2022年广东省广州市天河区华南师大附中九年级数学第一学期期末调研试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。（每题4分，共48分）2x42x0的根是（）A．2xx0B．x2C．D．无实根2．两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为()B．4：3C．9：16A．16:9D．3：43．已知关于x的一元二次方程x+3x2﹣2＝0，下列说法正确的是()A．方程有两B．方程有两个相等的实数根个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．下列命题：②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直①长度相等的弧是等弧；于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有()A．0个B．1个为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）B．4cmC．6cmD．8cm6．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm7．如图所示的图案是按一定规律排照此规律，在第1至第2018个图案中“♣”共有（）个．C．2个D．3个5．已知⊙O的半径A．2cm()列的，A．504B．505C．506D．507x8．若一元二次方程5x142的两根为和，则的值等于（）xxxx121211C．45D．4A．1B．49．一个不透明的盒子装有个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下m颜色后再放回盒A．8B．1010．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为（）mC．20D．4042且∠ACB最大时，的值为（）bB．226C．242D．24234511．如图，点，在双曲线上，且．若的面积为，则（）．ky0mnmnAm,nB4,AOB24x1125A．7B．C．D．3322yax12．如图，抛物线bxc的对称轴为直线x1，与轴的个交点坐标为，，其部分图象如图所示，(10)x2下列结论：①b24ac0；②方程ax2bxc0的两个根是x1x32ab0y＞0x；④当时，的，；③12取值范围是1＜x＜3．其中结论正确的个数是（）4321D．A．二、填空题（每题4分，共24分）方程（x+5）2＝4的两个根分别为_____．B．C．13．y2x2的开口方向是_____．14．抛物线每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，15．某种品牌运动服经过两次降价，求每次降价的百.分率设每次降价的百分率为，所列x方程是______．16．已知：ABC中，点E是AB边的中点，点ACAC8AB6，，若以A，E，为F在边上，F顶点的三角形与ABC相似，AF的长是____.顶点在第一象限，且过点（17．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是_____．18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤b24ac>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______．三、解答题（共78分）8分）如图，在O中，弦AB，点F，连接OA，OB，且OA＝2，∠OBA＝30°CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于ACBDAB（1）求证：∠OBA＝∠OCD；（3）是否存在点F，使得9S，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由.AOF20．（8分）如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，②通过上述证明，你还能得出哪些等量关系？21．（8分）如图，ABC的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上．（2）点在反比例函数的图象上，求的值，画出反比例函数在第一象限内的图象．B1,3ykx22．（10分）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十”.如：如图，已知O的两条弦ABCD，则AB、互为字弦CD“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，也是ABCD的“十字弦”.（1）若O的半径为（2）如图求证：AB、CD互为5，一条弦AB8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为______，最小值为______.径，弦AB与CD相交于，连接AC，若AC12，DH7，CH9，H1，若O的弦CD恰好是O的直“十字弦”；5，一条弦AB8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若ADC60，求弦CD（3）如图2，若O的半径为10分）如图米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的板最高点E离地面的高度．(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)1，是一种自卸货车．如图2是货箱的矩形，AB=8米，BC=2距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，BxOyO两点（点A在点B的左侧）．AB1（2）若＝，点是抛物线上一动点，若满足a∠MAO不大于45°，求点的横坐标的取值范围．mMM3（3）经过点的Blykxby直线：＝+与轴正半轴交于点．与抛物线的另一个交点为点，且＝4．若点在抛CDBCPCD物线对称轴上，点在抛物线上，Q以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，BDPQP请说明理由．25．（12分）如图3，小明用一张边长为6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为的正方形，再折成如图3所示的无盖纸盒，记它的容积为ycm3．xcm（3）y关于的函数表达式是__________，自变量的取值范围是___________．