北京市丰台区2022-2023学年高二下学期期中练习数学（B卷） Word版含解析

2.己知数列{2.己知数列{%}的首项％=1,且满足《土一劣=2,则。3=()A1B.3C.5D.7【答案】C解析】【分析】由题可得数列{%}为等差数列，即可得答案.【详解】由an^-atl=2可知{%}是以％=1为首项，公差为2的等差数列，则角=3,%=5.故选：C3.设某质点的位移S(单位：m)与时间，(单位：s)的关系是S(/)=-r2,3则质点在第Is时的瞬时速度等于()A.2m/sB.lm/sC.-lm/sD.-2m/s【答案】D解析】【分析】利用导数的定义可求得质点在第Is时的瞬时速度.A.0B.COS—C.-sin—D.—cos—666【答案】A解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式可得结果.丰台区2022-2023学年度高二第二学期期中练习教学(B卷)试卷时间：120分钟第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。【详解】质点在第【详解】质点在第Is时的瞬时速度为1苛(1+&)-5(1)=]而1-(1+&)-=临(_2_&)=一2曲.&->0，->0Z&->o',故选：D.4.已知函数f(x)=ex+kx在x=0处有极值，则A=()A.-1B.0C.1D.e【答案】A【解析】【分析】函数―危)在x=0处有极值，则导函数f\x)在x=0处的函数值等于0.【详解】r(x)=e*+k,因为函数f(x)=e+kx在x=O处有极值，所以r(O)=e*=O,解得*=-1.代入检验满足题意，故选：A5.已知{%}是公差不为0的等差数列，且6，%，％成等比数列，则该等比数列的公比为()A.4B.2C.1D.|【答案】B【解析】【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到<与d的关系，从而得到结果.【详解】由题意可得所以(6+d)2=%(q+3d),且d^Oa.a.+d2d-则《“，所以等比数列时皿的公比为云二》=3=2A.r=------A.r=------3C.SWJ竺竺23r+2-+3-+4~=------3故选：B.6.用数学归纳法证明“对任意的WeN\12+22+32+等式是()Al21x1x3.【"集】B【解析】【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.3p+22=1x3x53“c，c2a22x5x9BD【详解】因则第一步应验证当【详解】因则第一步应验证当〃=1时，『+22=史—是否成立.3A.在(-3,-1)±单调递减B.在(1,3)上单调递增C.x=-l为极值点D.工=1为极值点【答案】D解析】【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.【详解】A,因xe(-3,一1)时，广。)<0,则y=f(x)在(一3,-1)上单调递减，故A正确；B,因xe(l,3)时，/^x)>0,则y=f(x)在(1,3)上单调递增，故B正确；C,由图可得y=f(x)在(-3,-1)上单调递减，在(-1,3)±单调递增,故x=-l^y=f(x)极小值点,故C正确；D,由图可得y=f(x)在(一1,3)上单调递增，则工=1不为y=/(x)极值点，故D错误.故选：D8若.等差数列{%}满足％+%+角VO,a4+au>0,则当{%}的前〃项和最小时，n=()A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得％<0,%>0,所以等差数列{%}为递增数列，前7项都为负数，从第8项开始为正数，即可求出{%}的前«项和最小时n的值.故选：B7.己知函数y=/(x),其导函数y=广(x)的部分图象如图，则对于函数y=f(x)的描述销谩的是()幻方.记〃阶幻方的对角线上的数字之和为N“，如图三阶幻方的叫=15,那么叫的值为幻方.记〃阶幻方的对角线上的数字之和为N“，如图三阶幻方的叫=15,那么叫的值为()+I81116A,41B.45C.369D.405【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】根据任意，九阶幻方上所有的数字之和为1+2+3++8]=U+Xl)xXl=41x8],2xk由于每行、每列和对角线上的数字之和相等，所以，九阶幻方对角线上的数字之和为M=3—=41x9=369.故选：C10.若函数/G)=--^-^(x>0)的图象与尤轴有且仅有一个交点，则实数，〃的范围为()xx~3【详解】设等差数列{%}的公差为d,所以％+%+%=3%<0,%+%]=%+%>0，所以a7<0,%>0,所以d>(),因为等差数列{%}为递增数列，前7项都为负数，从第8项开始为正数，所以当n=7时，{%}的前〃项和最小.故选：B.9.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1、2、3、L、9填入3x3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1、2、3、L、W填入nxn个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做〃阶【答案】D1\/3\~X1\/3\~X二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数/(x)=cos(2x-^),则广(尤)=.632第二部分(非选择题共110分)【解析】【分析】令/(x)=0,分离参数，构造新函数，利用导数确定新函数的单调性和值域，画出新函数大致图象，即可得答案.