高数数学第四章d4习题课

一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分习题课不定积分的计算方法第四章一、求不定积分的基本方法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:x

=j

(t))3.

分部积分法使用原则:1)

由

v

易求出

v

;2)

u¢v

dx

比好求.一般经验:

按“反,

对,

幂,

指

,

三”

的顺序,排前者取为

u

,

排后者取为v

.

u

v¢dx

=

u

v

-

u¢v

dx例1.

求2x3x2

x3

+

2解:

原式=

33(2)

x1

+

(2)2

x

dx

=

=3331

+

(2)2

xd

(2)

xln

21

dax

=

ax

ln

a

dx2

x

dxln

2

-

ln

3=

3

+

Carctan(

2

)x例2.

求解:1221+

x

)

+

5]原式=

[ln(x

+2x

+

1+

x2)

dx2x2

1+x2(1

+dx1

+

x2=32=

2

[ln(x

+1+

x

)

+

5

]

+

C23分析:d

[

ln(x

+

1

+

x

)

+

5]

=1

+

x2

)

+

5]d

[

ln(x

+例3.

求解:x

x2

dxcos2x2

cos2x

+

2sin原式=

=x2x

d

tandxx2tan

2+2=

x

tan

x

+

C分部积分例4.

设解:求积分令x

-y=t

,即y=x

-tt3x

=

,t

2

-1y

t

t

2

(t

2

-

3)=

,

而

dx

=

d

tt

2

-1

(t

2

-1)2\

原式=

dt(t

2

-1)21

t

2

(t

2

-

3)t3-t

2

-1

t

2

-13t2=

1

ln

(x

-

y)2

-1

+

C例5.

求解:

原式

=

-

arctan

ex

de-xx-x-x=

-e

arctan

e

+

eexdx1

+

e2

xx-x=

-e

arctan

edx1

+

e2

x(1

+

e2x

)

-

e2x+

2=

-e-x

arctan

ex

+

x

-

1

ln

(1+

e2

x

)

+

C例6.设证:证明递推公式:1n

-

2x

tan

x

+

I

(n

‡

2)n

-1

n

-1n-2n-2In

=

sec=

secn-2

x

tan

x-(n

-

2)

In+(n

-

2)

In-2In

=

secn-2

x

sec2

x

dx=

secn-2

x-(n

-

2)

secn-3

x

sec

x

tan

x=

secn-2

x

tan

x-(n

-

2)

secn-2

x

(sec2

x

-1)

dx例7.

设为的原函数,且求解:

由题设

F

(x)

=

f

(x),

则故即,因此故又二、几种特殊类型的积分1.

一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换需要注意的问题一般方法不一定是最简便的方法

,

要注意综合 使用各种基本积分法,

简便计算

.初等函数的原函数不一定是初等函数,因此不一 定都能积出.例如,

1

-

k

2

sin

2

x

dx

(0

<

k

<1)

,比较同类项系数A

-

B

=

-1,

故

A

=1,

B

=

2∴原式=

dx

+2

d(cos

x

+sin

x)cos

x

+

sin

x=

x

+

ln

cos

x

+

sin

x

+

Cc

cos

x

+

d

sin

x说明:此技巧适用于形为

a

cos

x

+b

sin

x

dx

的积分.例8.

求解:

令

3cos

x

-

sin

x=

A(cos

x

+

sin

x)

+

B(cos

x

+

sin

x)=

(

A

+

B)

cos

x

+(

A

-

B)sin

xA

+

B

=

3=

a

cos

x

+

b

sin

xsin

x1例9.

求I解：因为cos

xI2

=

a

cos

x

+

b

sin

x

dx

.dx

及

a

cos

x

+

b

sin

x

dxa

cos

x

+

b

sin

x

b

cos

x

-

a

sin

x

d

xa

cos

x

+

b

sin

x例10.

求不定积分解:原式

1

=

A

+

B

+

C (2+u)(u2

-1) 2

+u u

-1

u

+1d

x(a

-

b

„

kp

)sin(x

+

a) sin(x

+

b)例11.求I

=

sin(x

+

a) sin(x

+

b)

sin[(x

+

a)

-(x

+

b)]

d

x1sin(a

-

b)d

x1

sin(x

+

a) sin(x

+

b)=sin(x

+

a)cos(x

+

b)-

cos(x

+

a)sin(x

+

b)sin(a

-

b)1=[

cos(x

+

b)

d

x

-

cos(x

+

a)

d

x=sin(x

+

b) sin(x

+

a)[ln sin(x

+

b)

-

ln sin(x

+

a)

]+

Csin(a

-

b)1+

C=sin(x

+

a)sin(a

-

b)sin(a

-

b)1

ln

sin(x

+

b)解:I

=例12.

求x-b解:

I

=

(x

-

a)

(x

-

b)

n

x-adx(n

为自然数)令则dxa

-

b(x

-

b)2ntn-1

dt

==t

2a

-

bb

-

a

tn

dt

=

n1

+

Cf

(

x)1)

h1=e

x

,求f

(x).f

(

x

+

hx

)例13(2002)已知函数f

(x)在(0,+¥

)内可导，f

(x)>0,f

(x)=1,且满足lim(h

fi

0limx

fi

+¥lnh f

(

x

)f

(

x

)1

f

(

x

+

hx

)f

(

x

+

hx

)1)

h

,

则

ln

y

=解：设y

=(hxf

(

x)lnx(ln

f

(

x

+

hx)

-

ln

f

(

x))1

f

(

x

+

hx)lim

ln

y

=

lim=

limhfi

0hfi

0

hhfi

01e

x

[ln

f

(

x

)]¢

=

e

x由已知条件得1

[ln

f

(

x)]¢=

,x

21)

hlim

(hfi

0=

x[ln

f

(

x)]=

e

x

[ln

f

(

x

)]¢

f

(

x

+

hx

)

f

(

x

)1-f

(

x)

=

Ce

xlim

f

(

x)

=

1

C

=

1,xfi

+¥x1-f

(x)

=

e例14

(2002

,6)设f

(sin

2

x

)

=

x

,求

x

f

(

x

)dx1

-

xu

,

x

=

arcsin

u

,sin

x解：令

u

=

sin

2

x

,

sin

x

=u

xf

(u)

=

arcsin

u

,即f

(

x

)

=

arcsin

xx

dx

x