分形理论的发展及其研究前景111

分形理论的发展及其研究前景摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段,分形理论的数学基础是分形几何。本文介绍了分形理论的创始、发展、应用领域、研究前景，并且给出了经典分形图形如Koch曲线、Seirpniski缕垫的分形维数值。关键词：分形理论；分形几何；自相似性；分形维数引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管、烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。近30年来，科学家们朦胧地“感觉”到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)1［。］分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。二、分形理论的创始和发展“分形”(fractal)一词由美籍法国数学家曼德尔布罗特(BenoitB.mandelbrot)教授在1975年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不规则的，破碎的”我们通常以曼德尔布罗特发表在1967年《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长•统计自相似性与分数维数”一文作为“分形”学科诞生的标志。分形理论的发展大致可分为三个阶段1［：］第一阶段为1875年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1872年，维尔斯特拉斯(Weieratrass)证明了一种连续函数———维尔斯特拉斯函数(图1)在任意一点均不具有有限或无限导数。同年，康托尔(Cantor)引入了一类全不连通的紧集，被称为康托尔三分集(图2)。1890年皮亚诺(Peano)构造出填充平面的曲线(图3)。皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。1904年科切(Koch)通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线科切曲线(图2.4)，并且讨论了该曲线的性质。波瑞(Perrin)在1913年对布朗运动的轨迹图进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年促使维纳(Wiener)建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌”一词。由于非常“复杂”的几何的引入，长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，闵可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了闵可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些实际上指出了为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题做了最基本的工作。第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得

了丰富的成果。贝希柯维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。布利干(Bouligand)于1928年引入了布利干维数，庞德泽金(Pontrjagin)与史尼雷尔曼(Schnirelman)于1932年引入了覆盖维数，柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)与季霍米洛夫(VTikhomirov)于1959年引入体维数。由于维数可以从不同角度来刻画集合的复杂性，从而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)与柯汉(Kahane)为代表的法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，应用了相应的理论方法和技巧，并在调和分析理论中得到了重要应用。(1)维尔斯特拉斯函数Weierstrasfunction，1872年2)康托尔三分集(德国，1883年)E(JElIlliIIIIIIIIHiiHH11iiiiiiF年)2)康托尔三分集(德国，1883年)E(JElIlliIIIIIIIIHiiHH11iiiiiiF年)尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有利的工具来处理。正是在这种形势下，曼德尔布罗特以其独特的思想,自20世纪60年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生成的几何性质等典型的自然界的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成就。第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专著此专著，第一次系统的阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段。5年后，他又出版了另一部著作《自然界的分形几何学》，至此分形理论初步形成。由于对科学的杰出贡献，他荣获了1985年的Barnard奖。