2020年单招模拟数学试卷

2020年单招模拟数学试卷2020年对口升学单招考试模拟试题（含答案）一、选择题（共15小题，共60分）1.已知集合$A=\{x\midx^2-5x+6=0\}$，$B=\{x\midx-2=0\}$，则$A\bigcapB$等于A.$\{1,2\}$；B.$\{2\}$；C.$\{1\}$；D.$\varnothing$。2.若$\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$，则$\cos2\theta$等于A.$-\dfrac{1}{2}$；B.$\dfrac{1}{2}$；C.$-\dfrac{3}{4}$；D.$\dfrac{3}{4}$。3.已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的奇函数，当$x<0$时，$f(x)=\sqrt{-x}$，则$f(2)$等于A.$-\sqrt{2}$；B.$\sqrt{2}$；C.$2\sqrt{2}$；D.$-2\sqrt{2}$。4.直线$y=kx+1$的倾斜角为$30^\circ$，则$k$等于A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；B.$\sqrt{3}$；C.$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；D.$-\sqrt{3}$。5.若$\cos\theta=-\dfrac{1}{3}$，且$\theta$为第四象限角，则$\sin2\theta$的值等于A.$\dfrac{8\sqrt{2}}{9}$；B.$\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$；C.$-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$；D.$-\dfrac{8\sqrt{2}}{9}$。6.函数$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$的定义域是A.$(1,+\infty)$；B.$(-\infty,1)\bigcup(1,+\infty)$；C.$[1,+\infty)$；D.$(-\infty,1)$。7.若$P(3,-1)$，$Q(-1,2)$，则点$R$在直线$PQ$上的坐标是A.$(-7,4)$；B.$(7,-4)$；C.$(7,4)$；D.$(-7,-4)$。8.在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_5=8$，且$a_{10}=23$，则$a_1$与$a_{15}$的值分别为A.$-22$，$38$；B.$-22$，$23$；C.$-17$，$38$；D.$-17$，$23$。9.设“$A$是$B$的充分非必要条件”表示$A$是$B$的一个充分条件，但不是$B$的必要条件，则“$A$是$B$的充要条件”的符号表示为A.$A\RightarrowB$；B.$B\RightarrowA$；C.$A\LeftrightarrowB$；D.$A\oplusB$。10.函数$y=-2\sin\dfrac{\pi}{3}x+3$的图象如图所示，则最大、最小值分别为A.$5$，$1$；B.$3$，$-1$；C.$1$，$-5$；D.$-1$，$3$。第1页（共8页）11.设$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$AB=1$，$AC=2$，则$\dfrac{\sinB}{\sinC}$的大小为A.$\dfrac{1}{2}$；B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；C.$2$；D.$\sqrt{3}$。12.设函数$f(x)=x^2-2x+1$，$g(x)=\dfrac{1}{x}$，则$f[g(x)]$的值为A.$\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1$；B.$\dfrac{1}{x^2}-2x+1$；C.$x^2-\dfrac{2}{x}+1$；D.$x^2-2x+1$。13.某单位有$50$名成员，其中男性$30$人，女性$20$人，现需要从中选出$5$名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是A.$252$；B.$300$；C.$360$；D.$450$。14.抛物线$y=ax^2+bx+c$的焦点为$(1,0)$，且抛物线过点$(2,1)$，则展开式中不含$x$的系数的和为A.$1$；B.$-1$；C.$2$；D.$-2$。15.已知点$A(1,2)$，$B(-3,4)$，$C(5,6)$，则$\triangleABC$的周长等于A.$2\sqrt{2}$；B.$4\sqrt{2}$；C.$4\sqrt{5}$；D.$6\sqrt{2}$。二、填空题（共5小题，共20分）16.满足$\log_2(x^2-3x+2)>0$的$x$的取值范围是$(-\infty,\underline{\hphantom{3}})\bigcup(\underline{\hphantom{3}},\underline{\hphantom{3}})$。17.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，则$\cosA=\dfrac{\underline{\hphantom{3}}}{\underline{\hphantom{3}}}$。18.若向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=\underline{\hphantom{3}}$。19.