全称量词与存在量词（单元教学设计）高一数学系列（人教A版2019）

1．5全称量词与存在量词（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性．（3）能正确地对含有一个量词的命题进行否定，理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系．【过程与方法目标】（1）让学生通过实例得出全称量词命题、存在量词命题含义，并通过两者的联系与区别得出全称量词命题与存在量词命题的否定；（2）让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】通过对全称量词命题、存在量词命题概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】本课是高中数学第一章第5节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解．否定词是学生容易忽略的，应提醒学生．以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：全称量词命题与存在量词命题真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77，77=53+17+7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．环节二、抽象概念，内涵辨析1．全称量词与全称量词命题问题1：下列语句是命题吗?（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系?（1）（2）是整数（3）对所有的（4）对任意一个是整数【破解方法】（1）不是（2）不是（3）是（4）是关系：（3）在（1）的基础上，用量词“所有的”对变量进行限定；（4）在（2）的基础上，用短语”对任意一个”对变量进行限定．【归纳新知】知识点一：全称量词与全称量词命题（1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．（3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．2．存在量词与存在量词命题问题2：下列语句是命题吗?（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系?（1）（2）能被2和3整除；（3）存在一个，使；（4）至少有一个，能被2和3整除．【破解方法】（1）不是（2）不是（3）是（4）是关系：（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定，使（3）变成了可以判断真假的语句；（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（4）变成了可以判断真假的语句．【归纳新知】知识点二：存在量词与存在量词命题（1）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．（3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．3．全称量词命题和存在量词命题的否定问题3：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化?（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）．【破解方法】（1）存在一个矩形不是平行四边形；（2）存在一个素数表示奇数；（3）．从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题．【结论】含有一个墨词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题的否定是存在量词命题．【归纳新知】知识点三：全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．问题4：类比全称量词命题的否定的学习，阅读教科书第30页的探究，回答以下问题：（1）存在量词命题的否定是一个什么命题?你能写出它的一般形式吗?（2）对于全称量词命题和存在量词命题的否定，用自己的话或者举例子的方式阐述你的理解．【破解方法】学生主动阅读教材，时间4~5分钟，然后尽量能合上教材回答问题，教师根据学生回答情况进行点评．【归纳新知】知识点四：存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．环节三：例题练习，巩固理解题型一：全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】下列命题是全称量词命题的个数是（

）①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有些一元二次方程无实数根；④三角形的内角和是．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，故选：D．【对点训练1】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数【答案】D【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题．故选：D题型二：判断全称量词命题与存在量词命题的真假【例2】下列命题中是真命题的为（）A．，使 B．，C．， D．，使【答案】B【解析】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误，对于B，因为时，，所以，所以B正确，对于C，当时，，所以C错误，对于D，由，得，所以D错误，故选：B题型三：由全称量词命题的真假确定参数取值范围【例3】命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若命题“”是真命题，则，可知当时，取到最大值，解得，所以命题“”是真命题等价于“”．因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A．题型四：由存在量词命题的真假确定参数取值范围【例4】已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为命题“，”为真命题，所以命题“，”为真命题，所以时，，因为，所以当时，，所以．故选：A题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定【例5】，使得的否定是（

）A．，使得 B．，使得C．， D．，【答案】D【解析】“，使得”的否定是“，”，故选：D．【对点训练2】已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意可知，命题的否定为．故选：D环节四：小结提升，形成结构问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）全称量词命题和存在量词命题的符号表示是什么?（2）你能举一些全称量词命题和存在量词命题的例子吗?（3）全称量词命题和存在量词命题的否定的一般形式是什么?全称量词命题和存在量词命题的否定到底要“否定”什么?你能说说我们是怎么得到它们的吗?【破解方法】通过总结，让学生进一步巩固全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念，命题的否定，提高语言转换和抽象概括能力．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．下列命题中真命题的个数是（

）①命题“，”的否定为“，”；②“”是“”的充要条件；③集合，表示同一集合．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件，错误；③集合，不是同一集合．错误，正确的命题只有一个．故选：B．2．已知命题：，，使得，则为（

）A．，，使得 B．，，使得C．，，使得 D．，，使得【答案】C【解析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，，使得的否定为：，，使得故选：C3．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【答案】C【解析】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C4．已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由命题：“，”可得命题：“，”，因为为真命题，所以当时，命题：“，”很明显命题为真，满足题意；当时，由为真命题可得，解得；当时，由于二次函数的开口向下，所以，成立，综上所述，实数的取值范围为，故答案为：5．下列存在量词命题是真命题的是．（填序号）①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数，使；③存在实数a，使函数的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对；＋x0＋1对应的判别式为，则＋x0＋1>0恒成立，②错；要使函数y＝ax＋b为增函数，即