根与系数的关系

#一元二次方程根与系数对于一元二次方程用+处+2叫心0），当判别式△=宀4处工°时，其求根公式为：TOC\o"1-5"\h\z-b土-4恥hcx=X,+X.=-—&•心二一CTT1-uL11加；若两根为1'°,当时，则两根的关系为：左；区，haX]+兀二一—xx-x2=—根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当尬，尬时，那么X]、花则是+^=0（^^0）的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程曲+血+讥7根的判别式心二护一仏存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程卅+肚+"巩"0）的两个根珥和毛，进而分解因式，即“忑+办忑+己二砒^—心）（忑—心）。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于兀的方程（1）兀—（1—2国兀斗圧_3=0有两个不相等的实数根，且关于兀的方程（2）怎工+2&-1=0没有实数根，问血取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1）,（2）条件的出的取值范围中筛选符合条件的盘的整数值。解：•・•方程（1）有两个不相等的实数根，13.・.纠=[71-加）尸_43_为沁解得；”^丁••方程（2）没有实数根，.・宀二（-2尸-4（加-1）C0解得厲°1；于是，同时满足方程（1）,（2）条件的&的取值范围是4其中，左的整数值有位二或“3当"2时，方程（1）为X+张+1=0，无整数根；当ffl=3时，方程（1）为兀+乐+6=°，有整数根。解得：心二仝，也二-3所以，使方程（1）有整数根的曲的整数值是a=3o说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定吃的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出区二？，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程2朮十U0两根的符号。分析：对于靳+加+己=°（/^0）来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定叫卞或两+心的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定X「也或的正负情况。解：■7=0,.・仏=带—4&心—7）=65>0・••方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为X1'无，...X厂花-2<0.•.原方程有两个异号的实数根。'x2=—<0TOC\o"1-5"\h\z说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，⑴若盘，古C心十=-—>0xi'=—0则方程有一正一负根；（2）若①，a，则方程有两个正根；⑶若电c眄十工］=_—■（0=—>0门，“，则方程有两个负根.三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程*-族+賦-加十舄°的一个根为2,求另一个根及喘的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把*二2代入原方程，先求出将的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及胸的值。解法一：把A=2代入原方程，得：22—6x2+—2m+5=0即—2m—3=0解得叫二.叫二-1当础二久叫二-1时，原方程均可化为：?-6x+8=0，解得：珂二沢%二4.・.方程/-族+賦-亦+3=0的另一个根为4,喘的值为3或一1。解法二：设方程的另一个根为花，根据题意，利用韦达定理得：珂+冷二一（一Q=6-2m-\-5

•••珂二2,.・.把珂二2代入^1+^=-(-6)=6,可得：心二4・•・把心"代入"=42心,可得：沪_2陀+卩比即輕2_2出—3=0解得邂1=3，^2二_〔.・.方程戏-张+肿-加十5二0的另一个根为4,胸的值为3或_1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程兀+2脚—那5+4=0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求搐的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系"两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于喘的方程，即可求得胸的值。解：•・•方程有两个实数根，AA=[2^-2)f-4xlx(^2+4)>0解这个不等式，得胸W0设方程两根为羽‘花则兀1十花二一则兀1十花二一2(陀一2)兀1-X)..两2+吃？_忑_花=21.[-2(m-2)f-3(m2+4)=21••整理得:解得:解得:说明：当求出哄1=1八叫二T后，还需注意隐含条件腆兰°,应舍去不合题意的^=17o四、运用判别式及根与系数的关系解题。22例5：已知心、乃是关于兀的一元二次方程4"+讯那-l)x+刑=0的两个非零实数根，问心和乃能否同号？若能同号，请求出相应的胸的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于兀的-元二次方程T瓏-5+宀口有两个非零实数根，.则有宜二[4(期一1)『一4x4^--32m4-16>0m<—•2•♦又T®戶是方程处+4(忍-1)2刑=°的两个实数根，所以由-元二次方程根与系数的关系，可得:

心+也二-働一1）.並.七二”假设心、衍同号，则有两种可能:若心壮宀^，则有:+x2<0若心壮宀^，则有:+x2<0-x2>0即有:-(m-T)<0\]>0L4解这个不等式组，得廉m<—2m<—2时方程才有实树根,・•・此种情况不成立。则有:即有:一（阳一1）即有:一（阳一1）〉0\]>0L4解这个不等式组，得廉€1<—锲兰丄<—锲兰丄又•・•2当2时,两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程护—陀怎+亍+嗨=。和兀一（7聊+1衣+1弓勰+7=°至少有一个相同的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为①时，根据根的意义，可以构成关于①和喘的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为①，根据根的意义，