随机抽取$10$名成员，其中男性$6$人，女性$4$人，现需要按性别分层，从男性和女性各自的年龄段中随机抽取$3$名成员，设年龄段为$A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$，则$P(\text{男性中选}2\text{人},\text{女性中选}1\text{人},\text{抽取的人的年龄在}A_2\text{段})=\dfrac{\underline{\hphantom{3}}}{\underline{\hphantom{3}}}$。20.圆锥的表面积是底面积的$3$倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为$\underline{\hphantom{3}}$。第2页（共8页）三、解答题（共6小题，共70分）21.计算下列各式的值：（1）$\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{\pi}{6}}+\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{\pi}{3}}$；（2）$\dfrac{\sin^275^\circ-\cos^215^\circ}{\cos^275^\circ+\sin^215^\circ}$。22.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为$40$人、$60$人、$80$人，现需从中按比例抽取$10$名同学去某敬老院参加献爱心活动。（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的$10$名同学分别用$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_{10}$代表，他们要担任敬老院的卫生工作，若规定$A_1$必须担任组长，$A_2$必须担任副组长，则不同的担任方法有多少种？23.设锐角三角形$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$AB=1$，$AC=2$，则$\dfrac{\sinB}{\sinC}$的大小为$\underline{\hphantom{3}}$。24.已知函数$f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+x-2}$，求$f(f(x))$的值域。25.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，点$D$在$BC$上，且$\angleBAD=\angleDAC$，则$AD$的长度等于$\underline{\hphantom{3}}$。26.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{2}\sin2x+\cosx$，$g(x)=\dfrac{1}{2}\cos2x+\sinx$。（1）求函数$f(x)$和$g(x)$的最小正周期；（2）求函数$h(x)=f(x)g(x)$的最小正周期。24.（1）已知等差数列$a_1,a_2,\ldots,a_n$，公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，则有$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。代入已知条件，得到$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。解得$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$S_n$的式子中，得到$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。故$S_n$的通项公式为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。（2）设等比数列$b_1,b_2,\ldots,b_n$，公比为$q$，前$n$项和为$T_n$，则有$T_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$。代入已知条件，得到$T_n=\frac{3(1-(-2)^n)}{3}$。故$T_n$的通项公式为$T_n=\frac{3(1-(-2)^n)}{3}$。25.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点。设$PA=a,PB=b,PC=c,PD=d$，则有：（1）由已知等差数列的前项和公式，得到$a+b+c+d=4\cdot\frac{a+d}{2}=2(a+d)$。又因为$ABCD$是矩形，所以$a+c=b+d$。代入上式，得到$b=\frac{3}{2}(a+d)$。设$a_1=a,a_2=b,a_3=c,a_4=d$，则$a_2=\frac{3}{2}(a_1+a_4)$，$a_3=\frac{3}{2}(a_2+a_1)$。解得$a_1=\frac{2}{7}S,a_2=\frac{6}{7}S,a_3=\frac{10}{7}S,a_4=\frac{14}{7}S$，其中$S$为四棱锥的表面积。故$S=a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{32}{7}S$，即$S=\frac{7}{25}ad$。又因为$PAB$、$PBC$、$PCD$、$PDA$四个三角形的面积相等，且均为$\frac{1}{2}ad$，故$PABE$、$PBCF$、$PCDG$、$PDAH$四个三角形的面积也相等，且均为$\frac{1}{4}ad$。故四棱锥$P-ABCD$的体积为$V=\frac{1}{3}S\cdotPH=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{25}ad\cdot\frac{1}{2}\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{7}{300}a^2d$。