【解析】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，

∴a+b=−1，

把x=a代入方程得：a2+a−3=0，即a2=3−a，

则原式=3−a−b−3

=−(a+b)

=1．

故答案为：1．

利用根与系数的关系求出11.【答案】−1【解析】解：连接CA、OB交于点G，

则点G的坐标为(4,1)，

∵直线y=mx+2平分▱OABC的面积，

∴直线y=mx+2经过点G，

则1=4m+2，

解得m=−14．

故答案为：−14．

连接CA、OB交于点G，根据题意得到直线y=mx+2经过点G，根据点A坐标为(6,0)，C点坐标为(2,2)求出点G12.【答案】−2<x<0

【解析】解：把y=2代入y=−x中，得：2=−x，

解得：x=−2；

根据图象可知，直线y=kx+b在y=−x上面的部分，且直线y=−x在x轴上面部分的图象所对应的自变量为0<−x<kx+b的解集：

即：不等式0<−x<kx+b的解集为：−2<x<0；

故答案为：−2<x<0．

以两函数图象交点为分界，比较直线y=kx+b在y=−x上面的部分，再以y=−x与x交点为分界，比较直线y=−x在x轴上面部分，同时满足的自变量x的取值即为不等式的解集．

本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．13.【答案】24或8【解析】解：∵x2−16x+60=0，

∴(x−6)(x−10)=0，

解得：x1=6，x2=10，

当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD是高，

∴BD=4，AD=AB2−BD2=25，

∴S△ABC=12BC⋅AD=12×8×25=85；

当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，

∵AC214.【答案】125【解析】解：∵点B的坐标为(4,3)，

∴由待定系数法可得直线OB的解析式为y=34x，

设点D到的坐标为(a,34a)，

∴a2+(34a)2=42，

解得a=165或−165(舍弃)，

∴点D到x轴的距离为点D的纵坐标34a=34×1615.【答案】−1【解析】解：∵实数m，n(m≠n)满足等式m2−m−2=0，n2−n−2=0，

∴m，n是方程x2−x−2=0的两实数根，

∴m+n=1，mn=−2，

∴1m+1n=m+nmn=1−2=−12，16.【答案】1

【解析】解：x+y=2a+1①x−y=2−3a②，

解得：x=3−a2y=5a−12，

∵二元一次方程组的解都为非负数，

∴x=3−a2≥0y=5a−12≥0，

解得：15≤a≤3．

∵W=a−2，W随a的增大而增大，

∴当17.【答案】解：(1)x2+4x−6=0

∵a=1，b=4，c=−6，

∴Δ=42−4×1×(−6)=40，

∴x=−b±b2−4ac2a=−4±402=−2±10，

∴x1=−2+10，x2【解析】(1)利用公式法解方程即可；

(2)整理后，利用因式分解法解方程即可．

此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵关于x的函数y=(3m+1)x−(m−1)是正比例函数，

∴m−1=0，

解得：m=1，

∴m的值为1；

(2)∵y随x的增大而减小，

∴3m+1<0，

∴m<−13，

∴m的取值范围为m<−【解析】(1)利用正比例函数的定义，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值；

(2)利用一次函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及正比例函数的定义，解题的关键是：(1)牢记“一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数”；(2)牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b；(3)牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”．19.【答案】解：(1)∵直线y2=x+3过点B(m,2)，

∴2=m+3，

解得：m=−1．

(2)∵直线y1=−x+b过点B(−1,2)，

∴2=1+b，

解得：b=1，

∴直线y1的解析式为y1=−x+1．

当y1=−x+1=0时，x=1，

∴点A的坐标为(1,0)；

当y2=x+3=0时，x=−3，

∴点C的坐标为(−3,0)，

∴AC=1−(−3)=4，

∴S△ABC=12AC⋅【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，难度不大．

(1)由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m值；

(2)由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的值，由点A、B、C的坐标利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；

(3)根据两直线的上下位置关系结合点B的横坐标，即可得出不等式的解集．20.【答案】解：(1)设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，

根据题意得：4000x−30001.5x=20，

解得x=100，

经检验，x=100是原方程的解，

此时1.5x=150，

答：A种图书每套150元，B种图书每套100元；

(2)设学校购买A种图书a套，则购买B种图书(60−a)套，购买图书的总费用为y元，

由题意得：y=150a+100(60−a)=50a+6000，

∵50>0，

∴y随x的增大而增大，

∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半，

∴a≥12(60−a)，

解得a≥20，

∴当a=20时，y最小，最小值为7000，

此时60−20=40(套)，

答：学校购买A种图书20【解析】(1)设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，根据用4000元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根；

(2：设学校购买A种图书a套，则购买B种图书(60−a)套，购买图书的总费用为y元，根据总费用=两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于B种图书数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值．

本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．21.【答案】(1)证明：∵Δ=b2−4ac=(3k−2)2−4⋅(−6k)=9k2−12k+4+24k=9k2+12k+4=(3k+2)2≥0