xx（3）为探究y随的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：x①列表：请你补充表格中的数据：333．533．533．53．533xy33．533．5②描点：把上表中各组对应值为作点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过12cm3，估计正方形边长的取值范围．（保留一位小数）x26．已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率.（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求球颜色是“一黄一蓝”的概率.摸出的（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A2x，去分母，转化为整式方程求解．【分析】观察可得分式方程的最简公分母为2x40，【详解】方程去分母得：解得：x2，x2代入2x?2240，检验：将x2是原方程的根．所以故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2、B16：9，面积之比等于相似比的【分析】根据两个相似多边形的面积比为平方．164【详解】根据题意得：＝．即这两个相似多边形的相似比为4：1．93故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．3、B【分析】根据一元二次方程的构成找出其二次项系数、一次项系数以及常数项，再根据根的判别式△＝17＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解.【详解】解：在一元二次方程x+3x﹣2＝0中，二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为﹣2，2∵△＝32﹣4×1×(﹣2)＝17＞0，∴方程x+3x﹣2＝0有两个不相等的.实数根2故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式b2.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当解答本题的关键∆时，一元二次方程没有实数根<0.4、A【分析】由等弧的概念判断①，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③，根据垂径定理判断④.【详解】①同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故①是假命题；②不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故②是假命题；③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③是假命题；④圆两条直径互相平分，但不垂直，故④是假命题；所以真命题共有0个，故选A.【点睛】本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.5、B【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【详解】∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，∴OP=4cm．B．故选：【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．6、A【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】点P在半径为5cm的圆内，点P到圆心的距离小于5cm，所以只有选项A符合，选项B、C、D不都符合；故选A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7、B【分析】根据题意可知所示的图案每四个为一组，交替出现，从而可以计算出在第1至第2018个图案中“♣”共有多少个，进行分析即可求解．【详解】解：由图可知，所示的图案每四个为一组，交替出现，∵2018÷4=504…2，∴在第1至第2018个图案中“♣”共有504+1=505（个）.B．【点睛】故选：本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意以及发现题目中图形的变化规律并利用数形结合的思想进行分析解答．8、B【分析】先将一元二次方程变为一般式，然后根据根与系数的关系即可得出结论．【详解】解：将5x14变形为4x5x10x22c1数的关系：xxa412根据根与系故选B．【点睛】c此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之积等于是解决此题的关键．a9、C【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．4得，＝0.2，【详解】由题意可m解得，经检验m=20是所C．m＝20，列方程的根且符合实际意义，故选：【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．10、B【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC的外接圆与轴相切时，ACB有最大值，此时圆心与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关于b的方程求解即可xF的横坐标【详解】解：∵AB=，A(0,2)、B(a,a+2)42∴a2(a22)242，解得a=4或a=-4（因为a>0，舍去）∴B(4,6)，设直线AB的解析式为y=kx+2，将B(4,6)代入可得k=1，所以y=x+2，利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC的外接圆与轴相切时，有最大值xACB.如下图，G为AB中点，，G2,4l:yxm，设过点G且垂直于AB的直线将G2,4yx6.m6，所以代入可得b262（已舍去负值）.2，解得Fb,b6，由FCFB，可知b6b4b66设圆心22故选：B.【点睛】用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.6Am,A作AC⊥轴，过点xB作BD⊥轴，垂足分别为点C，点D，根据待定系数法求出的值，设点，xkm利用△AOB的面积=梯形ACDB的面积+△AOC的面积-△BOD的面积=梯形ACDB的面积进行求解即可．