湖南省益阳市金鸡中学高三数学文摸底试卷含解析

湖南省益阳市金鸡中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，非空集合，若,,则实数a的取值范围是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D2.（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.命题“且”的否定形式是（

）A．或

B．或C．或

D．且参考答案：C4.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为(

)A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：B【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】将3代入相应的分段函数进行求值，则f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）从而f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0），将0代入f（x）=log2（4﹣x）进行求解．【解答】解：由已知定义在R上的函数f（x）满足，得f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）∴f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log2（4﹣0）=﹣2，故选B．【点评】本题主要考查了分段函数的求值，同时考查了递推关系，属于基础题．5.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A.若α≠，则tanα≠1

B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠

D.若tanα≠1，则α=参考答案：C因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.6.若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析： 根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0?a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案．解答： 解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0?a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A点评： 本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0?a=2是解答本题的关键．7.已知＜x＜，则tan为A. B. C.2 D.参考答案：A，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A.8.设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

参考答案：B绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.在点处取得最大值.本题选择B选项.

9.若，且，则下列不等式成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略10.双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A． B． C．2 D．1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）的导函数f′（x）=x3﹣3x+2，则f（x）的极值点是．参考答案：﹣2考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：直接利用导函数为0，求出方程的解，判断是否是极值点即可．解答：解：函数f（x）的导函数f′（x）=x3﹣3x+2，令x3﹣3x+2=0，即（x+2）（x2﹣2x+1）=0，解得x=﹣2或x=1，当x＜﹣2时，f′（x）=x3﹣3x+2＜0，1＞x＞﹣2时，f′（x）=x3﹣3x+2＞0，x=﹣2是函数的极值点．当x＞1时，f′（x）=x3﹣3x+2＞0，x=1不是函数的极值点．故答案为：﹣2．点评：本题考查函数的极值点的求法与判断，是易错题，求解方程的根后，必须验证方程的根是否是函数的极值点．12.已知向量a和b的夹角是60°，

。参考答案：4试题分析：因为向量a和b的夹角是60°，，所以考点：平面向量的数量积.13.的值等于________.参考答案：略14.对于，有如下四个命题:

1

若，则为等腰三角形，②若，则是不一定直角三角形③若，则是钝角三角形[来]④若，则是等边三角形。其中正确的命题是

.参考答案：②④对于①，若，或，∴或，则为等腰或直角三角形；对于②，若，则∴，即，则不一定为直角三角形；对于③若，则，∴为锐角，但不能判断或为钝角；对于④若，则，∴，∴，∴，∴是等边三角形．15.已知向量，，则

．参考答案：

16.（理））的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是

.参考答案：6417.对于，不等式恒成立，则正数的取值范围

。参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过an=3Sn﹣2与an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知an=﹣an﹣1（n≥2），进而可知数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知nan=（﹣1）n﹣1?，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵an=3Sn﹣2，∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：an﹣an﹣1=3an，整理得：an=﹣an﹣1（n≥2），又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，∴数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列，∴其通项公式an=（﹣1）n﹣1?；（2）由（1）可知nan=（﹣1）n﹣1?，∴Tn=1?1+（﹣1）?2?+…+（﹣1）n﹣2?（n﹣1）?+（﹣1）n﹣1?，∴﹣Tn=1?（﹣1）?+2?+…+（﹣1）n﹣1?（n﹣1）?+（﹣1）n?n?，错位相减得：Tn=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1?]﹣（﹣1）n?n?=1+﹣（﹣1）n?n?=+（﹣1）n﹣1??，∴Tn=[+（﹣1）n﹣1??]=+（﹣1）n﹣1??．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知函数，过该函数图象上点（Ⅰ）证明：图象上的点总在图象的上方；（Ⅱ）若上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），设为增，当，所以图象上的点总在图象的上方．

…………6分（Ⅱ）当．x（－∞，0）（0，1）1（1，+∞）F‘（x）－－0+F（x）减减e增①当x＞0时，F（x）在x=1时有最小值e，．②当x＜0时，F（x）为减函数，，．③当x=0时，∈R．由①②③，恒成立的的范围是．……13分20.本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值．参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．试题解析：（Ⅰ）由题意知：＝

，．

又圆与直线相切，，，

故所求椭圆的方程为．考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式．21.已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1，A2，A3，…，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．参考答案：【考点】并集及其运算．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…设A1∪A2={a1，a2}，若A1=?，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=?，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=?，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}当Ak+1=?时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当Ak+1={a1}时，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；同理当Ak+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；当Ak+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪Ak={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak=?，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…所以f（n，2）=（2n﹣1）2