天津大学 结构力学5

结构力学

Structuralmechanics第5章用力法计算超静定结构水利工程仿真与安全国家重点实验室5.1超静定结构及其计算方法概述超静定结构—在任意荷载下，未知力仅由静力平衡方程不能完全确定。未知力数>独立静力平衡方程数基本特性—静力平衡方程解不唯一，有无限多组；为确定内力，除平衡外，还须考虑几何及物理方面其他特性—与静定结构相反基本计算方法—力法（本章）、位移法（第6章）力法基本未知量为力，位移法基本未知量为位移，基本未知量是“突破口”，其余未知量可视为基本未知量的函数。求得基本未知量，其余问题迎刃而解未知力数>独立静力平衡方程数存在多余力有多余约束（几何组成特征）存在多余力图5.1a，1个多余约束；3个平衡方程，4个未知力∴多余力数=15.2超静定次数的确定多余力数称为超静定次数图5.1a为1次超静定。静定结构为0次超静定。超静定次数=多余力数=多余约束数

=转化为静定所需撤除的约束数撤除（或截断）1根链杆=撤除1个约束撤除1个单铰=撤除2个约束撤除1个单刚结点=撤除3个约束将1个单刚结点换成铰结点=撤除1个约束5.2超静定次数的确定图5.2a、b、c，超静定撤除多余约束图5.3a、b、c，静定，X1、X2等为多余力（矩）∴图5.2为2、3、10次超静定5.2超静定次数的确定图5.2c图5.4，有3个闭合无铰“框”图5.3，1个闭合无铰“框”为3次超静定∴图5.4为9次超静定图5.2c为10次超静定图5.5a，36次；图5.5b，3次5.2超静定次数的确定图5.6a，撤多余约束并保留多余力X1、X2及荷载

基本体系（图5.6b）如果荷载相同并且X1=FRBx，X2=FRBy，则两个刚架的受力状态完全相同∴可通过计算基本体系的内力求得原结构的内力5.3力法的基本概念和解题步骤关键是求X1和X2—力法的基本未知量原结构和基本体系的变形及位移也完全相同∴在荷载和多余力共同作用下，基本体系相应于X1和X2的位移都应=0（变形协调条件）。由叠加原理5.3力法的基本概念和解题步骤其中：δ11和δ12是单位荷载引起的与X1相应的位移