【详解】如图所示，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为点C，点D，36，k4由题意知，26Am,设点，m∴△AOB的面积=梯形ACDB的面积+△AOC的面积-△BOD的面积=梯形ACDB的面积，136(454∴S)(4m)22m，AOB解得，m1或m16（舍去），经检验，m1是方程的解，∴n6，∴mn7，故选A．【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的表达式，反比例函数系数的几何意义，用点A的坐标表示出△AOB的面k积是解题的关键．12、B【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另个交点(3，坐标为0)，则可对②进行判断；由对称轴方程可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．x【详解】∵观察函数的图象知：抛物线与轴有2个交点，∴b24ac＞0，所以①错误；x1，∵抛物线的对称轴为直线1，0而点关于直线3，0x1的对称点的坐标为，x，x3，所以②正确；axbxc0的两个根是1∴方程212xb1，即b2a，2a∴2ab0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为，3，0x10∵抛物线与轴的两点坐标为，，且开口向下，∴当y＞0时，的取值范围是1x3，所以④正确；x综上，②③④正确，正确个数有3个．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数yax2bxca0，二次项系数决定抛物线a的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛x轴交点个数由⊿b24ac决定．物线与二、填空题（每题4分，共24分）13、x＝﹣7，x＝﹣312【分析】直接开平方法解一元二次方程即可.【详解】解：∵（x+5）＝24，∴x+5＝±2，∴x＝﹣3或x＝﹣7，故答案为：x＝﹣7，x＝﹣312【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法中的直接开平方法，要求理解直接开平方法的适用类型，以及能够针对不同类型的题选用合适的方法进行计算.14、向上【分析】根据二次项系数的符号即可确定答案．【详解】其二次项系数为2，且二次项系数：2>0，所以开口方向向上，故答案为：向上．本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向与a的值有关是解题的关键．【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出916、4或4【分析】根据相似三角形对应边成比例进行解答．【详解】解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，3AF即：68②∵△AEF∽△ACB，∴AF：AB=AE：AC，AF3即：68AF949故答案为：4或4【点睛】本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．17、1＜＜2S【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可．1，1）和（﹣1，1）分别代入抛物线解析式，得∴S＝a+b+c＝2b，【详解】解：将点（c＝1，a＝b﹣1，bx＝0且a0，2a由题设知，对称轴∴2b＞1．又由b＝a+1及a＜1可知∴1＜S＜2．2b＝2a+2＜2．故答案为：【点睛】1＜S＜2．本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题．18、①④⑤⑥a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，【分析】①由抛物线的开口方向判断然后根据对称轴位置确定b的符号，可对②令x＝－1，则y＝a－b＋c，根据性可得：当x＝2时，y＞1，可对③对作判断；2a＋b＝1和c＞1可对④作判断；⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断；①作判断；图像可得：②作判断；a－b＋c＜1，进而可对③根据对称④根据1x＝1可得：a＝－b，进而可对⑥判作断．2⑥根据对称轴为：【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵抛物线对称轴在y轴右，侧∴a、b异号，∴b＞1；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1，∴abc＜1；故①正确；②∵令x＝－1，则y＝a－b＋c＜1，∴a＋c＜b，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当＝2时，＞1，yx即4a＋2b＋＞c1；故③错误；b④∵对称轴方程＝－＝1，x2a∴＝－2，ba∴2a＋＝b1，∵＞1，c∴2a＋＋＞bc1，故④正确；⑤∵抛物线与轴有两个交点，x∴ax2＋bx＋c＝1由两个不相等的实数根，∴b24ac＞1，故⑤正确．⑥由④可知：2＋＝1，ab故⑥正确．综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥．故答案为：①④⑤⑥．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求ab2与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．三、解答题（共78分）3339183EF（EF19、1）详见解析；（2）或3；（3）35种情况讨论，当AOF90时，圆周角相等”可得；（2）分两直角三角形EFC可得；当AFO90时，解3）由边边边定理可证CEOBEO，再证CEFAOF，根据对应边成【分析】（1）根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，再解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，根据三角函数求解；（.