函数对称性常见表达式及相关图像1

函数的对称性常见表达式及相关图像1自身对称(附30例经典基础题及详解)图像对称轴（中心）表达式备注轴对称x=0f(-x)=f(x)偶函数x=af(x)=f(2a-x)x=af(-x)=f(2a+x)x=af(a-x)=f(a+x)y=f(x+a)为偶函数x=a(m>0)f(a+mx)=f(a-mx)令t=mx则f(a+t)=f(a-t)f(t)对称轴t=a令t=mx=a则x=ay=f(x)x=a(m>0)y=f(mx)x=a+bf(a+x)=f(b-x)x=a+b(m>0)f(a+mx)=f(b-mx)令t=mx则f(a+t)=f(b-t)f(t)对称轴t=a+b令t=mx=a+bx=a+by=f(x)x=a+b(m>0)y=f(mx)规律：两括号内之和除以2。x系数为互为相反数中心对称(0,0)f(-x)+f(x)=0奇函数(a,0)f(x)+f(2a-x)=0(a,0)f(-x)+f(2a+x)=0(a,0)f(a+x)+f(a-x)=0y=f(x+a)为奇函数(a,0)f(a+mx)+f(a-mx)=0令t=mx则f(a+t)+f(a-t)=0f(t)对称中心(a,0)令t=mx=a则x=ay=f(x)(amy=f(mx)(a,b)f(x)+f(2a-x)=2b(a,b)f(-x)+f(2a+x)=2b(a,b)f(a-x)+f(a+x)=2b(a+b2f(a+x)+f(b-x)=2c规律：两括号内之和除以2为横坐标，等式右边除以2为纵坐标。x系数为互为相反数1、函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2−t),则f(1),f(2),f(4)的大小关系为()。

A.

f(1)<f(2)<f(4)

B.

f(2)<f(1)<f(4)

C.

f(4)<f(2)<f(1)

D.

f(4)<f(1)<f2、函数f(x)对一切实数x都满足f(1+x)=f(1−x)，且f(x)=0有6个实根，则这6个实根之和为（ ）。A.

6B.

9C.

4D.

33、设函数y=f(x)的定义域为R,且对任意x属于R,f(-2x)=f(2x),则y=f(2x)图像关于______对称.y=f（x）关于______对称。4、设y=f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，有f(1-2x)=f(2x)

，则y=f(2x)图象关于_________对称，y=f(x)关于_________对称。5、设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于_______对称。y=f(x)图象关于_______对称。6、已知定义为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4)，且函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增.如果x1<2<x2，且x1+x2<4，则f(x1A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.7、已知函数f（x）=14(1)证明：函数f（x）关于点（12，14）对称。

(2)求f（0）+f（18）+f（148、若函数f(x)=12+log2(x1-x)且图像关于(9、设f(x)=4x-12x+1-2x+1，当f(−m)=2时，10、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x),又f(2)=1,f(0)=3.若f(x)在[0,m]上最小值为1，最大值为3，求m的取值范围。11、已知函数f(x)=x2+1x，x>1ln(x+a),x≤1,的图象A.

(e2−1,+∞)

B.

(e2+1,+∞)

C.

(−∞,e2−1)

D.

(−∞12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(a−x),若函数y=|x2−ax−5|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,yA.

1B.

2C.

3D.

413、已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,yA.

0B.

mC.

2mD.

4m14、函数f(x)=2x2+4x+1(x<0)2A.

0B.

2C.

3D.无数个15、函数f(x)=2x2+4x+1(x≤0)16、已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：①若y=f(x)为偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对称。②若y=f(x+2)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=2对称。③若函数y=f(2x+1)是偶函数,则y=f(2x)的图象关于直线x=12④若f(x−2)=f(2−x),则y=f(x)关于直线x=2对称。⑤函数y=x2-1+其中正确的命题序号是___。17、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R),若f(x−1)的图象关于点(1,0)中心对称，则实数a的值为18、已知函数y=a-xx-a-1的图象关于点19、已知定义在R上的函数f(x)关于直线x=1对称，若f(x)=x(1−x)(x⩾1)，则f(−2)=()。A.0B.

−2C.

−6D.

−1220、若函数f（x）=sin（3x+φ），满足f（a+x）=f（a-x），则f(a+π6)的值为（）A.32B.±1C.0D.21、设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f(x+1x+4)的所有x之和为()A.

−92B.

−72C.

−822、若函数f(x)=1+2x+12x+1+sinx在区间[−k,k](k>0)上的值域为[m,n]，则m23、已知函数f(x)=ln(x+1+x2)+3ex+1ex+1在区间[−k,k](k>0)上的最大值为M24、已知函数f(x)=(x2−2x)sin(x−1)+x+1在[−1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=()A.

4B.

2C.

1D.

