2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数，则复数共轭复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数和复数的定义可得结果.【详解】，则，故复数共轭复数的虚部为.故选：D.2．高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人数是（

）A．9､7 B．15､1 C．8､8 D．12､4【答案】A【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】由题意得高一､1班被抽取的人数为人，高一､2班被抽取的人数人，故选：A3．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（

）A．两人都做对的概率是0.72 B．恰好有一人做对的概率是0.26C．两人都做错的概率是0.15 D．至少有一人做对的概率是0.98【答案】C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是，所以A正确；恰好有一人做对的概率是，故B正确；两人都做错的概率是，故C错误；至少有一人做对的概率是，故D正确，故选：C4．已知向量，，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据向量的数量积运算法则计算即可；【详解】因为，所以，故选：B.5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积，下底面半径为6，面积，圆台高h为6，则圆台的体积.故选：B6．已知复数，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取，举例说明充分性不成立；再由复数的乘法运算证明必要性成立，由此即可得出结论.【详解】举反例说明充分性不成立：取，，则，但得不出，下面证明必要性成立：若，则的共轭如实为，所以成立，所以由与互为共轭复数能得到；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B7．在中，角A､B､C对边分别为a､b､c，且，当，时，的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，即可求出的面积.【详解】对于，用正弦定理得：.因为，且,所以.由余弦定理得：,解得：（舍去）.所以的面积是.故选：C8．某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（

）A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过.【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；对于乙：设乙每天的合格品件数为，则，即.若乙有不止一天的合格品数低于21，，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取，，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A正确；故选：A.二、多选题9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．则下面结论中正确的是（

）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】BCD【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前农村的经济收入为，则新农村建设后农村的经济收入为，对A，新农村建设前的种植收入为，新农村建设后的种植收入为，种植收入增加，故A错误；对B，新农村建设前的其他收入为，新农村建设后的其他收入为，增加了一倍以上，故B正确；对C，新农村建设前的养殖收入为，新农村建设后的养殖收入为，增加了一倍，故C正确；对D，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为，超过了经济收入的一半，故D正确.故选：BCD.10．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确的是（

）A．△ABC的周长最大值为6B．的最大值为C．D．的取值范围为【答案】AB【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围即可求出的最大值；C选项，结合B选项中的正弦定理进行求解即可；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围即可得到的取值范围．【详解】对于A，由余弦定理得，解得，所以，当且仅当时，等号成立，解得，当且仅当时，等号成立，则△ABC周长，所以△ABC周长的最大值为6，故A正确；对于B，由，又由正弦定理得，则，，所以，因为，所以，则的最大值为，即的最大值为，所以的最大值为，故B正确；对于C，结合B选项得，故C错误；对于D，由，又，所以，所以，故D错误．故选：AB．【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“”，B=“xy为奇数”，C=“”，则下列结论错误的是（

）A．B与C相互独立 B．A与B对立C．A与C相互独立 D．A与B互斥但不对立【答案】CD【分析】应用表格列举出的所有可能情况，根据题设描述及独立事件、互斥、对立事件定义判断各项正误即可.【详解】下表中行表示，列表示，则123456123456满足事件有、、、、、共6种，满足事件有、、、、、、、、共9种，满足事件有、、、、、、、、、、、、、、、、、，即后3列，共18种，所以事件有0种，事件有3种，事件有3种，则B错，D对，所以，，，，，则，，A错，C对，故选：CD12．在棱长为1的正方体中，点、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（

）A．与所成角为B．点到平面的距离为C．直线与平面所成角的正弦值为D．平面截正方体得到的截面图形是梯形【答案】CD【分析】对于A，连接，交于点，则由正方体的性质和三角形的中位线定理可得，从而可求得与所成角，对于BC，建立如所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，对于D，连接，利用正方体的性质和三角形的中位线定理可得结论【详解】对于A，连接，交于点，则，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为、分别为、的中点，所以、分别为、、的中点，∥,所以，所以与所成角为，所以A错误，对于B，如图建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离为，所以B错误，对于C，，设直线与平面所成角为，则，所以C正确，对于D，如图，连接，则∥，，因为点、分别为、的中点，所以∥，，所以∥，，所以四边形为梯形，所以平面截正方体得到的截面图形是梯形，所以D正确故选：CD三、填空题13．向量，向量，则在上的投影向量是.【答案】【分析】根据投影向量的定义写出在上的投影向量.【详解】在上的投影向量为.故答案为：14．中，，，则此三角形的外接圆半径是.【答案】【分析】根据余弦定理，可得，进而可得的值，根据正弦定理，即可得答案.【详解】由余弦定理得，因为，所以，设外接圆半径为R，由正弦定理得，解得故答案为：15．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为．【答案】3.56【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】解：设男职工的指标数分别为，女职工的指标数分别为，则，，所以，，所以本次调查的总样本的平均数为，本次调查的总样本的方差是故答案为：四、双空题16．如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为；设P为线段上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，连接，则的长就是的最小值，然后利用余弦定理可求得结果【详解】因为直三棱柱中，，所以将直三棱柱补成长方体，如图所示，所以直三棱柱的外接球就是长方体外接球，因为，，，所以外接球的直径为，所以外接球的半径为，所以直三棱柱外接球的表面积为，直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，将绕展开至与平面垂直的位置，则共面，如图所示，连接，则的长就是的最小值，在中，，则，在中，，在中，由余弦定理得,所以，所以的最小值为，故答案为：，五、解答题17．已知向量．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可求出，再将数量积和模长代入即可求出答案.（2）由向量的夹角公式代入即可求出答案.【详解】（1）因为，所以由得解得．所以．（2）因为．所以．所以与的夹角的余弦值．18．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.(1)求证：平面；(2)若，求证：.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.【详解】（1）连接交于点，连接，∵分别为的中点，则，平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，又∵为矩形，则，且平面，∴平面，由平面，可得，若，且为的中点，则，平面，，则平面，平面，故.19．中国共产党第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开．某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值，并估计这40名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成党代会知识宣讲团．若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人测试成绩位于区间的概率．【答案】(1)；平均数为，中位数为75．(2)【分析】（1）通过频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出a，进而可求得平均数及中位数；（2）列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间有11种，即可得解.【详解】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以，解得．所以样本中40名学生的测试成绩的平均数．设这40名学生的测试成绩的中位数为x，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有，解得．即这40名学生的测试成绩的中位数为75．（2）由分层随机抽样可知，在区间应抽取5人，记为a，b，c，d，e，在区间应抽取2人，记为A，B，从中任取2人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．其中至少有一人测试成绩位于区间内有：，，，，，，，，，，，共11种．所以，至少有一人的测试成绩位于区间内的概率为．20．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面.(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答.（2）取BD中点O，利用线面角求出四棱锥的高PO，再计算体积作答.【详解】（1）因，则为等边三角形，即，又，有，在中，，于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.（2）取BD中点O，连PO，如图，，则，平面平面ABCD，平面平面，平面，则平面，连接AO，则AO为PA在平面ABCD内的射影，即PAO为PA与平面ABCD所成角，有，则，而，于是得，梯形的面积为，所以四棱锥的体积.21．甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．(1)若甲、乙比赛时，甲每