（新教材）【人教A版】必修一3.2.2.1（数学）

3.2.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念1.函数的奇偶性前提函数f(x)的定义域为I,∀x∈I,都有-x∈I条件f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)结论函数f(x)叫偶函数函数f(x)叫奇函数【思考】(1)如果定义域内存在x0,满足f(-x0)=f(x0),函数f(x)是偶函数吗?提示:不一定,必须对于定义域内的任意一个x都成立.(2)函数的奇偶性定义中,对于定义域内任意的x,满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),那么奇、偶函数的定义域有什么特征?提示:奇、偶函数的定义域关于原点对称.2.图象特征(1)偶函数的图象关于y轴对称.(2)奇函数的图象关于原点对称.【思考】如果奇函数在x=0处有定义,则其图象有什么特征?提示:图象过原点,即f(0)=0.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)奇函数的图象一定过原点. (

)(2)若对于定义域内的任意一个x,都有f(x)+f(-x)=0,则函数f(x)是奇函数. (

)(3)若函数f(x)的图象关于y轴对称,则该函数是偶函数,若关于原点对称,则该函数是奇函数. (

)提示:(1)×.不一定,如函数f(x)=.(2)√.若f(x)+f(-x)=0,则f(-x)=-f(x).(3)√.由奇函数、偶函数图象的特征可知正确.2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (

)【解析】选B.B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数且f(2)=3,则f(-2)=________.

【解析】因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-3.答案:-3类型一函数奇偶性的判断【典例】1.函数f(x)=-2x的图象关于 (

)A.y轴对称 B.直线y=-x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称2.判断下列函数的奇偶性: 世纪金榜导学号(1)f(x)=2-|x|.(2)f(x)=(3)f(x)=.(4)f(x)=

【思维·引】1.先判断函数的奇偶性,再判断图象的对称性.2.根据函数奇偶性的定义判断.【解析】1.选C.函数的定义域{x|x≠0},因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)=+2x==-f(x),所以f(x)为奇函数,故图象关于坐标原点对称.2.(1)函数f(x)的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R且f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)函数f(x)的定义域为{-1,1},因为∀x∈{-1,1},都有-x∈{-1,1},且f(x)=0,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},因为∃x=-1∈但-x=1∉{x|x≠1},所以f(x)是非奇非偶函数.(4)方法一:作出函数f(x)的图象如图此函数的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.方法二:f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),因为∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.【内化·悟】函数具有奇偶性的前提是什么?提示:函数的定义域D应满足∀x∈D都有-x∈D.【类题·通】判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:【发散·拓】奇偶函数的运算如果两个函数具有奇偶性,且有共同的定义域,则两个函数加、减、乘、除后,得到的函数的奇偶性有以下规律:偶±偶=偶、奇±奇=奇、偶×偶=偶、偶×奇=奇、奇×奇=偶,相除时类似于相乘的情况.【延伸·练】已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且它们都恒不为0,则f(x)·g(x)的奇偶性为 (

)A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.不能确定【解析】选A.F(x)=f(x)·g(x),则F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),故为奇函数.

【习练·破】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2(x2+2).(2)f(x)=【解析】(1)函数f(x)=x2(x2+2)的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),所以f(x)=x2(x2+2)为偶函数.(2)函数f(x)=的定义域为(-1,1),因为∀x∈(-1,1),都有-x∈(-1,1),且f(-x)=所以f(x)=为奇函数.【加练·固】函数f(x)=+x2的图象关于 (

)A.y轴对称 B.直线y=-x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称【解析】选A.f(x)的定义域为{x|x≠0},因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},又f(-x)=+(-x)2=+x2=f(x).所以f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称.类型二奇偶函数图象的应用【典例】1.如图给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f(1)等于 (

)A.-4

B.-2

C.2

D.42.设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],且f(3)=0,当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是________. 世纪金榜导学号

【思维·引】1.借助奇函数的对称性,找到f(1)与f(-1)的关系.2.应用偶函数图象的对称性解不等式.【解析】1.选B.由函数的图象可得f(-1)=2,又由函数为奇函数,则f(1)=-f(-1)=-2.2.因为f(x)为偶函数,且由图象可得在(0,3)上,f(x)<0,在(3,5]上,f(x)>0,则在[-5,-3)上,f(x)>0,在(-3,0)上,f(x)<0,xf(x)<0⇔

或所以-5≤x<-3或0<x<3,即不等式的解集为[-5,-3)∪(0,3).答案:[-5,-3)∪(0,3)【内化·悟】怎样作具有奇偶性的函数的图象?提示:先判断函数的奇偶性,作函数在y轴右侧的图象,根据奇偶性得到函数在y轴左侧的图象.【类题·通】1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察.【习练·破】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出函数y=f(x)的完整图象.(2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间.(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.【解析】(1)由题意作出函数图象如图:(2)据图可知,单调增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).【加练·固】定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象.(2)解不等式xf(x)>0.【解析】(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图:(2)xf(x)>0即图象上的点的横坐标、纵坐标同号,结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).类型三利用函数奇偶性求值角度1利用奇偶性求参数值【典例】已知函数f(x)=x3+(a+1)x2的图象关于原点中心对称,则a= 世纪金榜导学号(

)A.1

B.-1

C.-2

D.2【思维·引】根据图象,先判断奇偶性,再根据定义求值.【解析】选B.因为函数图象关于原点中心对称,所以函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),得-x3+(a+1)x2=-x3-(a+1)x2,即(a+1)x2=0,即a+1=0,得a=-1.【素养·探】在利用奇偶性的过程中,需要用到核心素养中的逻辑推理,将奇偶性转化为相应的等式,通过逻辑推理、计算求参数的值.若将本例中的条件改为函数f(x)=ax2+(a-1)x+2是偶函数,试求a的值.【解析】若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)2-(a-1)x+2=ax2+(a-1)x+2,即(a-1)x=0对于x∈R恒成立,则a-1=0,a=1.角度2利用奇偶性求函数值【典例】1.已知函数f(x)=ax3+bx-2,f(2018)=3,则f(-2018)= (

)A.-7

B.-5

C.-3

D.-22.(2019·龙岩高一检测)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则f(1)+g(1)= (

)A.-3

B.-1

C.1

D.3【思维·引】1.利用f(2018)=3求出要求式子的值,再代入f(-2018)求值.2.利用奇偶函数的定义构造f(x)+g(x)后求值.【解析】1.选A.因为f(2018)=3,所以f(2018)=20183a+2018b-2=3,所以20183a+2018b=5,所以f(-2018)=-20183a-2018b-2=-5-2=-7.2.选B.由f(x)-g(x)=x3+x+1,将所有x替换成-x,得f(-x)-g(-x)=-x3-x+1,根据f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),得f(x)+g(x)=-x3-x+1,再令x=1,计算得f(1)+g(1)=-1.【类题·通】1.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.2.利用奇偶性求函数值的思路(1)已知f(a)求f(-a):判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数,利用奇偶性找出f(a)与f(-a)的关系即可.(2)已知两个函数的奇偶性,求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值,可用-x替换x后使用奇偶性变形,进而与原函数联立,解方程组即可.【习练·破】1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>1时,f(x)=-1,则f(-2)= (

)A.

B.

C.0

D.

【解析】选B.根据题意,当