025、已知定义域为R的函数f(x)满足f(2−x)=−f(x),x>1时f(x)单调递增,如果x1<x2,x1+x2<2,且(x1−1)(x2−1)<0,则f(xA.恒小于0

B.恒大于0

C.可能为0

D.可正可负26、已知函数g（x）=f（x）+x2是奇函数，当x>0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称，则g（-1）+g（-2）=（）。

A.

-7B.

-9C.

-1127、若二次函数f(x)=ax2+bx有f(x1)=f(x2)(x1≠x2)则f(28、已知函数f(x)=lnx+ln（A.

f(x)在（0,2）单调递增

B.

f(x)在（0,2）单调递减

C.

y=f(x)的图象关于直线x=1对称

D.

y=f(x)的图象关于点(1,0)对称29、已知有四个命题：①偶函数的图像必定与y轴相交；②偶函数的图像必定关于y轴对称；③奇函数的图像必定通过原点；④若函数f(x)既是奇函数，有是偶函数，则f(x)=0(x∈R).其中正确的命题的个数是（

）。

A.0

B.1

C.2

D.330、∀x∈R，有f(x)+f(2−x)+2=0，则函数y=f(x)的图象关于（ ）。A.直线x=1对称

B.直线x=2对称

C.点(1,−1)对称

D.点(−1,1)对称答案1、解答：函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2−t)可知函数关于x=2对称,二次函数的开口向上,因此f(2)取得最小值,则f(1),f(2),f(4)的大小关系为f(2)<f(1)<f(4)。故选：B。2、解答：∵函数f(x)对一切实数x都满足f(1+x)=f(1−x)，∴则x=1是函数图象的对称轴，又∵f(x)=0有6个实根，设根由小到大排序后得x1，x2，x3，x4∴x1+x6=2，x2+x5=2，x则这6个实根之和为6.故选：A。3、解答：关于y轴对称

因当f(-x)=f(x)时,函数为偶函数,图像关于y轴对称。4、解：设t=2x,则f(1-t)=f(t),f(t)的对称轴为t=1-t+t2=1∴f(x)的图像关于x=12因f(x)关于x=12对称，令2x=12得x=故y=f(2x)关于x=14对称5、解：x=0,x=1。6、解：由f(-x)=-f(x+4)可知图象关于点(2,0)对称.f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，在区间(-∞,2)上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位。∵2<x2<4-x1f(x2)<f(4-x有f4-x1∴fx1+f(x2)<fx1+选A。解二：由f(-x)=-f(x+4)可知函数f(x)图象的对称中心为(2,0)，由对称性可得f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)，因为x1+x227、解答：(1)设点（x,y），则关于（12，14）对称点为（1-x,12-y）,由f(1-x)=141-X+2=4X4+2∙4X=(2)由(1)得f（x）+f（1-x）=12f（0）+f（1）=1f（18）+f（78）f（28）+f（68）f（38）+f（58）f（48）+f（48）故f（0）+f（18）+f（14）+...f（78）+f（1）8、解答：f(x)=12+log2(x1-x)函数向左平移12,向下平移12,得到的函数g(x)=log9、解答：f(x)=4x-1若f(−m)=2则f(−m)=122即122-m-2则f(m)=122m-2-m-2m+1=1-[122故答案为：2−2。解二：由于g(x)=122x-2-x-2x为奇函数，所以函数f(x)图像关于（0,1）对称。所以f(−m)+f(m)=2，故f(m)=2−2。10、解答：∵二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)，∴抛物线的对称轴方程为：x=2.∴二次函数f(x)在区间(−∞,2]上有单调性。∵f(2)=1,f(0)=3，∴[f(x)]min=f(2)=1,f(2)<f(0)，∴二次函数f(x)在区间(−∞,2]上有单调递减。∵f(0)=3，∴f(4)=f(0)=3.∵f(x)在[0,m]上最小值为1，最大值为3，∴2⩽m⩽4。∴m的取值范围是[2,4]。11、解答：当x>1时,f(x)=x2+1x=设f(x)在(1,+∞)上的图象关于x=1的对称图象为g(x)，则g(x)=f(2−x)=2−x+12-x(x<1)由题意可知f(x)与g(x)在(−∞,1)上有公共点。∵f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)在(−∞,1)上单调递减，又f(x)=ln(x+a)在(−∞,1)上单调递增，∴g(1)<f(1),即2<ln(1+a)，解得a>e2故选：A。12、解答：∵f(x)=f(a−x)，∴f(x)的图象关于直线x=a2又y=|x2−ax−5|的图象关于直线x=a当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=a2∴x1+x2+x3+…+xm=m2∙当m奇数时，两图象的交点有m−1个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴x1+x2+x3+…+xm=m-12∙解得a=4。故选：D。13、解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=x+1x，即y=1+1x的图象关于点（0，1）对称，则交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对关于点（0，1）对称，则有i=1m(xi+yi故选B。14、解答：∵函数f(x)=2x∴作出函数y=f(x)图象，再作出y=2x2+4x+1位于y轴右侧的图象，使得恰好与函数图象位于y轴左侧部分关于原点对称，发现这个图像与y=2e∴满足条件的对称点有两对，∴函数f(x)=2x2+4x+1(x<0)2故选：B。解二：由题中条件可知：f(x)=2x2+4x+1(x<0)2ex(x≥0)，两点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，设图像上关于原点对称的两点中一点坐标为(x，所以：方程x>0解的个数即为对称点的对数，令g(x)=2x2-4x+1，h(x)=-2ex，所以，方程解的个数即为g(x)与h(x)在y轴右侧的交点数，g(x)min=g(1)所以，有两个交点，即：有两对对称点。故本题正确答案为B。15、解答：在函数f（x）=2lnx上任取一点A（由题意，则该点的关于原点对称的点B(−a,−b)在函数f(x)=2x故b=2lna，−b=∴2lna=−2a2+4令g(x)=2lnx，h(x)=-2分别画出相对应的图象，由图象可知交点只有一个，故函数f(x)的图象关于原点对称的点有1对，故答案为：1。16、解答：对于①,y=f(x)为偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称，y=f(x+2)的图象可由f(x)的图象向左平移2个单位得到，则所得图象关于x=−2对称，则①错；对于②,若y=f(x+2)为偶函数,则f(x+2)的图象关于x=0对称，而y=f(x)的图象可由f(x+2)的图象向右平移2个单位得到，则有关于直线x=2对称，则②对；对于③,若函数y=f(2x+1)是偶函数,则f(2x+1)的图象关于x=0对称，而y=f(2x)的图象可由f(2x+1)向右平移12个单位得到,则所得图象关于x=12对称，则对于④,若f(x−2)=f(2−x),即为f(x)=f(−x),则f(x)为偶函数，关于y轴对称，则④错；对于⑤,y=x2-1+1-x2则⑤错。故答案为：②③。17、解答：∵f(x−1)的图象关于点(1,0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，∴f(−x)+f(x)=0，即−x(e-x+aex)+x(ex+a故(ex−e-x)(1−a故a=1；故答案为：1。18、解答：由题意y=a-xx-又函数y=a-xx-a-1∴a+1=4，解得a=3故答案为3。19、解答：由题意知函数f(x)关于直线x=1对称，∴f(−2)=f(4)，∵f(x)=x(1−x)(x⩾1)，∴f(−2)=f(4)=4(1−4)=−12，故选D。20、解答：对于任意的x∈R，函数f（x）=sin（3x+φ），满足条件f（a+x）=f（a-x），

∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值，

∴3a+φ=kπ+π2，k∈Z，

∴f(a+π6)=sin（3a+π2+φ）=sin（kπ+π2+π21、解答：∵f(x)为偶函数，∴(2x)=f(−2x)∵当x>0时f(x)是单调函数，又满足f(2x)=f(x+1x+4)∴2x=x+1x+4或−2x=x+1可得,2x2+7x−1=0或2x2+9x∴x1+x2=−72或x3+∴x1+x2+x3+x故选C。22、解答：f(x)=1+2x+12x+1+sinx,则f(-x)=1+2-x+12-x∴f(x)+f(-x)=1+2x+12x+1+sinx+即f(x)-2+f(-x)-2=0，设g(x)=f(x)-2，则g(x)+g(-x)=f(x)-2+f(-x)-2=0∴函数g(x)在奇函数。∵f(x)在区间[−k,k](k>0)上的值域为[m,n]，∴当f(x)取得最大值n时,g(x)也取得最大值g(x)max=n−2，f(x)取得最小值m时,g(x)也取得最小值g(x)min=m−2，∵函数g(x)的图象关于原点对称，∴函数g(x)在区间[−k,k](k>0)上的最大值和最小值互为相反数，即g(x)max+g(x)min=n−2+m−2=0，即m+n=4.故答案为：4x+1+x223、解答：设g(x)=ln(x+1+x2),则g(x)+g(-x)=ln(x+1+x2)+ln(-x+1+x2)=ln∴g(x)是奇函数，设h(x)=3ex+1ex+1,则h(x)=3∴f(x)在x=k时取最大值，x=−k时取最小值，∴M=f(k),N=f(−k)，∴M+N=f(k)+f(−k)=3-2ex+1故答案为：4。24、解答：∵f(x)=(x2−2x)sin(x−1)+x+1=[(x-1)2−1]sin(x令g(x)=(x-1)2sin(x−1)−sin(x−1)+(而g(2−x)=(x-1)2sin(1−x)−sin(1−x)+(1∴g(2−x)+g(x)=0，则g(x)关于(1,0)中心对称,则f(x)在[−1,3]上关于(1,2)中心对称。∴M+m=4.故选：A。25、解答：∵f(2−x)=−f(x)，∴函数f