现在“分形”的研究已经进入了一个深入攻坚与广泛应用的阶段。但是“分形”理论的研究却存在很大的缺陷，例如：分形严格的数学定义是什么？应该如何对分形进行简单的计算？重要的生长模型-扩散置限凝聚生长模型DLA(DiffusionLimitedAggregation)的物理本质是什么，它究竟是按什么规律在进行生长等。由于非线性数学工具的匮乏，我们在很多问题上都无法做出定量的刻画，目前大量的工作还是以计算机模拟为主。三、分形定义及分形维数分形的数学定义曼德尔布罗特对所谓“分形”曾有过以下几种定义：1•分形是这样一个集合，其豪斯道夫维Df严格大于拓扑维Dt，即［2］，这就是曼德尔布罗特最初的定义。考虑到对普遍的规则几何对象，所以，后来把分形定义成使不等式成立的几何对象。集合的拓扑维数总是非负整数：点是0维，线是1维，面是2维，于是国内常常采用“分数维”这一说法，实际上，非整数维比分数维的说法稍好些，因为豪斯道夫维数常常是无理数。2•其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形⑶。自相似集是研究得最多最透彻的一类分形集。这类分形集的特征是局部与整体相似。换句话说，若适当放大尺度，则任何一个局部都可以与整体重合。按集合论的语言：若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集是分开集，换句话说，具有自相似性的系统叫做分形。当放大或缩小的倍数不是一个常数，而必须是的各种不同倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合，具有自仿射性的系统也叫做分形。3•分形是线性变换下的不变性［4］。分形的性质描述定义目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。英国数学家肯尼斯•法尔科内(KennethJ.Falcone)r在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为⑸，对分形的定义，可以用生物学中对“生命”定义的办法。即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：F具有精细结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂的细节。F是不规则的，其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；传统的几何语言，如欧几里德几何语言，只能对那些平滑的直线或曲线进行测量和描述，对分形这种处处不连续或处处连续但又处处不光滑的图形是无法测量和描述的。F通常具有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义的；4•一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数；这是曼德尔布罗特于1982年为分形所下的定义。分形维数是度量分形集复杂程度的一个量，它可以是整数也可以是分数或小数。而拓扑维数值恰恰是与组成分形的基本单元的欧氏维数值相同，那么分形维数大于它的拓扑维数，正好说明了分形用传统几何学来度量的话，它是个无限集，是一个趋向无穷的集合。5•在大多数情形下，F以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。分形的貌似复杂的解雇，其实是利用非常简单的规则反复迭代生成的。就像曼德尔布罗特集（图3.1，C语言编程生成，代码略）这个被称为数学中最复杂的集合对象的分形，在电脑中只需要二三十个语句的程序就可生成，而它的规则也简单的令人吃惊：，只不过这里的和都是复数。另外，还应该注意到，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周一样，自然界也不存在“真正的分形”。从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。（三）自相似性与分形维数1•自相似性⑴自相似性是大多数分形图形所具有的性质，它们建立在块与整个集合是几何相似但尺度更小些的基础上。一个映射被称为压缩的，若对一切，有，其中。显然，压缩映射都是连续的。我们称使得一切，使不等式都成立的C值的下确界为压缩比。若一个压缩映射把中任何一个子集都变换成为一个几何相似集，则称它为一个相似。因此，一个相似是一个伸缩、一个旋转、一个平称和一个可能的反射的集合，比率就是相似的尺度因子。即无论将图形全体分割成几部分，分割后的各部分均和原形相似，具有相似性质的图形称为“自相似图形”。2•分形维数维数是几何学和空间理论的基本概念，它源于经典的欧氏空间。在欧氏空间中，直线所构成的空间是一维的，平面是二维的，普通（立体）空间是三维的。人们称这种维数为经典维数或是欧氏维数［3］，它必须是整数。欧氏几何研究的是规则而光滑的对象,但自然界中更多的是既不规则又不光滑的研究对象。如果要问雪花、云彩、山脉、江河、树枝、花朵、以及漩涡等复杂的自然构形的维数是多少，用经典维数是难以区别它们的复杂程度的。在分形几何中，度量两个分形集合的“不规则”程度和“复杂”程度的客观工具是分形维数。目前，对分形维数的定义很多，如：豪斯道夫维数、相似维数、容量维数、信息维数、关联维数等。有着不同定义的分形维数，描述分形集的角度也是不同的。在一般情况下，它是一个分数。当然，它可以是整数也可以是非整数。例如，自然界的山，其分形维数在2.2维左右，但从2.1维到2.5维画出来的都有一定的山的效果。