δ21和δ22是单位荷载引起的与X2相应的位移Δ1P和Δ2P是实际荷载引起的与X1和X2相应的位移（5.1）称为力法基本方程δij和ΔiP（i，j=1，2）称为系数和自由项系数就是§4.6中的位移影响系数（柔度系数）系数和自由项下标的意义同§4.6位移互等定理用单位荷载法计算系数和自由项解力法方程，求得基本未知量用叠加原理求内力：5.3力法的基本概念和解题步骤在荷载作用下，n次超静定结构力法计算步骤：（1）建立基本体系—撤除n个多余约束，保留多余力X1、X2、…、Xn。注意，基本结构必须几何不变。（2）写基本方程：由位移互等定理（5.3）又称力法典型方程5.3力法的基本概念和解题步骤（3）计算系数和自由项对梁和刚架，先做基本结构的单位弯矩图和MP图对桁架，先计算基本结构的单位轴力和FNP5.3力法的基本概念和解题步骤（4）解基本方程，求基本未知量X1、X2、…、Xn（5）求内力对梁和刚架：对桁架：用力法计算超静定结构在支座位移和温变作用下的内力，原理和步骤与上述大体相同，但各有特点，§5.55.3力法的基本概念和解题步骤超静定梁和刚架例5-1图5.7a，作M图和FQ图。EI=常数。解（1）建基本体系，“串联”简支梁。（2）写基本方程意义：在荷载和多余力共同作用下，基本结构在支座A转角为零，在支座B、C左右截面相对转角为零。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）计算系数和自由项。先作单位弯矩图和MP图。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（4）解基本方程，得X1=-ql2/16，X2=-ql2/8，X3=-ql2/16（5）作M图。基本未知量为支座截面弯矩，M图可用分段叠加法直接作出。如基本体系为其他形式，要先按（5.6a）求杆端弯矩。由M图作FQ图。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算讨论：基本体系不是唯一的，只要几何不变，都可作为基本结构。但是，基本体系不同，计算有繁简之分。“串联简支梁”的优点：1）系数和自由项计算简便且有规律；2）解基本方程可直接得出各杆端弯矩。比较：图5.8a、5.8b。对连续梁采用“串联简支梁”作基本体系，基本方程为“三弯矩方程”5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算例5-2图5.9a，作M图。解（1）建基本体系，图5.9b。借鉴上例。（2）写基本方程5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）计算系数和自由项。先作单位M图和MP图。（4）解基本方程，得（5）作M图5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算讨论：本例及上例内力计算结果均不含EI，但本例结果包含柱梁抗弯刚度之比k。荷载作用下，超静定结构的内力与各杆刚度比值有关，而与刚度的实际大小无关。（重要特性！）例5-1各杆刚度比为1，改变刚度比，内力也随之改变。本例中柱弯矩和梁左端弯矩的绝对值随k增大而增大，梁下部弯矩随k增大而减小。当k∞，柱下端和上端（梁左端）弯矩的绝对值分别ql2/16和ql2/8，梁左端固定右端简支；当k0，柱端和梁端弯矩0，柱对梁端弯曲变形几乎无约束，梁简支梁。在其他外因（温变、支座位移等）作用下，超静定结构的内力不仅与各杆刚度的比值有关，而且与刚度的实际大小有关。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定桁架基本结构的两种方案：1）截断多余杆件，基本方程与（5.3）相同2）撤除多余杆件，基本方程与（5.3）有别“截断”二力杆，仅撤除与轴力相应的约束，“截断”后两部分可沿轴线相对移动，但不能相对错动或转动，图5.10b。图5.10a=图5.10b。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算

(3)计算系数和自由项。表5.1（表中刚度为相对值）注意：求和时要将被截断的杆件也计算在内。由表5.1的最后一行，得（4）解基本方程，得

X1=X2=-7FPa/9（5）计算轴力：（图5.11c）5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定组合结构例5-4图5.12a，求二力杆的轴力并作梁式杆的弯矩图解：（1）建基本体系，图5.12b。（2）写基本方程5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）作梁式杆单位弯矩图，并计算二力杆的相应轴力，图5.12c；作荷载下梁式杆的弯矩图，二力杆相应轴力为零，图5.12d。系数和自由项5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（4）解基本方程，得（5）求内力梁式杆（图5.12e）：二力杆5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算例5-5排架如图5.13a所示，作弯矩图。工业厂房中常用。屋面结构简化为链杆，不考虑屋面竖向荷载时，该杆为二力杆。解（1）截断杆CD，建基本体系，图5.13b。（2）写基本方程：δ11X1+Δ1P=05.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）作单位多余力和荷载下的弯矩图，图5.13c、d。

FNCD分别为1和0。∵CD杆EA=∞，∴计算系数和自由项不必考虑CD杆。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（4）解基本方程，得（5）作弯矩图（5.13e）5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算原理和步骤与荷载问题相同，但自由项的含义及其计算不同在支座位移情况下，基本方程的形式也与荷载问题有所不同内力完全由多余力引起温度变化问题基本方程为其中δij(i，j=1，2，…，n)的意义和计算方法同前；Δit(i=1,2,…,n)的下标“t”表明位移的原因是温变。5.5温变和支座位移下的内力计算温变在基本结构中不引起内力，∴结构的内力（以弯矩为例）为：5.5温变和支座位移下的内力计算例5-6刚架温变如图5.14a。杆截面为矩形，b=20cm，h=50cm，E=3×107kN/m2，α=10-5，作弯矩图。解：（1）建基本体系，图5.14b。（2）写基本方程：δ11X1+Δ1t=05.5温变和支座位移下的内力计算（3）作单位弯矩图和单位轴力图，图5.14c、d。注意：计算系数可忽略轴变的影响，计算自由项一般必须考虑轴变的影响。5.5温变和支座位移下的内力计算（4）解基本方程，得（5），图5.14e。讨论：基本方程中系数与杆件刚度成反比，而自由项与刚度无关∴多余力与刚度成正比温变在超静定结构中引起的内力，不仅与各杆刚度的比值有关，而且与刚度的实际大小成正比。与荷载作用下的情况不同！5.5温变和支座位移下的内力计算支座位移问题基本方程为第i个方程：在支座位移和多余力共同作用下，基本体系与Xi相应的位移与原结构相同。Δi是原结构相应于Xi的位移。