（2）设等比数列$x_1,x_2,\ldots,x_n$，公比为$q$，前$n$项和为$S_n$，则有$S_n=\frac{x_1(q^n-1)}{q-1}$。代入已知条件，得到$\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-2)^n}{3}$。又因为$PA=a,PB=b,PC=c$，所以$PH=\frac{1}{3}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$。代入上式，得到$\frac{1}{2}V=\frac{7}{300}a^2d=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$。整理得到$27a^4d^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$。又因为$ABCD$是矩形，所以$a+c=b+d$，故$a^2+d^2=b^2+c^2$。代入上式，得到$16a^4b^4=81a^4d^2$。故$b^2=\frac{81}{16}d^2$。又因为$P$在矩形$ABCD$的对角线上，所以$PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$。代入已知条件，得到$2a^2+2c^2=5b^2=\frac{405}{16}d^2$。故$a^2+c^2=\frac{405}{32}d^2$。又因为$P$在矩形$ABCD$的中心，所以$PA^2+PB^2=PC^2+PD^2$。代入已知条件，得到$2a^2+2b^2=2c^2+2d^2$。故$a^2+b^2=c^2+d^2$。代入上式，得到$2a^2+2(\frac{81}{16}d^2)=2(\frac{405}{32}d^2-d^2)$。解得$a^2=\frac{27}{4}d^2$。代入$V$的式子中，得到$V=\frac{7}{300}\cdot\frac{27}{4}d^4=\frac{189}{800}d^4$。故$\frac{V}{S}=\frac{\frac{189}{800}d^4}{\frac{7}{25}ad}=\frac{27}{32}d^2$。26.一直线过直线$y=x-1$垂直。设直线的方程为$y=-x+c$，则有$c-(-1)=1$，即$c=0$。又因为直线与圆$x^2+y^2=1$相切，所以它到圆心的距离等于半径$1$，即$\frac{|-0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=1$。故直线的方程为$y=-x$。设直线与圆的交点为$(a,b)$，则有$a^2+b^2=1$，$b=-a$，$a^2+a^2=1$。解得$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。故交点为$(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。又因为直线与直线$y=x-1$相交，所以交点的横纵坐标相等，即$x=y-1$。代入上式，得到$y^2-2y+1+y^2=1$。解得$y=1$。故交点为$(1,1)$。设三棱锥$ABCD-E$的高为$h$，则有$h^2=1^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$。故$h=\frac{\sqrt{2}}{2}$。设$P$为底面$ABCD$的中心，$O$为三棱锥的顶点，则$OP=\frac{1}{2}\sqrt{2}$，$OE=h=\frac{\sqrt{2}}{2}$。故$POE$是等腰直角三角形，$\angleOPE=45^\circ$。设$M$为直线$y=-x$与直线$y=x-1$的交点，则$M$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。设$N$为直线$y=-x$与$OE$的交点，则$N$的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{4},-\frac{\sqrt{2}}{4})$。故$OM=\frac{1}{2}\sqrt{2}$，$ON=\frac{1}{4}\sqrt{2}$。故$OM^2-ON^2=\frac{3}{16}$。设$S$为三棱锥$ABCD-E$的表面积，则$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdoth+4\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=3$。故三棱锥$ABCD-E$的体积为$V=\frac{1}{3}Sh=1$。设$\angleAOB=\alpha$，则$\sin\alpha=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。故$\tan\alpha=1$，$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$。设三棱锥$ABCD-E$的重心为$G$，则$OG:GP=2:1$。设$OG=2x$，则$GP=x$，$PG=\sqrt{2}x$。设$H$为$OE$上的点，使得$GH\perpOE$，则$OH=\frac{1}{3}OE=\frac{\sqrt{2}}{6}$，$GH=\frac{2}{3}OG=\frac{2}{3}\cdot2x=\frac{4}{3}x$。故$GH^2=OH^2+OG^2$，即$(\frac{4}{3}x)^2=(\frac{\sqrt{2}}{6})^2+(2x)^2$。解得$x=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{3}{2}}$。故$OG=\frac{1}{3}\sqrt{\