（新教材）【人教A版】必修一1.2（数学）

1.2集合间的基本关系

1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.2.子集与真子集概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)读作A含于B或B包含A

真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集A

B(或B

A)

【思考】(1)任意两个集合之间是否有包含关系?提示:不一定,如集合A={1,3},B={2,3},这两个集合就没有包含关系.(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别?提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系,比如N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1}.③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“⊆”的两边均为集合.3.集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素,都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.符号语言A⊆B且B⊆A⇔A=B图形语言

4.空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集,即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集,即它的本身,∅⊆∅(2)A≠∅,则∅A【思考】(1)∅与{0}有何区别?提示:∅是不含任何元素的集合;{0}是含有一个元素的集合,0∈{0},0∉∅,∅

{0}.(2)若集合A满足A⊆B,则从元素具有什么特征考虑,集合A有哪些情况?提示:有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素构成的集合;③A是由B的全部元素构成的集合.5.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)任何集合至少有两个子集. (

)(2){0,1,2}⊆{2,0,1}. (

)(3)若A⊆B,且A≠B,则A

B. (

)(4)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}. (

)提示:(1)×.∅只有一个子集.(2)√.{0,1,2}={2,0,1},所以{0,1,2}⊆{2,0,1}.(3)√.若A⊆B,且A≠B,则AB.(4)×.∅也是集合{0,1}的子集.2.下列图形中,表示M⊆N的是(

)【解析】选C.根据题意可知,M中的任意一个元素都是N中的元素,故C正确.3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.

【解析】因为B⊆A,B={3,4},A={-1,3,m},比较A,B中的元素可知m=4.答案:4类型一集合间关系的判断【典例】1.下列各个关系式中,正确的是 (

)A.∅={0}

B.∈QC.{3,5}≠{5,3}

D.{1}⊆{x|x2=x}2.已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0<x<1},则 (

)A.A=B

B.A

B

C.B

A

D.A⊆B3.判断下列各组中集合之间的关系:(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};(2)A={x|x2-x=0},B={x∈R|x2+1=0};(3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形};(4)M=,N=.世纪金榜导学号【思维·引】1.先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系,然后根据集合中元素的特征逐项判断.2.画出数轴,观察数轴判断集合A与B的关系.3.首先确定集合由哪些元素构成,然后判断集合之间的关系.【解析】1.选D.因为∅

{0},∉Q,{3,5}={5,3},所以A,B,C错误,{x|x2=x}={0,1},所以{1}⊆{x|x2=x}成立2.选C.由数轴知BA.3.(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A

B.(2)因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=∅,所以BA.(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而C

ABD.(4)方法一:对于集合M,其组成元素是,分子部分表示所有的整数;对于集合N,其组成元素是+n=,分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念知,NM.方法二:用列举法表示集合如下:M=,N=,所以N

M.【内化·悟】当集合中元素有无限多个时,常用哪些方法判断集合之间的关系?提示:常用的方法有以下两种:(1)画数轴,(2)适当变形寻找联系,例如:对于集合A=,B=,将集合A变为A=,不难观察出A

B.【类题·通】1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2.证明集合相等的两种方法(1)用两个集合相等的定义,证明两个集合A,B中的元素全部相同,即可证明A=B.(2)证明A⊆B,同时B⊆A,推出A=B.【习练·破】1.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 (

)A.A⊆B

B.A⊇B

C.A

B

D.A

B【解析】选D.因为A中元素是3的整数倍,而B中元素是3的偶数倍,所以集合B是集合A的真子集.2.已知集合A=,B=,则集合A,B的关系为________.

