第一章 矩阵的相似变换

第一章矩阵的相似变换第1页，课件共62页，创作于2023年2月1.1特征值与特征向量第一章矩阵的相似变换定义设，如果存在和非零向量，使，则叫做的特征值，叫做的属于特征值的特征向量。第2页，课件共62页，创作于2023年2月（3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。矩阵的特征值与特征向量的性质：（2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。（1）一个特征向量不能属于不同的特征值。第3页，课件共62页，创作于2023年2月（4）设是的个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。第4页，课件共62页，创作于2023年2月（5）设阶方阵的特征值为，则

第5页，课件共62页，创作于2023年2月1.2相似对角化定义：设，若存在使得则称相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。定义：设，如果相似于一个对角矩阵，则称可对角化。

第6页，课件共62页，创作于2023年2月定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例1判断矩阵是否可以对角化？定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。

第7页，课件共62页，创作于2023年2月于是的特征值为（二重）由于是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑解：先求出的特征值第8页，课件共62页，创作于2023年2月于是从而不相似对角矩阵，不能对角化。第9页，课件共62页，创作于2023年2月1.3Jordan标准形介绍第10页，课件共62页，创作于2023年2月1.4Hamilton-Cayley定理第11页，课件共62页，创作于2023年2月1.5向量的内积内积的性质：第12页，课件共62页，创作于2023年2月第13页，课件共62页，创作于2023年2月解：根据定义可知例在中求下列向量的长度第14页，课件共62页，创作于2023年2月定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量是单位向量，称此过程为单位化。定义：如果，则称与正交。第15页，课件共62页，创作于2023年2月定义设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组。定义

如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准正交向量组。第16页，课件共62页，创作于2023年2月与向量组都是标准正交向量组。例

在中向量组第17页，课件共62页，创作于2023年2月定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:设是个线性无关的向量，利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组。第18页，课件共62页，创作于2023年2月第一步正交化容易验证是一个正交向量组.第19页，课件共62页，创作于2023年2月第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。第20页，课件共62页，创作于2023年2月再单位化解：先正交化第21页，课件共62页，创作于2023年2月那么即为所求的标准正交向量组。第22页，课件共62页，创作于2023年2月定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵。第23页，课件共62页，创作于2023年2月例：是一个正交矩阵第24页，课件共62页，创作于2023年2月是一个正交矩阵是一个正交矩阵第25页，课件共62页，创作于2023年2月（5）设且，如果则是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。是一个酉矩阵第26页，课件共62页，创作于2023年2月设，那么酉矩阵与正交矩阵的性质：第27页，课件共62页，创作于2023年2月定理：设，是一个酉矩阵的充分必要条件为的个列（或行）向量组是标准正交向量组。第28页，课件共62页，创作于2023年2月1.6酉相似下的标准形定义：设，若存在

，使得则称酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一个阶复矩阵酉相似于一个上(下)三角矩阵。第29页，课件共62页，创作于2023年2月证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑的阶数为时的情况。取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，因为构成的一个标准正交基，故第30页，课件共62页，创作于2023年2月，因此第31页，课件共62页，创作于2023年2月令那么其中是阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵满足(上三角矩阵)注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值.第32页，课件共62页，创作于2023年2月试求酉矩阵使得为上三角矩阵.解:首先求矩阵的特征值例:已知矩阵第33页，课件共62页，创作于2023年2月所以为矩阵的三重特征值.当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第34页，课件共62页，创作于2023年2月再解与内积为零的方程组求得一个单位解向量取第35页，课件共62页，创作于2023年2月计算可得第36页，课件共62页，创作于2023年2月第37页，课件共62页，创作于2023年2月再求矩阵的特征值所以为矩阵的二重特征值.当时,有单位特征向量令第38页，课件共62页，创作于2023年2月再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第39页，课件共62页，创作于2023年2月取计算可得第40页，课件共62页，创作于2023年2月令于是有第41页，课件共62页，创作于2023年2月第42页，课件共62页，创作于2023年2月矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩阵定义:

设,如果满足则第43页，课件共62页，创作于2023年2月那么称矩阵为一个正规矩阵.设,如果同样满足那么称矩阵为一个实正规矩阵.例:

(1)

为实正规矩阵

第44页，课件共62页，创作于2023年2月(2)其中是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵.第45页，课件共62页，创作于2023年2月(3)这是一个正规矩阵.(4)Hermite阵,反Hermite阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.第46页，课件共62页，创作于2023年2月引理1:

设是一个正规矩阵,则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理2:设是一个三角矩阵,则是正规矩阵的充要条件是为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理:设,则酉相似于对角矩阵的充要条件是为正规矩阵。正规矩阵的性质与结构定理第47页，课件共62页，创作于2023年2月其中是矩阵的特征值.推论:阶正规矩阵有个线性无关的特征向量.第48页，课件共62页，创作于2023年2月例1:设求正交矩阵使得为对角矩阵.解:先计算矩阵的特征值第49页，课件共62页，创作于2023年2月其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化并正交化,得到两个标准正交向量第50页，课件共62页，创作于2023年2月对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量第51页，课件共62页，创作于2023年2月将这三个标准正交向量组成矩阵第52页，课件共62页，创作于2023年2月则矩阵即为所求正交矩阵且有例2:设求酉矩阵使得为对角矩阵.第53页，课件共62页，创作于2023年2月解:先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系第54页，课件共62页，创作于2023年2月现在将单位化,得到一个单位向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量第55页，课件共62页，创作于2023年2月对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量第56页，课件共62页，创作于2023年2月将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵即为所求酉矩阵且有第57页，课件共62页，创作于2023年2月推论：

1Hermite矩阵的特征值为实数;反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数.2实对称矩阵的特征值为实数;实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.3是正规矩阵，是的特征值，是对应的特征向量，则是的特征值，对应的特征向量仍为。4是正规矩阵，则属于不同特征值的特征向量正交。

第58页，课件共62页，创作于2023年2月例:设是一个阶Hermite

阵且存在自然数使得,证明:.证明:由于是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵使得第59页，课件共62