∴无论k取何值，方程总有实数根．

(2)解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．

∴(3k+2)2=0，解得：k=−23．

此时原方程化为x2−4x+4=0

∴x1=x2=2，即b=c=2．

此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；

②若a=6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6

代入方程：62+6(3k−2)−6k=0

∴k=−2

则原方程化为x2−8x+12=0

(x−2)(x−6)=0

∴x【解析】(1)计算方程的根的判别式，若Δ=b2−4ac≥0，则证明方程总有实数根；

(2)已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC22.【答案】解：(1)根据题意有PC=t cm，BQ=2t cm，即BP=BC−PC=(6−t)cm，

∵0<BQ=2t≤AB=6，

∴0<t≤3，

当△PBQ为直角三角形，且∠PQB=90°时，如图，

∵等边△ABC中，∠ABC=60°，

∴∠QPB=30°，

∴QB=12PB，

∴2t=12(6−t)，

解得：t=65；

当△PBQ为直角三角形，且∠QPB=90°时，如图，

∵等边△ABC中，∠ABC=60°，

∴∠PQB=30°，

∴12QB=PB，

∴2t×12=6−t，

解得：t=3；

即t的值为65或者3；

(2)存在，理由如下：

过Q点作QM⊥BC于点M，如图，

∵∠ABC=60°，∠QMB=90°，QB=2t，

∴∠MQB=30°，

∴MB=12BQ=t

cm，

∴QM=BQ2−BM2=3t

cm，

∵BP=6−t，

∴S△PQB=12【解析】(1)根据题意有PC=t cm，BQ=2t cm，即BP=BC−PC=(6−t)cm，即可得0<t≤3，分当△PBQ为直角三角形，且∠PQB=90°时和当△PBQ为直角三角形，且∠QPB=90°时，两种情况讨论，根据含30°角的直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；

(2)过Q点作QM⊥BC于点M，先求出∠MQB=30°，即有MB=12BQ=t，进而有QM=BQ2−BM2=323.【答案】解：(1)在y=x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=−3，

∴A(−3,0)，C(0,3)，

∵直线BC与直线AC关于y轴对称，

∴点B与点A关于y轴对称，

∴B(3,0)，

设直线BC的解析式为y=kx+b，把点C(0,3)和点B(3,0)的坐标代入得：

3=b3k+b=0，

解得k=−1b=3，

∴直线BC的解析式为y=−x+3；

(2)当点P在直线CA上时，m+3=2，

解得m=−1，

当点P在直线BC上时，−m+3=2，

解得m=1，

∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是−1<m<1；

(3)∵A(−3,0)，C(0,3)，B(3,0)，

∴S△ABC=12×6×3=9；

①设直线L交AC于K，S△AOK：S四边形KOBC=1：3，过K作KH⊥AB于H，如图：

∴S△AOK=14S△ABC=94，

∴12×3×KH=94，

∴KH=32，

在y=x+3中，令y=32得x=−32，

∴K(−32,32)，

设直线L解析式为y=px，

∴32=−32p，

解得p=−1，

∴直线L解析式为y=−x；

②设直线L交BC于T，S△BOT：S四边形AOTC=1：3，过T作TH′⊥AB于H′，如图：

同理可得【解析】(1)求出A(−3,0)，C(0,3)，由直线BC与直线AC关于y轴对称，得B(3,0)，用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−x+3；

(2)当点P在直线CA上时，m=−1，当点P在直线BC上时，m=1，即可得当点P在△ABC的内部时，m的取值范围是−1<m<1；

(3)求出S△ABC=12×6×3=9；分两种情况：①设直线L交AC于K，S△AOK：S四边形KOBC=1：3，过K作KH⊥AB于H，求得K(−32,32)，即得直线L解析式为y=−x；②设直线L交BC于T，S△BOT：S24.【答案】解：(1)联立直线l1和l2得y=13x+3y=−23x，

解得x=−3y=2，

∴C(−3,2)；

(2)设点D的横坐标为m，如图，

∵直线l1：y=13x+3与坐标轴交于A，B两点，

把x=0代入得：y=3，

把y=0代入得0=13x+3，

解得：x=−9，

∴A(0,3)，B(−9,0)，

∵C(−3,2)，

∴S△ACD=S△ABD−S△BCD=12×3(m+9)−12×2(m+9)=5，

解得：m=1，

∴D点的坐标为(1,0)；

(3)∵A(0,3)，E(6,0)，

∴AE=32+62=35；

当AE=EF时，如图所示：

∵EO⊥AF，

∴AO=OF=3，

∴此时点F的坐标为(0,−3)；

当AE=AF，点F在点A下面时，如图所示：

∵AE=AF=35，OA=3，

∴OF=35−3，

∴此时点F的坐标为(0,3−35)；

当AE=AF，点F在点A上面时，如图所示：

∵AE=AF=35，OA=3，

∴OF=35+3，

∴此时点【解析】(1)联立直线l1和l2，解方程组即可得出点C的坐标；

(2)设点D的横坐标为m，求出点A、B的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可得出结论；

(3)分四种情况：当AE=EF时，当AE=AF，点F在点A下面时，当AE=AF，点F在点A上面时，当E