有口'一嗨0；+亍+陀=0aP一(7唧+1)13^+7=0两式相减，得（帥+im）1懦二一一当陥+1=0时，6,方程的判别式A=(-m)2-4(胡+耳二〔一丄尸-4(-l+5)=—-—cO66363方程无实数解—W当6哄+1=0时，有实数解6炖十1代入原方程，得护—峨咒2十刁十陀二0,所以忍二9于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为（5+^）（13^+7）=14x124=1736说明：（1）本题的易错点为忽略对6m+1=0的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认&哄+1芒°的错误，甚至还会得出并不存在的解：1m=——根也相同，所以4个根的相乘积为:（唧二（一；+为2根也相同，所以4个根的相乘积为:（唧二（一；+为2二（弓）66841乔.9（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件:A1-（一勰）3一4（瓏+5）=m2-Am-20>0且A2=[-（7^+1）]2=-38^-27>0另外还应注意：求得的胸的值必须满足这两个不等式才有意义。一、填空题：2TOC\o"1-5"\h\z1、如果关于龙的方程X+紐+力=°的两根之差为2，那么。Q2、已知关于雄的一元二次方程3一⑴7&+5+1=。两根互为倒数，贝^=1132—十—二__3、已知关于工的方程孟一阴"2脚一—°的两根为珂、亏，且羽花4,则。4、已知珂、花是方程X-九-4=°的两个根，那么：珂+心二；

5、已知关于X的一元二次方程険/-虹-6二0的两根为两和毛，且珂+可二-2,则锲=（x1+x2户矶二TOC\o"1-5"\h\z;。6、如果关于龙的一元二次方程斥+禺兀+"0的一个根是1一旋，那么另一个根是，的值为。7、已知并占是川一纸+应二°的一根，则另一根为，疋的值为。8、一个一元二次方程的两个根是2+丙和2_軀，那么这个一元二次方程为：。二、求值题：1、已知X】、花是方程卅-孙-1=°的两个根，利用根与系数的关系，求輒％+呼:的值。2、已知/花是方程谿-4-1二°的两个根，利用根与系数的关系，求（X-璟尸的值。252,253、已知/花是方程去十％-4二°的两个根，利用根与系数的关系，求羽内十心F的值。4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。5、已知关于x的方程只—（觀—1）忑5+1=°的两根满足关系式珂-冷二I求烧的值及方程的两个根。6、已知方程戏十加十4二°和*--°有一个相同的根，求蹴的值及这个相同的根。答案与提示：一、填空题：..（_刖_僦=4,解得：—8-^=1，-^=1，_H兀1+兀？=~22、提示：两•心二，由韦达定理得：a一1爼+1解得：储二土庞，代入兀］+兀―~2解得：储二土庞，代入◎一1检验，有意义，・•・□_33、提示：由于韦达定理得:x1-\-x2-3m两心二2（陀一1）..兀］也3、提示：由于韦达定理得:，，•，3m3二一—陋••盼T）耳，解得：6、提示:解得:方程为:•心二E+寸［(加4.(眄+1)伏2*1】二羽+可判定方程的两根异号。有两种情况：①设】＞0,,由韦达定理得:=(-72)x(-!)=^27、提示:8、提示：设所求的、求值题:2、提示：由韦达定理得:,由韦达定理得:33、提示：由韦达定理得：可中花㊁，心8二-2,.珂'^2+兀=（ZL-）（X]+冷）二（丙_•工?）（X]+毛）（巧+X2—X]•兀?）33□994、提示：设这两个数为珂、勺，于是有冷乜仝，2/4，因此珂、心可看作方程所以可得方程：*-泳+4=0,解得:3-^/5兀+"+盯0的两根，即两+心二一戸二6,珂•心二孕二4,珂二弓+苗，/号-的，所以所求的两个数分别是所以可得方程：*-泳+4=0,解得:3-^/5m-\喘+1珂+也二两.心二5、提示：由韦达定理得——二1——二122，化简得：淤-w^-n=o解得:叫二11,叫二_1；以下分两种情况:①当唧1二11时,时,解这个方