δij（i，j，…，n）的意义和计算同前Δic是基本体系的支座位移引起的与Xi相应的位移：其中是引起的与基本体系的第j个支座位移cj相应的反力。5.5温变和支座位移下的内力计算Δic和Δi对应同一个Xi，但Δic是基本结构的位移

而Δi是原结构的位移基本体系的支座位移∈原结构的支座位移，是撤除多余约束后保留在基本体系中的支座位移如果原结构的支座位移数≤超静定次数，并且建立基本体系时已将发生支座位移的所有约束全部撤掉，结果基本体系将不含有任何支座位移→所有的Δic=0。在荷载或温变情况下，基本方程的右边也可写成Δi，不过在这两种情况下，所有的Δi（i=1，2，…，n）=0支座位移在基本结构中不引起内力，因此，在解出基本未知量以后，内力计算公式与式（5.10）相同：5.5温变和支座位移下的内力计算例5-7图5.15a，作弯矩图。解：3次超静定，但由于不涉及轴力且轴力不影响弯矩，∴可作为2次超静定求解。（1）建基本体系，图5.15b。保留原结构右端与竖向位移相应的约束，撤除左端与转角相应的约束。5.5温变和支座位移下的内力计算（2）原结构与X1和X2相应的位移为Δ1=θA，Δ2=0，∴基本方程为（3）作单位弯矩图并画出相应反力，图5.14c、d。5.5温变和支座位移下的内力计算（4）解基本方程，得（5），图5.15e。讨论：系数与刚度成反比，而自由项与刚度无关，∴多余力与刚度成正比。∴支座位移在超静定结构中引起的内力不仅与各杆件刚度比有关，而且与刚度的实际大小成正比。与温变情况相同，与荷载情况不同。5.5温变和支座位移下的内力计算对称性：图5.16a，结构的轴线形状、支撑方式、截面几何特征(I、A)、材料性质(E、G)对称于同一轴线例5-5（图5.13a）、例5-7（图5.15a）均为对称结构例5-3（图5.11a）、例5-4（图5.12a），除左边水平支杆都对称，竖向荷载，水平反力为零，受力对称，可视为对称结构。5.6对称性的利用利用对称性的方法（之一）—采用对称基本结构图5.16a→图5.16b，基本未知量：X1、X2、X3轴力X1、弯矩X2是对称多余力剪力X3是反对称多余力对称多余力的单位弯矩图也对称，图5.16c、d；反对称多余力的单位弯矩图也反对称，图5.16e。5.6对称性的利用易知：δ13=

δ31=

δ23=

δ32=0∴三元联立方程组被“解耦”、降阶为：荷载对称，MP图也对称，图5.17a。Δ3P=0→X3=0∴，对称！荷载反对称，MP图也反对称，图5.17b。Δ1P=