【详解】令/(x)=0,解得zn=-ix3+x(x>0).当xe(0,l)时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增；当XG(1,-H»)时，g'(X)VO,此时g(x)单调递减.所以g⑴的最大值为g(l)=：.又g(O)=g(0)=O,则新函数的大致图象如下，问题转化为新函数图象与直线y=m有一个交点.2所以当tn=—或?n<0时，y=fM与x轴有且仅有一个交点.3故选：D【解析】【分析】由余弦函数导数公式结合复合函数求导法则可得答案.【详解】由题可得r(K)=-sin(2x_^)(2A?)=-2sin(2x-：612.设数列{%}的前〃项和为S“=〃2,则角=_.【答案】9【解析】【答案】1【【答案】1【解析】【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.【详解】根据函数切线过(-2,0),(0,2),则曲线y=/(x)在(0,2)处的切线斜率为&=土2二1=广(0),0-(-2)v7根据导数的定义，可得lim+广(0)=1.心-Ax=-$4=25-16=9.【分析】由数列的前〃项和公式求出禹，$4的值，则％=Ss-S4,求出答案.【详解】在数列{%}中，由S“=亍得:s5=52=25,$4=42=16,故答案为：9.13.如图，直线/是曲线y=fM在点(0,2)处的切线，piijlim/(Q+Av)-/(Q)=.故答案为：1.14.等比数列{%}满足如下条件：对于任意〃cN*，有%>%，S/l+j<S„.试写出满足上述条件的一个通项公式％=.一(；)”(首项和公比分别满足％VO,0G(O,1)即可.)【解析】【分析】设数列{%}首项为《，公比为0,由题可得6,0满足条件，即可得答案.【详解】设数列{%}首项为《，公比为0,由外+】>%可得q>0，由Sg|VS〃可得S,s一S〃=aN+l=阳〃v0n6v0.又an+l>an=>(^-1)>0=>0<^<1,故首项和公比分别满足％V0,06(0,1)即可./」\//」\/-2h\o，甲的心率变化比乙快；②在〃时刻，甲的心率变化比乙快；③在力时刻，甲、乙的心率变化相同；段时间内的心率变化快.其中，所有正确结论的序号是.【答案】①②③【解析】【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可.【详解】对于①，在”，句这段时间内，以力图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值大,所以甲的心率变化比乙快，故①正确：对于f(x)图象切线斜率的绝对值比g(x)图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，故②正确；对于③，在人时刻，^3)图象切线斜率和g。)图象切线斜率相同，所以甲、乙的心率变化相同，故③正确；对于④，乙(虚线)在[0，。]这段时间的割线斜率小于甲(实线)在曰这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误.故选：①②③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。Ax(y=g(x))在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(gc为定义域的四等分点)，给出如故答案为：-(?)"(首项和公比分别满足qvo,06(0,1)即可.)15.人的心率会因运动而变化，并且用|竺|的大小评价心率变化的快慢.已知运动员甲(>=六工))、乙116,已知函数/(x)=x3-12x.(1)求函数六工)的单调区间;(2)求函数顶CO的极值.【答案】(1)单调增区间为(-8,-2)和(2,+oo),单调减区间为(-2,2)(2)极大值16,极小值-16【解析】【分析】(1)对六对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；(2)根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【小问1详解】函数，⑴的定义域为R,导函数r(x)=3x2-12,令/V)=0,解得x=±2,则f\x),六幻随x的变化情况如下表：X(一8,-2)-2(-2,2)2(2,B取极大值取极小值/故函数M的单调增区间为(-8,-2)和(2,+00),单调减区间为(-2,2)；【小问2详解】由小问1知，当x=-2时，函数/■(')取得极大值16;当x=2时，函数./«•)取得极小值一16.17.己知{%}是各项均为正数的等差数列，其前〃项和为S”，且《=1.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：(1)求数列{外}的通项公式；(2)设数列{如}满足九=2%+2气求{如}的前〃项和条件①：/-。3=2；条件②：角。3=6；条件③：$5=15.