【详解】解：（1）长延AO，CO分别交圆于点M，NAM,CN为直径CDNABM90AOCD30OBAOCD（2）①当AOF90时OAOBOAFOBA30OA2OF233AF433OAFOBAECF,OFAEFCOFAEFC223EFCFOCOFOFAFAF3123433EF31OF2333②当AFO90时OA2OBA30，OCOA2，OF1，AB23EFCFtanECF3CF3333或33综上所述:EF(3)连结OE,过点O分别作OHCD于点，OGAB于点GH弧AC=弧BD弧CD=弧AB∴CDAB,OHOG∴CEBE∵OAOB∴OAFOBA∵OCDOBA∴OCDOAF∵CFEAFO∴CEFAOFCEAO2SCEFSAOF∵9S4SCEFAOFCE3AO2∴CE3BE∴SAOFSAOESEOF233SEOF2SCEFSS131SEOFEOF2COE93SEOF4S33EOF2227939S64SEOFEOF23925S93EOF3918310SEOF1OGEF2∴SEOFEF391835【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择对应知识点且具有综合能力是解答此题的关键.20、（，证明详见解析；（1）⊙D与OA的位置关系是相切2）∠DOA=∠DOE,OE=OF.【分析】D作DF⊥OA于F，由点得DF=DE，则可得D到直线OA的距离等于⊙线的性质解答即可．①首先过点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，根据角平分线的性质，即可D的半径DE，则可证得⊙D与OA相切．②根据切【详解】解：①⊙D与OA的位置关系是相切，证明：过D作DF⊥OA于F，∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，∴DF=DE，即D到直线OA的距离等于⊙D与OA相切．②∠DOA=∠DOE，OE=OF．D的半径DE，∴⊙1）tanA1；（2）k3，图见解析221、（【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D,然后在Rt△ABD中可以求出tanA；（2）将点B代入ykx，可得出k的值，从而得出反比例函数解析式，进而用描点法画出函数图象即可.【详解】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D,由图可得，BD=2，AD=4，∴tanABD21AD42.k（2）将点B(1,3)代入y,得k=3,x3∴反比例函数解析式为.yx函数在第一象限内取点，描点得，132x(x＞062连线得函数图象如图：【点睛】本题主要考查正切值的求法，反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法，掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.22、（1）10，6；（2）见解析；（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出AH=3DH,设DH=x，在Rt△ODF中，利用线段和差将边长用x表示，根据【解详】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，3）433.【分析】（”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；90°的圆勾股定理列方程求解.G,则四边形AGON即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6.（2）证明：如图，连接AD，∵AC12，DH7，CH9，ACCH∴CDAC,∵∠C=∠C,∴△ACH∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD是直径，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴AB、CD互为“十字弦”.（3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH,OF=EH,∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，AH∵tan∠ADH=,HDAH∴tan60°=3,HD设DH=,则AH=3x,∴FD=3+x,OF=HE=4-3x,在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2，∴(3+x)2+(4-3x)2=52,解得，x=2332,3232∴FD=23∵OF⊥CD,323,3∴CD=2DF=2234332本题考查圆的相关性质，利用垂径定理，相似三角形等知识是解决圆问题的常用手段,对结合学过的知识和方法的基础【分析】延长交水平虚线于，过作⊥于，根据题意，在Rt△ABF中，求出AF，从而得到EF，结合DAFEEHBFH3所示，延长交水平虚线于，过作⊥于，F∵∠BAF=90°，∠ABF=37°，中，∴Rt△ABF=tan37°×AB≈0.75×8=6(米)，AF∴Rt△EFH中，EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8(米)，又∵底边AB离地面的距离为1.3米，6.8+1.3=8.1(米)，E故答案为：8.1米．【点睛】本题考查了直角三角形中锐角三角函数值的应用，同角的余角相等，仰角的定义，掌握锐角三角函数值的应用是解题的关键．2671）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）M（4，7）；﹣2≤m≤4；（3）点P的坐标为P（﹣1，4）或（﹣1，）．7【分析】（1）y＝a（x+3）（（2）分∠MAO=45°,∠M′AO=45°两种情况,分别求解即可（3）分当BD是矩形的边,BD是矩形的边两种情况,分别求解即可．【详解】（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3,3，0）,（1，0）;x+3）（x﹣1）①,x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3,即可求解;故点别为：（﹣A、B的坐标分1表达式为:y＝（3（2）抛物线的当∠MAO＝45°时,如图所示,则直线AM的表达式为:y＝x②,3（舍去﹣3）,故点联立①②并解得:m＝x＝4或﹣M（4,7）;M′AO＝45°时,同理可M（﹣2,﹣1）;2≤m≤4;（3）①当BD是矩形的对角线时,如图2所示,②∠得:点故:﹣过点Q作x轴的平行线EF,过点表达式为:y＝ax2+2ax﹣3a,函数的A、B的坐标分别为:（﹣3,0）、（1，0）,则点4,故点而CD＝4BC,则点D的横坐标为：﹣D（﹣4,5a）,即HD＝5a,B作BE⊥EF,过点对称轴为:x＝1,