Δ2P=0→X1=X2=0

，反对称！5.6对称性的利用结论：荷载对称，对称结构的反力和内力也对称荷载反对称，对称结构的反力和内力也反对称非对称荷载：将荷载分组，对称+反对称分别计算，再叠加例5-8图5.18a，利用对称性简化计算。解：荷载分组：对称（图5.18b）+反对称（图5.18c）5.6对称性的利用采用对称基本体系，图5.18d。在对称荷载作用下，X1=X4，X2=X3，2个对称广义基本未知量，图5.18e在反对称荷载作用下，X1=-X4，X2=-X3，2个反对称广义基本未知量，图5.18f结果：4次超静定问题变成了两个2次超静定问题，分别求解，最后叠加，弯矩图见图5.19。5.6对称性的利用常用超静定拱：二铰拱（1次，图5.20a、b）无铰拱（3次，图5.20c）主要力学特征：在竖直向的荷载下，支座水平推力(拉杆拉力)两种超静定拱比较无铰拱施工相对简单，地基不均匀沉降时产生较大力(例5-11)二铰拱在地基不均匀沉降时不产生内力，更适用于软弱地基本节只讨论对称超静定拱5.7用力法计算超静定拱5.7.1二铰拱在荷载作用下的计算分为带拉杆和不带拉杆两种带拉杆二铰拱对支座不产生水平推力不带拉杆二铰拱（5.20a）可视为带拉杆二铰拱（图5.20b）的特例（E’A’→∞）图5.21a，带拉杆二铰拱，轴线方程为y=y(x)已知曲杆的E、A、I及拉杆的E’A’5.7用力法计算超静定拱（1）建基本体系，图5.21b（切断拉杆）（2）基本方程为δ11X1+Δ1P=0意义：在荷载和X1共同作用下，拉杆断口两边无相对位移（3）在

作用下，拉杆中

，曲杆中在荷载作用下，基本体系中拉杆不受力，曲杆的弯矩为系数和自由项：5.7用力法计算超静定拱以上略去了曲杆剪切变形的影响计算Δ1P时还略去了曲杆轴变的影响计算δ11时，曲杆轴变的影响一般不能忽略，拉杆轴变的影响更必须考虑当拱不很扁（）或拱身不很厚（）时，曲杆轴向变形对δ11的影响也可以忽略（4）解力法方程，得5.7用力法计算超静定拱（5）求曲杆内力：（5.14）与三铰拱公式（3.10）、（3.11）相同，但三铰拱FH是静定的，按（3.8）计算而二铰拱FH是超静定的，按（5.13a）计算当E’A’→∞（不带拉杆）时，式（5.13a）为曲杆内力公式仍为（5.14）5.7用力法计算超静定拱例5-9图5.22，等截面抛物线二铰拱，轴线方程为忽略轴变影响，求图示集中荷载下的FH，并利用所得结果，求左半跨及全垮均布荷载（集度为q）下的弯矩。积分时可近似取ds=dx。5.7用力法计算超静定拱解：在集中荷载下，基本体系中曲梁的弯矩为略去曲杆轴变影响并取E’A’=∞及ds=dx，得5.7用力法计算超静定拱左半跨受均布荷载：将上式中的a换成x，FP换成qdx，由叠加原理代梁弯矩为弯矩图见图5.23b。5.7用力法计算超静定拱全跨受均布荷载：由对称性，水平推力为半跨均布荷载下单两倍，即代梁弯矩为讨论：无论全垮或半跨均布荷载，抛物线二铰拱的支座反力和内力都与三铰拱相同，不能因此认为两者在任何荷载下反力和内力都相同。5.7用力法计算超静定拱在集中荷载下（图5.22），三铰拱的推力为仅当a≈0.348l和a≈0.652l时才与二铰拱推力相等当a=l/2时，三铰拱推力为0.25FPl/f，二铰拱推力≈0.195FPl/f，相差>20%另外，以上二铰拱的推力是在忽略轴变的前提下得出的，如果考虑轴变，在全跨或半跨均布荷载下，二铰拱和三铰拱的计算结果也不同。在全跨均布荷载下，如果考虑轴变，结果二铰拱中存在微小的弯矩。5.7用力法计算超静定拱5.7.2对称无铰拱的计算3次超静定（图5.24a）采用对称基本体系（图5.24b），基本方程为希望：将二元方程组进一步“解耦”，即使得