由于分形客体具有自相似性，所以很自然想到通过对客体的相似维数来对它进行描述。对于某分形集S,若其局部与整体相似，只要将局部放大一定倍数总可以得到与整体一致的图形，称之为自相似集。对自相似集S来说，定义所谓相似维数为：，其中N是组成S的相似子集的个数，C为相似比例系数。按此定义，若S为一直线段，那么它可看作是由比例系数为的K个直线段构成的，于是，。若S是个正方形，它可看作是由比例系数的K2个与之相似的小正方形构成的，那么。也就是说，相似维数在这种特例之下与通常维数概念是一致的。相似维数对具有严格自相似性质的结构是好用的。若生成元固定不变，计算相似维数十分容易。瑞典数学家科切设计出“魔鬼曲线”-科切曲线（图2.4）。科切曲线在许多方面的性质与三分Cantor集相似，它由四个与总体相似的“四分之一”部分组成。但比例系数为1/3。图3.2中的曲线称之为三次科切曲线，按相似维数的计算公式，由于，可求得它的相似维数：。四次科切曲线（如图3.3）的相似维数为：。又例如将一个等边三角形四等分，得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它的三条边。将剩下的三个小等边三角形再分别进行四等分，并分别去掉中间的一个，保留它们的边。重复操作直至无穷，就可以得到如图3.4所示的图形，人们称这样的集合为谢尔宾斯基缕垫。该集合的面积是零，而线的欧氏长度趋于无穷大。因为，所以相似维数为：。四、分形理论的应用及研究前景虽然分形是近30年才发展起来的一门新兴学科，但它已经激起了多个领域科学家的极大兴趣，其应用探索遍及数学、物理、化学、材料科学、生物与医学、地质与地理学、地震和天文学、计算机科学乃至经济、社会等学科，甚至艺术领域（美术、音乐方面）也有它的应用。国际学术期刊“混沌、孤子和分形”（Chaos,SolitonsandFractals）和“分形学”（Fractals-AnInterdisciplinaryJournalontheComplexGeometryofNature）先后于1991年和1993年正式创刊。人们把分形与耗散结构及混沌理论共称为20世纪70年代中期科学上的三大重要发现。美国著名科学家约翰•惠勒（JohnA.Wheeler）说过“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”。但是，这些年来关于分形的争论也很多。特别是1988年以来，曼德尔布罗特与数学家克兰茨（StevenGKrantz）—直在为分形的价值争论不休。克兰茨认为“，对分形一词没有明确的定义，作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头”。而曼德尔布罗特则认为，分形工作是充满想象力、具有挑战性的，这方面的研究加深了我们对自然的理解，而不应该局限于证明几个定理。一般地说，下列问题需要人们花精力和时间深入进行研究［6］。（一）如何判断一个对象是分形或多重分形（二）分形维数的物理意义数学对自然现象的研究主要注重于形式上规律性的描述，即不考虑自相似结构内部的现实的相互作用，它可以为自相似现象提供一个检验方法，如是否存在无标度区，但无法找到形成自相似现象的物理原因。正像曼德布罗特本人所承认的，他的计划的优点在于描述世界而不是解释世界，所以分形语言还不具备物理的意义。分形维数是描述分形特征的定量参数。但如何理解分维确切的物理意义，这是人们经常提出的问题。在材料科学中，发现分维与材料的某些性参数有关；在化学领域，发现分维同催化剂的催化性和选择性有关。但是，分维能否作为一个独立参数存在，现在还不清楚。（三）分形的动力学机制分形理论主要致力于形态的描述（当然也对过程进行一些分析），对动力学机制（包括产生分形的充要条件）则很少涉及。为改变这种“知其然而不知其所以然”的状况，有必要引入非平衡态物理学、协同学等学科中一些概念和方法，还要把时间参量纳入研究之中。同时，应对分数阶微分方程、非线性发展方程、辛几何等方面的进展给与关注。目前，在化学动力学及酶动力学领域已有发展，主要是通过分形子维数（谱维数，有是以表示）沟通时间与概率之间的关系。但这远远不能说明分形的生长动力学。下一步应加强以下三方面的研究：1.用专门的仪器设备（如高速摄影机）详细记录DLA等生长过程，由实验观测资料建立其生长动力学模型，而不是仅仅靠Laplace方程。2.应当考虑耗散结构及自组织理论，进行有效的解析和数值研究。同时要重视随机里和张罗对系统的影响。3.从细胞自动机CA（CellularAutomata）和神经网络NN（Nervous）方面对生长问题进行模拟研究。总之，分形动力学是急需努力开拓的领域。（四）分形重构问题广义而言，分形重构问题是任给一个几何上认为是分形的图形，能否以某个指定的方式生成它？狭义而言，则是指能否通过映射迭代来实现这一分形图形？这是动力学研究的逆问题。对于自相似的分形，目前已由“拼贴定理”，即任意分形集总可以用一系列自相似分形来逼近。若把分形重构问题再扩大，则是“如何由分形维数来重构分形”，即已知一个分形的维数，如何重新构建（还原）这个分形？显然，由于存在“一因多果”或“一果多因”，由分形维数来重构分形还必须有其它的辅助参数，仅靠一个分维是不够的。（五）关于Julia集和Mandelbrot集的问题（分别简称为J集和M集）迭代序列保持有界的复数的集合叫Julia填充集，记为Kc0J集是闭子集且有界，它有完全不连同的Cantor型和拟圆周形状的连通型两类，取决于复数c的取值范围。M集定义为由复平面的使Julia填充集称为连通集的复数c构成的集合，它本身是一个平面紧致集，又是连通的，但其内部似乎是不连通的。当c是M集的一点，则它也是Julia填充集KC的一点。M集是否是局部连通的以及其