【解析】由集合A得:A=,由集合B得:B=,因为2n+1,n∈Z和2n+3,n∈Z都表示所有奇数,所以A=B.答案:A=B【加练·固】1.已知集合U,S,T,F之间的关系如图所示,下列关系中错误的有________.(只填序号)

①S

U;②FT;③S

T;④S

F;⑤F

U.【解析】根据子集、真子集的定义,由Venn图的关系,可以看出SU,ST,FU正确,②④错误.答案:②④2.已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,k∈Z},证明:A=B.【证明】(1)设任意x0∈A,则x0=3n0-2,且n0∈Z,3n0-2=3(n0-1)+1,因为n0∈Z,所以n0-1∈Z,所以x0∈B,故A⊆B.(2)设任意y0∈B,则有y0=3k0+1,且k0∈Z,3k0+1=3(k0+1)-2,因为k0∈Z,所以k0+1∈Z,所以y0∈A,故B⊆A.综上可得A=B.类型二元素个数有限的集合的子集问题【典例】1.满足{2019}⊆A

{2019,2020,2021}的集合A的个数为 (

)A.1

B.2

C.3

D.42.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 世纪金榜导学号【思维·引】1.依据子集和真子集的定义确定集合A中的元素,写出满足条件的集合;2.先确定集合A由哪些元素构成,然后按元素个数分类写出A的所有子集.【解析】1.选C.满足{2019}⊆A{2019,2020,2021}的集合A可以是:A={2019},{2019,2020},{2019,2021},因此满足条件的集合A的个数为3.2.因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.【内化·悟】求集合的子集时,为了做到不重不漏,常采用什么方法?提示:对于含有n个元素的集合A,按元素个数由0到n,依次列出集合A的子集.【类题·通】求解有限集合的子集的三个关键点(1)确定所求集合.(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出.(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.另外,一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.【习练·破】满足条件{x|x2-1=0}⊆A

{-1,0,1,2,5}的集合A的个数为 (

)A.7

B.6

C.8

D.5【解析】选A.因为{x|x2-1=0}={-1,1},所以{-1,1}⊆A{-1,0,1,2,5},所以集合A可以是{-1,1},{-1,1,0},{-1,1,2},{-1,1,5},{-1,1,0,2},{-1,1,0,5},{-1,1,2,5},共7个.【加练·固】已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (

)A.1

B.2

C.4

D.不确定【解析】选C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,所以方程有两个不相等的实数根,所以集合M有2个元素,所以集合M有22=4个子集.类型三由集合间的关系求参数的值(取值范围)角度1由集合相等求参数【典例】已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求x,y的值.【思维·引】根据A=B列方程组,解方程求出x,y,检验集合中元素的互异性,求出x,y的值.【解析】因为A=B,所以集合A与集合B中的元素相同,所以或解得或或验证得,当x=0,y=0时,A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.所以x,y的取值为或角度2由集合之间的包含关系求参数【典例】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】分B=∅和B≠∅两种情况讨论,B≠∅时根据B⊆A列不等式组求m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时,有m-6>2m-1,则m<-5,此时B⊆A成立.(2)当B≠∅时,B⊆A,此时满足解得不等式组解集为∅.由(1)(2)知,实数m的取值范围是{m|m<-5}.【素养·探】由集合间的关系求参数问题中,经常利用核心素养中的直观想象,由数轴直观展示集合之间的关系,并列出不等式(组),求参数的值或范围.本例中若将“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,其余条件不变,求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时,m-6>2m-1,则m<-5,此时满足条件B⊆A.(2)当B≠∅时,B⊆A,则或解得-5≤m<-或m>11.综合(1)、(2)知,实数m的取值范围是{m|m<-或m>11}.【类题·通】1.由集合相等求参数取值的方法从集合相等的含义出发,转化为元素间的关系,一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值,二是利用元素相同,则元素的和与积分别相同,建立方程组求参数的值.需要注意的是解方程组后要代入检验,对不符合题意的参数的值要舍去.2.由集合之间的包含关系求参数的两类问题(1)若集合中的元素是一一列举的,依据集合之间的关系,可转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性.(2)若集合中的元素由不等式(组)限制,常借助于数轴转化为不等式(组)求解,此时要注意端点值能否取到.3.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.【习练·破】1.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q⊆P,那么a的取值是________.

【解析】由题意得P={-1,1},又因为Q⊆P,若Q=∅,则a=0,此时满足Q⊆P,若Q≠∅,则Q=,由题意知,=1或=-1,解得a=±1.综上可知,a的取值是0,±1.答案:0,±12.已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}且A=B,求实数x与y的值.【解析】由已知A