δ12=δ21=0，从而将它化成两个一元方程5.7用力法计算超静定拱方法：在对称点C的切口两侧沿对称轴加两个长度为a、EI=∞，EA=∞的刚臂，刚臂与拱刚接，图5.24c如果切口两侧截面没有相对的水平位移、竖向位移和转角，则刚臂下端也不会有相对位移和转角。反之亦然。∴将多余未知力加在刚臂下端，力法基本方程与前面相同。问题：选择刚臂长度a，使δ12=δ21=05.7用力法计算超静定拱假想一条状图形，其轴线为无铰拱的轴线，其宽度等于1/EI，图5.25，则刚臂的端点就是该条状图形的形心，称为拱的弹性中心。当刚臂端点为弹性中心时，基本方程为系数和自由项（坐标原点在弹性中心）：5.7用力法计算超静定拱对称无铰拱计算步骤小结建基本体系确定弹性中心→切断、加刚臂、加多余未知力写基本方程（全解耦）求系数和自由项解基本方程求反力和内力（叠加原理）5.7用力法计算超静定拱5.8.1超静定结构位移的计算结构位移计算的一般公式，式（4.5）：变形体系虚功原理+单位荷载法适用于静定结构和超静定结构∴超静定结构位移计算的原理和方法都不是新问题原理—变形体系虚功原理方法—单位荷载法5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核图5.27a，EI=常数，已知MP图（图5.27b），求φB。方案1—将单位力偶加在原结构结点B，单位弯矩图见图5.27c。5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核方案2—将单位力偶加在基本结构结点B，单位弯矩图见图5.27d。5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核方案2的优越性：作静定结构而不是超静定结构的弯矩图原结构超静定次数越高，方案2优越性越显著单位弯矩图简单且有局部性，图乘法工作量小方案2的合理性：在荷载和多余力共同作用下，基本结构内力、变形、位移与原结构完全相同原结构的φB=基本体系的φB原结构在荷载作用下的内力=基本结构在荷载和多余力共同作用下的内力结论：计算超静定结构的位移单位荷载可加在任何一个基本结构上！5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核超静定结构受温变和支座位移作用，求位移仍可将单位荷载加于静定基本结构，但计算位移必须考虑两个方面：1）温变或支座位移的作用；2）多余力的作用例5-12图5.28a，已知l、EI、α，梁截面为矩形，高度h。温变下弯矩图见图5.28b。求B端的转角。解：选基本结构，在B加单位力偶，作单位弯矩图，图5.28c。5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核B端由于温变的转角为B端由于多余力的转角为∴原结构B端由于温变的转角为5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核5.8.2力法计算结果的校核校核：1）阶段性校核；2）计算结果总校核静定结构满足平衡条件的内力解是唯一的，∴只要从平衡方面进行校核超静定结构满足平衡条件的内力解不唯一满足平衡条件的解不一定正确必须同时满足平衡条件和变形协调条件例如，只要所有单位弯矩图和MP图都满足平衡条件，则无论X1、X2、…、Xn是否正确，一定满足平衡条件。∴对超静定结构内力必须从平衡和协调两方面校核！5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核校核图5.27b所示弯矩图，荷载见图5.27a。平衡条件校核：该图满足任选隔离体（例如结点B）的平衡条件（略）协调条件校核：1）取图5.29a所示基本结构，在结点A施加单位力偶，作单位弯矩图，图5.29a，与图5.27b相乘，结果=0∴图5.27b满足原结构支座A为固定的条件！2）仍取图5.29a，在结点B施加一对单位力偶，作单位弯矩图，图5.29b，与图5.27b相乘，结果=0∴图5.27b满足原结构结点B为刚接的条件！5.8超静定结构位移的计算和内力计算结果的校核（3）校核其他约束条件，例如：原结构支座A和C处水平位移和竖向位移都=0，略。校核要尽可能全面某人作图5.27a所示刚架的弯矩图如图5.29c所示，试校核之。

平衡条件校核：OK！

协调条件的校核：1）与图5.29a所示单位弯矩图相乘，

结果=0。原结构支座A为固定，

OK！2