角的平分线的判定第2课时课件人教版八年级数学上册

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练

学习目标1.探究并证明角的平分线的判定定理.（难点）2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.（重点）

新课导入复习引入怎样用文字语言和几何语言叙述角平分线的性质定理？文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，

PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD=PE.BADOPEC

新知探究

思考

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）S

知识点1角的平分线的判定

新知探究验证猜想

按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下你的猜想吧！

知识点1角的平分线的判定猜想

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

问题

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？

新知探究如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线OC上.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，

PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.BADOPEC

知识点1角的平分线的判定

新知探究角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.该性质定理的几何语言：∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，

∴点P在∠AOB的平分线OC上.BADOPEC

知识点1角的平分线的判定

新知探究（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.

知识点1角的平分线的判定

新知探究如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD=2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.DCSO

知识点1角的平分线的判定根据角平分线的判定定理，你知道集贸市场应该建于何处了吗？

新知探究S

知识点1角的平分线的判定

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到两条公路和铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？该做几条角平分线呢？我们发现：三角形三个内角的角平分线交于

点，该交点位于三角形的

部.

新知探究

知识点2三角形的内角平分线操作1

分别画出锐角、直角和钝角三角形的三个内角的平分线.一内┐AABBCCABC

新知探究

知识点2三角形的内角平分线我们发现：过交点作三角形三边的垂线段

.操作2

过交点分别作这三个三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？相等┐┐┐┐┐┐┐┐┐ABCABBCAC

新知探究

知识点2三角形的内角平分线如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

E

FABCPNM验证结论

新知探究

知识点2三角形的内角平分线DEFABCPNM点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？由PD=PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.

新知探究

知识点3角的平分线的性质定理与判定定理的关系角的平分线的性质角的平分线的判定图形已知条件结论BADOPEC∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OBPD=PEPD⊥OA，PE⊥OBPD=PE12∠1=∠2

新知探究

知识点3角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上（角的内部）点到角的两边的距离相等性质定理判定定理正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.跟踪训练

新知探究1.判断，不正确的请说明原因.①如图，若PD=PE，则OC平分∠AOB.（

）因为PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE均不是角平分线上的点到角两边的距离.×OBACPDE跟踪训练

新知探究②如图，若点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则OC平分∠AOB.（

）

OBACPDE┐┐×因为没有说明PD与PE的等量关系，只有PD=PE时，OC才平分∠AOB.跟踪训练

新知探究③如图，若点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，则OC平分∠AOB.（

）

√OBACPDE┐┐

课堂小结角平分线的判定角平分线的性质定理与判定定理的关系内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用判定定理判定点在平分线上（判定两角相等）三角形的三条角平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等

课堂训练1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确的个数为（）DCAEBDFP┐┐

课堂训练2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°A

【分析】点O到△ABC三边的距离相等，根据“角的平分线的判定”OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，根据“角的平分线的性质”

∠OBC=∠OBA，∠OCB=∠OCA，根据“三角形内角和定理”转化为∠BAC和∠BOC的关系.

课堂训练3.如图,已知D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.解:如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴BF∙DM=

CE∙DN，∵CE=BF,∴DM=DN,∴AD平分∠BAC.MN

课堂训练4.（教材P51，T2变式）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF.求证：AD平分∠BAC.证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴AD平分∠BAC.∵D是BC的中点，∴DE=DF.∴BD=CD.∠BDE=∠CDF，BD=CD，∠DEB=∠DFC，又DE⊥AB,DF⊥AC，

课堂训练5.（教材P51，T4变式）如图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵点D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠EPD＝∠DPF．又∵PE∥AB，∴∠EPD＝∠BAD．同理，∠DPF＝∠CAD．∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．ABCEFDP

课堂训练6.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN解：如图，作∠AOB的平分线OD，OD与MN的交点即为超市的位置P.D

课堂训练证明：∵∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠EDC=180°，

∴∠B=∠EDC.∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中，∠CFB=∠CED，

∠B=∠EDC，BC=DC，∴△BCF≌△DCE（AAS）.∴CF=CE，即AC平分∠BAD.7.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.EABCDF┌┐

课堂训练MENABCPOD8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,已知OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，ON⊥BC于点N.∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的垂线段相等，∴OM＝OE=ON=4，∴