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。2【答案】(1)条件选择见解析，an=n(2)Tn=n2+n+2n+[-2【解析】【分析】(1)设数列{%}公差为d,若选①，则&=2；若选②，则(l+d)(l+2d)=6；若选③，则5x41x5+—J=15：(2)由分组求和法可得答案.2【小问1详解】设数列{%}公差为d.选条件①：由己知得2J=2,所以d=\.化简得2^+3d—5=0,所以d=l(由于{%}各项为正数，负根舍去).5x4选条件③：由已知得1x54-—6/=15,所以d=l.2所以数列{%}的通项公式为%=%+(〃一l)d=〃.【小问2详解】由(1)得如=2%+2""=2〃+2”.21-218.已知函数f(x)=k\nx--,其中&为常数，且kwR.x(1)当&=1时，求曲线y=fM在点(1,/(1))处的切线方程；(2)求函数顶。)的单调区间；(3)若函数在(2,+00)上单调递减，请直接写出一个满足条件的&值.【答案】⑴y=2x-3(2)答案见解析(3)一1(答案不唯一)【解析】【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程；(2)对函数求导，分k>0和RvO两种情况讨论函数的单调性即可；(3)结合(2)的结论，要使函数在(2,+8)上单调递减，则k<-\，任取一个值即可.【小问1【小问1详解】当A=1时，函数/(x)=lnx--.x令工=1,得/(1)=-1,即切点坐标(1,—1).导函数r(x)=，+§.令工=1,得f(l)=2,即切线斜率k=2.故切线方程为y+l=2(x-l)，即y=2x-3.【小问2详解】函数，⑴的定义域为(0,+<»).导函数广(》)=§+§=号1.讨论：①当k>0时，f\x)>0恒成立，故函数六x)的单调增区间为(0,+8).②当k<0时，令/V)=0,解得x=~.K1X(0,-7)(-产)kkf'M+0—fix)/堀大值、所以函数S的单调增区间为(0,*，单调减区间为(-!，+8).kk综上所述，当k>0时，函数/'(对的单调增区间为(0,+8)；当上<0时，函数加的单调增区间为(0,—马，单调减区间为(-上,+8).kk【小问3详解】结合(2)的结论可知，#v0,要使函数在(2,+oo)上单调递减，则有2>--(A:<0),解得k<--tk2任取一个值，比如k=-l.19.己知数列满足％=3,且％】=3%-4.(1)设数列{如}满足bn=an-2,证明：{如}是等比数列；(2)求数列{(2)求数列{%}的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)%=3”t+2【解析】【分析】(1)根据题意，表示出与％H的关系式，计算得#=3,根据等比数列的定义可证明数列%{如}是等比数列；(2)根据等比数列的通项公式写出数列{"}的通项，从而可得数列{%}的通项公式.【小问1详解】如=%一2,%初=3%—4,•,-如+i=«一2=(3%-4)-2=3(%-2)=3如，因为故•••羊±=3..•血}是首顼4=1，公比0=3的等比数列.【小问2详解】由(1)知，如=3〃",又htt=afl-2,所以劣-2=3"-',所以an=3n~l+2.故数列{%}的通项公式为％=3心+2.20.已知两地的距离是100km.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在[50,100]km/h,油价为8元/L.假设汽车以xkm/h的速度行驶时，耗油率为(4+二)L/h,司机的人工费为40元/h.400(1)请将总费用W表示为车速x的函数；(2)试确定x的值，使总费用W最小.7700【答案】(1)W(x)=2x+—(xe[50,100])x(2)x=60【解析】【分析】(1)根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合己知条件，即可表示出汽车的总费用W(x)：小问2详解】7200函小问2详解】7200函数汗⑴的导函数为W'(x)=2-一，(2)对W(x)求导，讨论W'(x)与0的大小，即可得出W(x)的单调性，进而得出答案.【小问1详解】汽车的运行时间为迎h.x汽车的油耗费用为8(4+二)乂迎=理+2x元.400xx汽车的总费用为叩工)=理+2工+40'坚=2工+郭元(xe[50,100]).XXX令W'(x)=0,解得尤=60.当xe[50,60)时，W)<0,函数W(x)单调递减；当xg(60,I00]时，W\x)>0,函数W(x)单调递增.故当x=60时，总费用W(x)最小.21.定义“三角形数”：对于给定的正整数〃，若存在正整数妇使得n=l+2+3++们则称〃是“三角形已知数列{%}满足%=1,且an+i-an2,若讦是?三角形数(1)写出外,%,%，%，%的值；2(3)证明：数列{七}的通项公式为％+其中[x]表示不超过*的最大整数，如【答案】(I)纬=2,%=4血=5,%=7,%=9(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】分析】(1)分别代入计算即可；(2)根据三角形数界定范围求解计算可得；(3)分类讨论是否是三角形数分别证明即可.【小问1详解】%=2,%=4,%=5,%%=2,%=4,%=5,%=7,%=9.【小问2详